最大值和最小值怎么求 如何求函数的最大值与最小值？？
www.zhiqu.org 时间： 2024-06-02
三角函数最值是中学数学的一个重要内容,加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识,沟通三角,代数,几何之间的联系,培养学生的思维能力.
本文介绍三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法.
一,利用三角函数的有界性
利用三角函数的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1来求三角函数的最值.
[例1]a,b是不相等的正数.
求y=的最大值和最小值.
解:y是正值,故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小).
y2=acos2x+bsin2x+2·+asin2x+bcos2x
=a+b+
∵a≠b,(a-b)2>0,0≤sin22x≤1
∴当sin2x=±1时,即x=(k∈Z)时,y有最大值;
当sinx=0时,即x= (k∈Z)时,y有最小值+.
二,利用三角函数的增减性
如果f(x)在[α,β]上是增函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(β),最小值f(α);如果f(x)在[α,β]上是减函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(α),最小值f(β).
[例2]在0≤x≤条件下,求y=cos2x-sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值.
解:利用二倍角余弦公式的变形公式,有
y=-2sin2x-3·=2(cos2x-sin2x)-1
=2 (cos2xcos-sin2xsin)-1
=2cos(2x+)-1
∵0≤x≤,≤2x+≤
cos(2x+)在[0,)上是减函数
故当x=0时有最大值
当x=时有最小值-1
cos(2x+)在[,]上是增函数
故当x=时,有最小值-1
当x=时,有最大值-
综上所述,当x=0时,ymax=1
当x=时,ymin=-2-1
三,换元法
利用变量代换,我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解.
[例3]求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值.
解:f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)+sin2xcos2x
=1+2sinxcosx-sin2xcos2x
令t=sin2x
∴-≤t≤ ①
f(t)=1+2t-t2=-(t-1)2+2 ②
在①的范围内求②的最值
当t=,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)max=
当t=-,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)min=-
附:求三角函数最值时应注意的问题
三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一,也是会考,高考必考内容,在求解中欲达到准确,迅速,除熟练掌握三角公式外,还应注意以下几点:
一,注意sinx,cosx自身的范围
[例1]求函数y=cos2x-3sinx的最大值.
解:y=cos2x-3sinx=-sin2x-3sinx+1=-(sinx+)2+
∵-1≤sinx≤1,
∴当sinx=-1时,ymax=3
说明:解此题易忽视sinx∈[-1,1]这一范围,认为sinx=-时,y有最大值,造成误解.
二,注意条件中角的范围
[例2]已知|x|≤,求函数y=cos2x+sinx的最小值.
解:y=-sin2x+sinx+1=-(sinx-)2+
∵-≤x≤
∴-≤sinx≤
∴当sinx=-时
ymin=-(--)2+=
说明:解此题注意了条件|x|≤,使本题正确求解,否则认为sinx=-1时y有最小值,产生误解.
三,注意题中字母(参数)的讨论
[例3]求函数y=sin2x+acosx+a-(0≤x≤)的最大值.
解:∵y=1-cos2x+acosx+a-=-(cosx-)2++a-
∴当0≤a≤2时,cosx=,ymax=+a-
当a>2时,cosx=1,ymax=a-
当a<0时,cosx=0,ymax=a-
说明:解此题注意到参数a的变化情形,并就其变化讨论求解,否则认为cosx=时,y有最大值会产生误解.
四,注意代换后参数的等价性
[例4]已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π),求y的最大值,最小值.
解:设t=sinθ-cosθ=sin(θ-)
∴2sinθcosθ=1-t2
∴y=-t2+t+1=-(t-)2+
又∵t=sin(θ-),0≤θ≤π
∴-≤θ-≤
∴-1≤t≤
当t=时,ymax=
当t=-1时,ymin=-1
说明:此题在代换中,据θ范围,确定了参数t∈[-1,],从而正确求解,若忽视这一点,会发生t=时有最大值而无最小值的结论.
1.y=asinx+bcosx型的函数
特点是含有正余弦函数,并且是一次式.解决此类问题的指导思想是把正,余弦函数转化为只有一种三角函数.应用课本中现成的公式即可:y=sin(x+φ),其中tanφ=.
