圆锥体积公式的推导过程（详细） 圆锥体积公式的推导
课型：新课
教学目的与要求：掌握锥体的等积定值，锥体的体积公式。
理解“割补法”求体积的思想，培养学生发现问题，解决问题的能力。
教学重点与难点：公式的推导过程，即“割补法”求体积。
教学方法：发现式教学 教具：三棱柱模型、多媒体
1、复习祖日恒 原理及柱体的体积公式。
2、等底面积等高的任意两个锥体的体积。
（类比于柱体体积公式的得出）。首先研究等底面积等高的任意两个锥体体积之间的关系。
取任意两个锥体，设它们的底面积都是S，高都是h。
（图形没有打印）
（创造祖日恒 原理的条件）把这两个锥体放在同一个平面α上。这时它们的顶点都在和平面α的任意平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和底面顶点的距离是h，截面面积分别是S1、S2，那么：
∵S1/S=h12/h2，，S2/S=h12/h2，
∴S1/S=S2/S，S1=S2。
根据祖日恒 原理，这两个锥体的体积相等，由此得到下面的定理：
定理，等底面积等高的两个锥体的体积相等。
[本段设相利用多媒体使平行于底面的截面动态地作出，更直观地体现祖日恒 原理的实质。]
3、三棱锥的体积公式
为研究三棱锥的体积，可类比于初中三角形面积的求法。
[利用纪灯打出]
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C C D C D
② C ②
① �0�7 �0�7 ① �0�7 ① B
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A B A B A B
在初中，学习三角形的面积公式之前，已知有平行四边形的面积公式，为此，将ΔABC“补”成和它同底等高的平行四边形ABDC，然后沿其对角线BC，将平行四边形“分”成两个三角形，由对称性，得到的ΔABC的面积为平行四边形面积的一半，即为：SΔABC=1/2ah，（a其底边长，h为高）
而今，欲求三棱锥的体积，亦可类比地借助于已知的柱体体积公式。
能否将三棱锥“补”成一个底面积为S，高为h的三棱柱呢？
[可以]以AA’为侧棱，以ΔABC为底面补成一个三棱柱。
也采用“分”的方法，这个三棱柱可分成怎样的三棱锥呢？
（图形没有打印）
[引导学生观察分析]将三棱柱分割成三个三棱锥，如图就是三棱锥1，和另两个三棱锥2、3。
[设想，这个过程由计算机完成，先将三棱柱分割下三棱锥1，将剩余部分旋转一下，使BCC’B’作为底面，可看出为一四棱锥A’-BCC’B’，然后将其分成两个三棱锥]
三棱锥1、2的底ΔABA’、ΔB’A’B的面积相等，高也相等（顶点都是C）。三棱锥2、3的底ΔB’CB’、ΔC’B’C的面积相等，高也相等。（顶点都是A’）。
∴V1=V2=V3=1/3V三棱柱
∵V棱柱Sh
∴V三棱锥=1/3Sh
最后，因为和一个三棱锥等底面积等高的任何锥体都和这个三棱锥的体积相等，所以得到下面的定理。
定理：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是：V锥体=1/3Sh。
推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是：
V圆锥=1/3πr2h
高中的极限法，大学的微积分法
圆锥的体积公式如何推导，详细过程。~
圆锥的体积
一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积．
一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3
根据圆柱体积公式V=Sh（V=rrπh）,得出圆锥体积公式：
圆锥
V=1/3Sh
S是圆锥的底面积,h是圆锥的高,r是圆锥的底面半径.
