齐次线性方程组和非齐次线性方程组怎么判断有唯一解，无解，无穷多解，其系数行列式与解的关系。谢谢 线性方程组什么时候有唯一解、无解、无穷多个解？

r(A)=n时，齐次线性方程组只有零解，r(A)<n时，有无穷解。

r(A|b)不等于r(A)时，非齐次线性无解，r(A|b)=r(A)<n时，无穷解，等于n时，唯一解。

补充：当A为n阶方阵且可逆时，非齐次线性方程组的唯一解可由克拉默法则解得：x(j)=|Aj|/|A|,|Aj|为用b代替|A|中第j列所得到的行列式。

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示。

扩展资料：

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

参考资料来源：百度百科——非齐次线性方程组

参考资料来源：百度百科——齐次线性方程组

①齐次：分为只有零解和非零解
非零解：n（未知数）<n（方程数）
[此时有无穷多解]
只有零解：其它情况
无解：不存在无解情况
②非齐次：
无解：n（未知数）>n（方程数）
无穷多解：R（A）=R（增广）<n（未知数）
唯一解：R（A）=R（增广）=n（未知）
③对于nxn阶矩阵
只有零解：A满秩
有非零解：A不满秩，detA=0成立

齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

r(A)=n时，齐次线性方程组只有零解，r(A)<n时，有无穷解。r(A|b)不等于r(A)时，非齐次线性无解，r(A|b)=r(A)<n时，无穷解，等于n时，唯一解。补充：当A为n阶方阵且可逆时，非齐次线性方程组的唯一解可由克拉默法则解得：x(j)=|Aj|/|A|,|Aj|为用b代替|A|中第j列所得到的行列式。

1、r(A)=n时，齐次线性方程组Ax=0只有零解，r(A)<n时，齐次线性方程组Ax=0有无穷解，其中r(A)表示矩阵A的秩。

2、r(A，b)不等于r(A)时，非齐次线性Ax=b无解；r(A，b)=r(A)，且小于n时，非齐次线性Ax=b有无穷解；r(A，b)=r(A)=n时，非齐次线性Ax=b有唯一解。

3、行列式与解的关系：n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。

4、非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）

扩展资料：

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

1、对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

2、若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

3、设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于

即可写出含n-r个参数的通解。

参考资料来源：百度百科——非齐次线性方程组

参考资料来源：百度百科——齐次线性方程组

齐次线性方程组和非齐次线性方程组怎么判断有唯一解，无解，无穷多解，其系数行列式与解的关系。谢谢~

无穷解的条件分别是Ax=0无非零解时，则A为满秩矩阵。
则Ax=b一定有解。
Ax=0有无穷多解时，则A一定不为满秩矩阵。
Ax=b的解得情况有无解和无穷多解。
无解：R(A)≠R(A|b)。
无穷解：R(A)等于R(A|b)。且不为满秩。
Ax=b无解时，可知Ax=0一定有无穷多解。
Ax=b 有唯一解时，可知A为满秩矩阵，则Ax=0只有零解。
齐次线性方程组，要么零解（R(A)=n），要么无穷解（R(A)<n)。

重要定理
1、每一个线性空间都有一个基。
2、对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。
3、矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。
4、矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
5、矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
6、矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。
7、解线性方程组的克拉默法则。
8、判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

方程组有唯一解、无解、有无数解，分别需要满足什么条件？

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(15299738433)： 设AX = b是非齐次线性方程组,则 Ax=b 有解的充分必要条件是 r(A) = r(A,b), 即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,这等禅搏首价与向量b可由A的列向量组线性表示 (这是从贺数向量的角度解释,很重要). 方程组有解的充要条件为系数矩阵的...

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(15299738433)： AX=B的非齐次方程的解,当r(A)时不等于(A|B),方程无解 n为A的阶数 当r(A)=r(A|B)=n时,方程有唯一解 n为A的阶数 当r(A)=r(A|B)<n时,方程有唯无穷穷解 所以思路就是把增广阵写出来,化成行阶梯矩阵,来判读秩相不相等,相等等于多少问题

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(15299738433)： 对于非齐次线性方程组 当然是要首先进行线性变换 得到最简型矩阵 然后判断矩阵的秩 R(A)=R(A,b)=n时,有唯一解 <n时,有无穷多解 而R(A)<R(A,b)时,方程组无解

#廉会欧# 为什么非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵线性无关,增广矩阵线性相关?? -
(15299738433)： 用Cramer法则.非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵的行列式不为0,换句话说就是你说的系数矩阵线性无关.而有解就说明等号右端的向量可以由系数矩阵的列向量线性表出,所以增广矩阵线性相关.

#廉会欧# 设AX=0是非齐次线性方程组AX=b对应的齐次线性方程组,则( )A.AX=0只有零解时,AX=b有唯一解B.AX=0 -
(15299738433)： 则AX=b有无穷多解时,AX=0有非零解; 理由如下 1、选项A.由AX=0只有零解,知r(A)=n,但不能保证r(A)=r(A,b),因此AX=b也不一定有解,故A错误; 2、选项B.由AX=0有非零解,知r(A)3、选项C和D.由AX=b有无穷多解,知r(A)=r(A,b)齐次...

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(15299738433)： 1、对于齐次线性方程组:系数矩阵的秩 系数矩阵的秩=未知数个数,有零解.2、对于非齐次线性方程组:系数矩阵的秩=增广矩阵的秩,有解;系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=未知数个数,有唯一解;系数矩阵的秩=增广矩阵的秩

#廉会欧# 总结齐次和非奇次线性方程组有解的条件 -
(15299738433)： 判断线性方程组有解的条件是很简单的. 非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的柣等于增广矩阵的柣; 由于齐次线性方程组的系数矩阵的柣永远都等于其增广矩阵的柣,所以恒有解的.(可以详细一点的,就是要分非零解和零解的情况)