例1.当-≤x≤时,函数f(x)=sinx+cosx的( D )
A,最大值是1,最小值是-1 B,最大值是1,最小值是-
C,最大值是2,最小值是-2 D,最大值是2,最小值是-1
分析:解析式可化为f(x)=2sin(x+),再根据x的范围来解即可.
2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数
特点是含有sinx, cosx的二次式,处理方式是降幂,再化为型1的形式来解.
例2.求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并求出y取最小值时的x的集合.
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x
=1+sin2x+1+cos2x
=2+sin(2x+)
当sin(2x+)=-1时,y取最小值2-,此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}.
3.y=asin2x+bcosx+c型的函数
特点是含有sinx, cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来求解.
例3.求函数y=cos2x-2asinx-a(a为常数)的最大值M.
解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a,
令sinx=t,则y=-(t+a)2+a2+1-a, (-1≤t≤1)
(1) 若-a1时, 在t=-1时,取最大值M=a.
(2) 若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1时,在t=-a时,取最大值M=a2+1-a.
(3) 若-a>1,即a0,
y2=4cos4sin2
=2·cos2·cos2·2sin2
所以0 注:本题的角和函数很难统一,并且还会出现次数太高的问题.
6.含有sinx与cosx的和与积型的函数式.
其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子,处理方式是应用
(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 进行转化,变成二次函数的问题.
例6.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值.
解:令sinx+cosx=t (-≤t≤),则1+2sinxcosx=t2,所以2sinxcosx=t2-1,
所以y=t2-1+t=(t+)2-,
根据二次函数的图象,解出y的最大值是1+.
相信通过这一归纳整理,大家对有关三角函数最值的问题就不会陌生了.并且好多其它的求最值的问题可以通过代换转化成三角求最值的问题.希望同学们在做有关的问题时结合上面的知识.
题目有错没有
既然x>0 f(x)<0
怎没有f(1)=2?
如何计算函数的最大值和最小值？~
#焦类林# 怎么样求函数的最大值和最小值 -
(13997076982)： 这道题看到了绝对值只要判断下,因为有平方,所以按区间带5的绝对值,那么最大就是5,最小的话是代0 如果其它的2次函数求最值的话,只要配方就行了,然后画个图.一切搞定
#焦类林# 怎么求最大值和最小值 -
(13997076982)： 一个简单的操作,一份真诚的分享,现在把在execl表格里面如何求最大值和最小值的操作过程和技巧分享给大家,过程简单看图就会做,教程是自己原创的,其他分享平台估计也.
#焦类林# 如何求函数的最大值和最小值 -
(13997076982)： 怎样求函数最值 一. 求函数最值常用的方法 最值问题是生产,科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题,是高中数学的一个重点, 它涉及到高中数学知识的各个方面, 解决这类问题往往需要综合运用各种技能, 灵活选择合理的解题...
#焦类林# 最大值最小值怎么求呀? -
(13997076982)： f(θ)=4sinθ +2cosθ +1=(4^2 +2^2)^0.5 sin(θ+φ) +1 (其中φ角由点(4,2)所决定) =2*5^0.5 sin(θ+φ) +1 根据正弦函数的有界性,-1≤sin(θ+φ)≤1 故:1-2*5^0.5≤f(θ)≤1+2*5^0.5
#焦类林# 数学求最小值和最大值 -
(13997076982)： 3x+2y+z=5 ① 2x+y-3z=1 ② ①-②*2得 7z-x=3 ∴z=(x+3)/7 ③ ①*3+②得 11x+7y=16 ∴y=(16-11x)/7 ④ 把③④代入S=3x+y-7z得 S=3x+(16-11x)/7-(x+3)=(3x-5)/7 因为x,y,z都是大于等于零 ∴由z=(x+3)/7知0≤x 由y=(16-11x)/7知x≤16/11 ∴0≤x≤16/11 ∴当x=16/11时有S的最大值为-1/11 当x=0时有S的最小值为-5/7
#焦类林# 最小值最大值怎么求? -
(13997076982)： 一般情况下```求最大值或者最小值```都有平方或者是绝对值`` 你把式子配成平方``就可以很简单的求最大值或者最小值咯```呵呵``看情况而定哈```
#焦类林# 如何算三角函数的最大值和最小值 -
(13997076982)： 三角函数最大值为1,最小值为-1,然后看前边的系数就可以了额
#焦类林# Excel中最大值和最小值怎么计算 -
(13997076982)： 如果求B列的最大值,那么输入=MAX(B:B) 如果求B列的最小值,那么输入=MIN(B:B)
#焦类林# 如何求函数的最大值与最小值??