证明：
把圆锥沿高分成k分
每份高
h/k,
第
n份半径：n*r/k
第
n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2
第
n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
因为
1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
=pi*h*r^2*
k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因为当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因为V圆柱=pi*h*r^2
所以
V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3
圆锥的体积
一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积．
一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3
根据圆柱体积公式V=Sh（V=rrπh），得出圆锥体积公式：
圆锥
V=1/3Sh
S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径。
证明：
把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,
第 n份半径：n*r/k
第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2
第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
因为
1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因为当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因为V圆柱=pi*h*r^2
所以
V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3
#漆朋饶# 圆锥的体积计算公式是怎样的?请你写出圆锥体积公式的推导过程. -
(13532062384)： 3分之1*底面积*高
#漆朋饶# 请问如何推导圆锥的体积公式? -
(13532062384)： 设底面半径为R,高为h.建立坐标系,其中原点为圆锥顶点,z轴为圆锥轴线,圆锥倒立.根据几何关系不难知道,位于z处的平行于底面的截面,半径为r(z)=zR/h,所以圆锥体积为∫π[r(z)]^2dz=πhR^2/3
#漆朋饶# 如何推导圆锥体积公式 -
(13532062384)： 把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k, 第 n份半径:n*r/k 第 n份底面积:pi*n^2*r^2/k^2 第 n份体积:pi*h*n^2*r^2/k^3 总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3 因为 1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6 所以 ...
#漆朋饶# 圆锥的体积推导过程 -
(13532062384)： 简单哦...同龄的同学我来告诉你:圆锥的体积等于圆柱的体积乘三分之一,也就是打个比方:圆柱的体积为50立方厘米,那么求出圆锥的体积:50*三分之一,谢谢求采纳
#漆朋饶# 圆锥体积公式是怎样推导出来的 -
(13532062384)： 将圆锥装满沙子,倒进同底等高的一个圆柱体中,到三次可以将圆柱装满 V圆锥=1/3V圆柱=1/3*Sh
#漆朋饶# 圆锥体的体积是怎样推导的 -
(13532062384)： 设圆锥高H,底面半径为R,底面积S=π*R^2 用平行于底面的平面把它切成n片,则每片的厚度为H/n 可把每片近似看做底半径为k/n*r的圆柱 其体积为(π*k/n*r)^2*h/n,对k=1到n求和得 S=πR^2H*(1/6/n^3)*n*(n+1)*(2n+1) 令n=无穷大,则S=1/3π...
#漆朋饶# 圆锥体积公式推到过程 -
(13532062384)： 积分. 不然用祖暅原理加一点几何直观的办法也可以. 会问这个问题的大概肯定不会微积分,所以我说一下用祖暅原理的想法. 祖暅原理指:等高处横截面积恒相等的两个立体,其体积也必然相等.严格证明其实还是要用微积分,不过这个比较直观,拿来用吧. 圆锥的横截面是一个圆,用几何关系不难推出截面圆的半径与截面与顶点距离h、圆锥高H及底面大圆半径R的关系(请自己画个图做),设它为r,则易见r = Rh/H. 于是看出r与高h是一次关系,故可以构造一个三棱锥,使它与圆锥等高且截面积与之相等.问题转化为求三棱锥体积. 三棱锥体积可以用割补的方法来证明,为了简单,还可以用祖暅原理化为求底为直角三角形的直棱锥,在立方体上进行割补.就不详细写了.
#漆朋饶# 急~求圆锥体积公式的推导过程!(不要倒水的)
(13532062384)： 设圆锥高H,底半径R 建坐标系:y为高轴,x为半径轴,y=0为顶点,y=H为底 则圆锥:x=Ry/H 则体积V=∫(πx²)dy,积分限为从y=0到y=H. V=πR²/H²*(∫y²dy)=(πR²/H²)*(H³/3)=πR²H/3
#漆朋饶# 圆锥的体积推导过程
(13532062384)： 一、等效替代法: 圆柱的体积为;SH 圆锥的体积是圆柱的三分之一(这个自己做实验就可以看出来.如:拿一个圆柱的器具和一个圆锥的器具,在圆锥的器具里倒满水,把水往圆柱的器具里倒,倒三次才倒满.对了,这个圆锥的器具的半径和高...
#漆朋饶# 圆锥体积公式是如何推导的这个不行:我们教学书上是用一个等底等高的一个圆柱和一个圆锥容器,然后在圆锥里放满米,往圆柱里倒,倒了3次正好满了.就... - 作业帮
(13532062384)：[答案] 将圆锥体沿水平向切成无数个小部分,每一部分看成圆柱体 则 dv=π*r^2*dh =π*h^2*tan^2 a*dh 所以 v=dv从0到h的积分=1/3πh^3tan^2 a=1/3π*r^2*h
