求函数最值问题常用的10种方法，高考填空，大题每年 高中函数最值问题有几大类

一、 配方法主要运用于二次函数或可转化为二次函数的函数解题过程中要注重自变量的取值范围．例1　已知函数y=(ex-a)2+(e-x-a)2(a∈R,a≠0,求函数y的最小值. 分析:将函数表达式按ex+e-x配方,转化为关于为变量ex+e-x的二次函数解：y=(ex-a)2+(e-x-a)2=(ex+e-x)2-2a(ex+e-x)+2a2-2, 令t=ex+e-x,f(t)=t2-2at+2a2-2， ∵t≥2,∴f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2的定义域[2,∞),∵抛物线y=f(t)的对称轴为t=a, ∴当a≤2且a≠0时,ymin=f(2)=2(a-1)2当a>2时,ymin=f(a)=a2-2．评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围.和对称轴与区间的相对位置关系. 二. 不等式法运用不等式法求最值必须关注三个条件即”一正二定三相等”．例2 求函数y=(ax2+x+1)/(x+1)(x>-1且a>0)的最小值. 解:y=(ax2+x+1)/(x+1)=ax+a/(x+1)+(1-a)=a(x+1)+ a/(x+1)+1-2a≥2+1-2a=1当a(x+1)=a/(x+1),即x=0时等号成立,∴ymin=1．三. 换元法主要有三角换元和代数换元换两种.用换元法时,要特别关注中间变量的取值范围．四. 数形结合法主要适用于具有几何意义的函数,通过函数的图象求最值. 例5　 已 知x2+y2-2x+4y-20=0求x2+y2的最值. 分析:本题已知条件转化为(x-1)2+(y+2)2=25,可用三角代换转化为三角函数最值问题处理,也可借助几何图形数形结合处理. 解:　作x2+y2-2x+4y-20=0的图形,它是圆心在P(1,-2)半径为5的圆,依题意有x2+y2=2x-4y+20,设x2+y2=z,则z=2x-4y+20即y=x/2 + (20-z)/4,其图形是斜率为1/2且与已知圆相交的一簇平行线,于是求z的最值问题就是求这簇平行线中在y轴的截距最大或最小问题.由平面几何知识知,圆心P(1,-2)到切线2x-4y+20-z=0的距离小于或等于半径,即≤5即|30-z|≤10故30-10≤z≤30+10,故z1=30-10为最小值,z2=30+10为最大值．即x2+y2最大值为30+10，最小值为30-10．五.函数的单调性法先判明函数给定区间上的单调性,而后依据单调性求函数的最值．例6　 已知函数f(x)定义域R,为对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)且x>0时f(x)<0,f(1)=-2试判断在区间[-3,3] 上f(x)是否有最大值和最小值?如果有试求出最大值和最小值,如果没有请说明理由. 解:　令x1=x2=0,则f(0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0, 令x1=x, x2=-x则f(x)+f(-x)= f(0)=0 ∴f(x)=-f(-x), ∴f(x)为奇函数. 设x1,x2∈R,且x10, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,∴ f(x2)0对一切x∈R均成立.函数表达式可化为(y-1)x2+(3y+3)x+4y-4=0,当y≠1时∵x∈R,上面的一元二次方程必须有实根,∴△=(3y+3)2-4(y-1)(4y+4)≥0 解得:1/7≤y≤7,(y≠1)当y=1时,x=0.故ymax=7,ymin=1/7 例8　 求函数y=x+的最大值和最小值七. 导数法设函数f(x)在[a,b]上连续在(a,b)上可导,则f(x)在[a,b]上的最大值和最小值应为f(x)在(a,b)内的各极值与f(a),f(b)中的最大值和最小值例9　 动点P(x,y)是抛物线y=x2-2x-1上的点,o为原点,op2当x=2时取得极小值,求,op2的最小值祝学习进步@