(13997076982)： 你的意思是你不理解M为什么是最大值? 在它的定义域里面它小于或等于M 那也就是说没有一个数可以大于M 也就是M是最大值咯. 其实最值的方法很多 一般有导数法是较普遍的,下面是常用的导数公式 1.y=c(c为常数) y'=0 2.y=x^n y'=nx^(n-1) ...
#焦类林# 求最大值和最小值
(13997076982)： 1.要求最值,定义域优先考虑,由分式不等式分母不等于0,可得x属于R 2因为x属于R,所以利用三角函数的有界性,反解三角函数(正,余弦都可以) 3 得2yCosx 10y=3Sinx-3 2yCosx-3Sinx=-10y-3 2yCosx-3Sinx这部分就用辅助角公式,等于根号下{(2y)^2加9}倍Sin(x b),b为辅助角,再将根号下{(2y)^2加9}除过去得Sin(x b)=(-3-10y)/根号 因为x属于R,所以x b也属于R,所以(-3-10y)/根号的绝对值小于等于1,即平方小于等于1,就得到关于y的不等式 由上面解得y大于等于负的8分之5小于等于〇
本文介绍三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法.
一,利用三角函数的有界性
利用三角函数的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1来求三角函数的最值.
[例1]a,b是不相等的正数.
求y=的最大值和最小值.
解:y是正值,故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小).
y2=acos2x+bsin2x+2·+asin2x+bcos2x
=a+b+
∵a≠b,(a-b)2>0,0≤sin22x≤1
∴当sin2x=±1时,即x=(k∈Z)时,y有最大值;
当sinx=0时,即x= (k∈Z)时,y有最小值+.
二,利用三角函数的增减性
如果f(x)在[α,β]上是增函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(β),最小值f(α);如果f(x)在[α,β]上是减函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(α),最小值f(β).
[例2]在0≤x≤条件下,求y=cos2x-sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值.
解:利用二倍角余弦公式的变形公式,有
y=-2sin2x-3·=2(cos2x-sin2x)-1
=2 (cos2xcos-sin2xsin)-1
=2cos(2x+)-1
∵0≤x≤,≤2x+≤
cos(2x+)在[0,)上是减函数
故当x=0时有最大值
当x=时有最小值-1
cos(2x+)在[,]上是增函数
故当x=时,有最小值-1
当x=时,有最大值-
综上所述,当x=0时,ymax=1
当x=时,ymin=-2-1
三,换元法
利用变量代换,我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解.
[例3]求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值.
解:f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)+sin2xcos2x
=1+2sinxcosx-sin2xcos2x
令t=sin2x
∴-≤t≤ ①
f(t)=1+2t-t2=-(t-1)2+2 ②
在①的范围内求②的最值
当t=,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)max=
当t=-,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)min=-
附:求三角函数最值时应注意的问题
三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一,也是会考,高考必考内容,在求解中欲达到准确,迅速,除熟练掌握三角公式外,还应注意以下几点:
一,注意sinx,cosx自身的范围
[例1]求函数y=cos2x-3sinx的最大值.
解:y=cos2x-3sinx=-sin2x-3sinx+1=-(sinx+)2+
∵-1≤sinx≤1,
∴当sinx=-1时,ymax=3
说明:解此题易忽视sinx∈[-1,1]这一范围,认为sinx=-时,y有最大值,造成误解.
二,注意条件中角的范围
[例2]已知|x|≤,求函数y=cos2x+sinx的最小值.
