求幂级数∑(-1)^n-1
来源：志趣文 时间： 2024-06-15
(-1)^(n-1) = (-1)^(n+1), 因这里 n 从 1 开始，也可以换写为 (-1)^(n-1) 。若是 n 从 0 开始，就不能写 (-1)^(n-1) 了。
先求收敛半径。lim（n→∞）|(-1)^n* 2^(n+1)\/((-1)^(n-1)*2^n)|=2，所以收敛半径R=1\/2。当x=1\/2时，幂级数为∑（-1）^(n-1)，是发散的；当x=-1\/2时，幂级数为∑（-1），是发散的。所以原幂级数得收敛域为（-1\/2，1\/2）
简单分析一下，详情如图所示
x=1 时,级数变为 ∑ (-1)^(n-1)\/(2n-1),收敛 故收敛域是 [-1,1]自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。函数值：在y是x...
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发散。综上，收敛域为(-1,1]。设和函数为s(x)，则s'(x)=sum of [(-1)^(n-1)][x^(n-1)]，是首项为1，公比为-x的等比级数，故s'(x)=1\/(1+x)，其原函数为ln(1+x)+c，即s(x)=ln(1+x)+c。又s(0)=0，所以c=0。综上，s(x)=ln(1+x)。
简单计算一下即可，答案如图所示
你可能漏写绝对值了。通常先判断 | u(n+1) \/ un | 的极限，然后判断敛散性 。
把(-x)看成x就可以得出来了,需要先提出公因子.经济数学团队帮你解答,请及时评价.
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植陈伏 ______[答案] 这个级数和为ln2 方法: ln(1+x)在零点附近展开为泰勒级数 ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+……+(-1)^(n-1)*x^n/n+…… 令x=1得: ln2=1-1/2+1/3-1/4+……
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植陈伏 ______ 由泰勒公式: ∑(-1)^(n-1)x^n/n = ln(1+x);
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植陈伏 ______[答案] f(x)=所求级数=1/3+级数从n开始求和 级数中提出一个x来, =1/3+x求和(n=1到无穷)(-1)^(n-1)x^(2n-1)/(2n-1)3^(2n-1)=1/3+xg(x), 则g'(x)=3/(1+9x^2),因此 g(x)=arctan(3x),f(x)=1/3+xarctan(3x).
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植陈伏 ______[答案] 提示:f(x)= ∑[(-1)^n-1*x^2n]/[(2n)^2-1] xf(x)= ∑[(-1)^n-1*x^(2n+1)]/[(2n)^2-1] 右端逐项求导后 = ∑[(-1)^n-1*x^(2n)]/[2n-1] =x∑[(-1)^n-1*x^(2n-1)]/[2n-1]=xg(x) g'(x)= ∑[(-1)^n-1*x^(2n-2)]=∑[(-x^2)^(n-1)]=1/(1+x^2) 然后依次积分求出
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植陈伏 ______ ^先对nx^(n-1)进行逐项积分得到f nx^(n-1) dx (注意,这里的f是积分号,我打字打不出来,用f代替) f nx^(n-1) dx =x^n,它就变成了一个公比为x的幂级数,原级数积分之后就变成了 x+x^2+x^3+.......+x^n+......=x(1-x^n)/(1-x),当x的绝对值小于1时,x(1-x^n)/(1-x)=x/(1-x) 然后,因为x/(1-x)是原级数逐项积分后相加的结果,所以,所要求的专原级数的和就是对x/(1-x)求一阶导数,所以,最后答案就是(属1-x+x)/(1-x)^2=1/(1-x)^2
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植陈伏 ______[答案] 设和为s(x),则s'(x)=∞∑n=2 x^(n-2)=∞∑n=0 x^n=1/(1-x) ,积分得s(x)=-ln(1-x),收敛域为[-1,1).
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植陈伏 ______[答案] 记 f(x) = ∑(n>=1){[(-1)^(n-1)](x^n)/n},-1