浅析高中数学函数最值问题求解方法~

最值问题是高中数学中永恒的话题，可综合地考查函数的性质、导数、均值不等式、线性规划、向量等知识的应用；涉及到代数、三角、几何等方面的内容；体现数学中的数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等思想与方法，并能综合考查学生的数学思维能力、分析和解决问题的能力，是历届高考中的焦点、热点、难点.本文就近几年高考中的常见类型略作探讨，难免有不当之处，权作抛砖引玉.
中国论文网 /9/view-4821051.htm
一、代数问题
一般通过考察常见函数的单调性，或者能够利用导数问题研究其单调性，在定义域内求最值，或者通过方程思想，得到不等式再求最值.
【例1】（2008·江西·第9题）若0<x<y<1，则（ ）.="" 　　A.3y<3x B.logx3<logy3 　　C.log4x<log4y d.<="" 　　简析：本题直接利用指数函数、对数函数的单调性，但对于B选项，真数相同，底数不同的情况，通过数形结合，可排除，选C.
【例2】求二次函数在[0，a]上的最值.
解析：=+2
结合图像，需对a进行分类讨论：
①若0≤a≤1，==3，=；
②若1　　③若a>2，=，==2.
评注：求在有限闭区间上的二次函数的最值问题，关键抓住两点：①二次函数图像的开口方向；②二次函数图像的对称轴与所给闭区间的相对位置关系.
此类型最值必然在区间端点或图像顶点处取得.
【例3】（2005·全国卷Ⅱ·文21题改编）
设a为实数，函数，求的最值.
解析：令=3x2-2x-1=0得=-，=1
∵，≥0，
∴函数在上是增函数，
∴==a+
显然不存在最小值.
与本题类似，2008全国卷I第19题、全国卷Ⅱ第22题（文）都出现了与导数有关的判断函数单调性的问题.
评注：导数知识放在高中阶段学习，为高中数学增添了许多亮点，同时也为高考数学的考查方向和难度提供了许多有利的条件.
【例4】已知，，求的最小值.
解法1：==5+≥5+=9
（当且仅当且x+y=1，即时取“=”号）
∴的最小值等于9.
说明：此法符合均值不等式的条件“一正二定三相等”.
解法2：∵x+y=1，令，（）
∴=
=
=
=≥=9
说明：此解法运用了三角换元，最后又运用了重要不等式，与法1实质相同.
解法3：利用柯西不等式
==
≥==9
说明：实质上令，，是的应用.
解法4：令=t，由，消去y可得：
转化为上述方程在内有解，故有，可得到t≥9.
所以最小值等于9.
说明：本解法体现了转化思想、方程思想.
评注：对本题的四种解法中，我们可看到解法1、解法2是较为简洁的.我们提倡一题多解，善于发现、总结，从中找出最优解法，逐步提高分析问题、解决问题的能力.
二、三角函数问题
三角函数作为一种重要的函数，也是高考考查的重点.三角函数常借助三角函数的有界性或利用换元转化为代数的最值问题.
【例5】（2008·全国卷Ⅱ·第8题）若动直线与函数与的图像分别相交于M、N两点，则的最大值为（ ）.
A.1 B. C. D.2
分析：画图像，数形结合是很难得到答案的.
易得，，则，利用正弦函数的有界性易知最大值为.
【例6】（2004全国卷）求函数的最大值.
解析：，
而，∴
评注：令，则，这样转化为区间或其子集上的二次函数的值域问题.类似的结构还有：，，等.
【例7】（2008重庆·第10题）
函数的值域为（ ）.
A. B. C. D.
分析：观察式子结构，若化为
∵，∴
但最小值不能直接观察出.因为分子取最小值时，分母取不到最小正数.
变形为另一种形式：，观察结构，
再配凑，会发现什么？
令，，问题转化为求的最值问题，数形结合，易知的范围是[]，从而选B.
可见向量作为工具的重要应用，应多观察、联想、对比、发现，从中寻找解决问题的最佳途径.
上述介绍的数学思想与方法是根据近几年部分高考试题总结的，也是最值求解问题中最常用的，只要在平时注意归纳，加强训练，就能够熟练运用.但没有任何一种方法能够“包打天下”，因此在具体实施时，还需要注意解题方法的选择，及各种思想方法的综合使用，实现优势互补，这样才能够“游刃有余”.

1. 二次函数在给定的区间上求最值（配方）
2. 一次分式（分离常数）
3. 二次分式（判别式法）
4. 三角函数
5. 高次函数（一般就三次，求导法）

这个问题很宽泛 有不明白的追问

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