解:y=-sin2x+sinx+1=-(sinx-)2+
∵-≤x≤
∴-≤sinx≤
∴当sinx=-时
ymin=-(--)2+=
说明:解此题注意了条件|x|≤,使本题正确求解,否则认为sinx=-1时y有最小值,产生误解.
三,注意题中字母(参数)的讨论
[例3]求函数y=sin2x+acosx+a-(0≤x≤)的最大值.
解:∵y=1-cos2x+acosx+a-=-(cosx-)2++a-
∴当0≤a≤2时,cosx=,ymax=+a-
当a>2时,cosx=1,ymax=a-
当a<0时,cosx=0,ymax=a-
说明:解此题注意到参数a的变化情形,并就其变化讨论求解,否则认为cosx=时,y有最大值会产生误解.
四,注意代换后参数的等价性
[例4]已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π),求y的最大值,最小值.
解:设t=sinθ-cosθ=sin(θ-)
∴2sinθcosθ=1-t2
∴y=-t2+t+1=-(t-)2+
又∵t=sin(θ-),0≤θ≤π
∴-≤θ-≤
∴-1≤t≤
当t=时,ymax=
当t=-1时,ymin=-1
说明:此题在代换中,据θ范围,确定了参数t∈[-1,],从而正确求解,若忽视这一点,会发生t=时有最大值而无最小值的结论.
1.y=asinx+bcosx型的函数
特点是含有正余弦函数,并且是一次式.解决此类问题的指导思想是把正,余弦函数转化为只有一种三角函数.应用课本中现成的公式即可:y=sin(x+φ),其中tanφ=.
例1.当-≤x≤时,函数f(x)=sinx+cosx的( D )
A,最大值是1,最小值是-1 B,最大值是1,最小值是-
C,最大值是2,最小值是-2 D,最大值是2,最小值是-1
分析:解析式可化为f(x)=2sin(x+),再根据x的范围来解即可.
2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数
特点是含有sinx, cosx的二次式,处理方式是降幂,再化为型1的形式来解.
例2.求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并求出y取最小值时的x的集合.
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x
=1+sin2x+1+cos2x
=2+sin(2x+)
当sin(2x+)=-1时,y取最小值2-,此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}.
3.y=asin2x+bcosx+c型的函数
特点是含有sinx, cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来求解.
例3.求函数y=cos2x-2asinx-a(a为常数)的最大值M.
解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a,
令sinx=t,则y=-(t+a)2+a2+1-a, (-1≤t≤1)
(1) 若-a1时, 在t=-1时,取最大值M=a.
(2) 若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1时,在t=-a时,取最大值M=a2+1-a.
(3) 若-a>1,即a0,
y2=4cos4sin2
=2·cos2·cos2·2sin2
所以0 注:本题的角和函数很难统一,并且还会出现次数太高的问题.
6.含有sinx与cosx的和与积型的函数式.
其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子,处理方式是应用
(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 进行转化,变成二次函数的问题.
例6.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值.
解:令sinx+cosx=t (-≤t≤),则1+2sinxcosx=t2,所以2sinxcosx=t2-1,
所以y=t2-1+t=(t+)2-,
根据二次函数的图象,解出y的最大值是1+.
相信通过这一归纳整理,大家对有关三角函数最值的问题就不会陌生了.并且好多其它的求最值的问题可以通过代换转化成三角求最值的问题.希望同学们在做有关的问题时结合上面的知识.
题目有错没有
既然x>0 f(x)<0
怎没有f(1)=2?
最大值和最小值如何确定？
如何计算函数的最大值和最小值？~
最大值，即为已知的数据中的最大的一个值，在数学中，常常会求函数的最大值，一般求解方法有换元法、判别式求法、函数单调性求法、数形结合法和求导方法。
1.判别式求最值
主要适用于可化为关于自变量的二次方程的函数。根据二次方程图像的特点，求开口方向及极值点即可。
2.函数单调性
先判定函数在给定区间上的单调性，而后依据单调性求函数的最值
3.数形结合
主要适用于几何图形较为明确的函数，通过几何模型，寻找函数最值。
拓展资料：
示范解法
资料参考：百度百科 最大值 百度百科 最小值
求函数的最大值与最小值的方法：
f(x)为关于x的函数，确定定义域后，应该可以求f(x)的值域，值域区间内，就是函数的最大值和最小值。
一般而言，可以把函数化简，化简成为：
f(x)=k(ax+b)²+c 的形式，在x的定义域内取值。
当k>0时，k(ax+b)²≥0，f(x)有极小值c。
当k<0时，k(ax+b)²≤0，f(x)有最大值c。
关于对函数最大值和最小值定义的理解：
这个函数的定义域是【I】
这个函数的值域是【不超过M的所有实数的（集合）】
而恰好（至少有）某个数x0，
这个数x0的函数值f(x0)=M，
也就是恰好达到了值域（区间）的右边界。
同时,再没有其它的任何数的函数值超过这个区间的右边界。
所以,我们就把这个M称为函数的最大值。
扩展资料：
常见的求函数最值方法有：
1、配方法: 形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。
2、判别式法: 形如的分式函数, 将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于, 0, 求出y的最值, 此种方法易产生增根, 因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。
3、利用函数的单调性 首先明确函数的定义域和单调性, 再求最值。
4、利用均值不等式, 形如的函数, 及, 注意正,定,等的应用条件, 即: a, b均为正数, 是定值, a=b的等号是否成立。
5、换元法: 形如的函数, 令,反解出x, 代入上式, 得出关于t的函数, 注意t的定义域范围, 再求关于t的函数的最值。
参考资料来源：百度百科-函数最值
#焦类林# 怎么样求函数的最大值和最小值 -
(13997076982)： 这道题看到了绝对值只要判断下,因为有平方,所以按区间带5的绝对值,那么最大就是5,最小的话是代0 如果其它的2次函数求最值的话,只要配方就行了,然后画个图.一切搞定
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(13997076982)： f(θ)=4sinθ +2cosθ +1=(4^2 +2^2)^0.5 sin(θ+φ) +1 (其中φ角由点(4,2)所决定) =2*5^0.5 sin(θ+φ) +1 根据正弦函数的有界性,-1≤sin(θ+φ)≤1 故:1-2*5^0.5≤f(θ)≤1+2*5^0.5
#焦类林# 数学求最小值和最大值 -
(13997076982)： 3x+2y+z=5 ① 2x+y-3z=1 ② ①-②*2得 7z-x=3 ∴z=(x+3)/7 ③ ①*3+②得 11x+7y=16 ∴y=(16-11x)/7 ④ 把③④代入S=3x+y-7z得 S=3x+(16-11x)/7-(x+3)=(3x-5)/7 因为x,y,z都是大于等于零 ∴由z=(x+3)/7知0≤x 由y=(16-11x)/7知x≤16/11 ∴0≤x≤16/11 ∴当x=16/11时有S的最大值为-1/11 当x=0时有S的最小值为-5/7
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(13997076982)： 如果求B列的最大值,那么输入=MAX(B:B) 如果求B列的最小值,那么输入=MIN(B:B)
#焦类林# 如何求函数的最大值与最小值??
(13997076982)： 你的意思是你不理解M为什么是最大值? 在它的定义域里面它小于或等于M 那也就是说没有一个数可以大于M 也就是M是最大值咯. 其实最值的方法很多 一般有导数法是较普遍的,下面是常用的导数公式 1.y=c(c为常数) y'=0 2.y=x^n y'=nx^(n-1) ...
#焦类林# 求最大值和最小值
(13997076982)： 1.要求最值,定义域优先考虑,由分式不等式分母不等于0,可得x属于R 2因为x属于R,所以利用三角函数的有界性,反解三角函数(正,余弦都可以) 3 得2yCosx 10y=3Sinx-3 2yCosx-3Sinx=-10y-3 2yCosx-3Sinx这部分就用辅助角公式,等于根号下{(2y)^2加9}倍Sin(x b),b为辅助角,再将根号下{(2y)^2加9}除过去得Sin(x b)=(-3-10y)/根号 因为x属于R,所以x b也属于R,所以(-3-10y)/根号的绝对值小于等于1,即平方小于等于1,就得到关于y的不等式 由上面解得y大于等于负的8分之5小于等于〇
