各区域内部收敛，整体可能收敛吗 收敛域和收敛区间有什么区别
www.zhiqu.org 时间： 2024-06-16
总的来说局部收敛性指的是初值取在根的局部时算法(一般)具有二阶收敛速度, 全局收敛性是指初值在定义域内任取时算法是否收敛, 若收敛其速度如何, 收敛到哪个根.
具体来说
局部收敛性有如下定理
设已知 f(x) = 0 有根 a, f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续).
若 f'(a) != 0(单重零点), 则初值取在 a 的某个邻域内时, 迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到的序列 x[n] 总收敛到 a, 且收敛速度至少是二阶的.
若 f'(a) == 0(多重零点), 则初值取在 a 的某个邻域内时, 收敛速度是一阶的.
记 g(x)=x-f(x)/f'(x), 其中"某个邻域"可由 |g'(x)|<1 的区间确定, 但是 g'(a)==0, 所以这样的邻域总是能取到的.
说收敛速度是 r 阶指的是: 存在 r 及常数 c 使 lim_{n->\inf} |x[n+1]-a|/|x[n]-a|^r = c
至于牛顿迭代法的全局收敛性, 一般的数值分析书都没有详细叙述, 而只是举一些例子.
因为牛迭是否收敛依赖于函数是否"单调", 一些"曲折"大的函数就可能使迭代法不收敛了.
经常举的例子是三次函数, 比如 x^3 - x == 0. 有 -1,0,1 三个根.
迭代的时候如果取初值 x[1] = sqrt(0.2) = 0.4472.., 则得到 x[2] = sqrt(0.2), x[3] = sqrt(0.2) ... 收敛到 sqrt(0.2), 而这不是原方程根.
另外也可能不收敛, 或者不是收敛到离初值最近的根. 当然, 对于三次函数, 除了个别点, 牛迭总是收敛到某个根的, 因为初值远离原点时由于函数的单调性, 总会被拉回"局部".
事实上在复平面上三次函数的根的牛迭收敛行为是个著名的分形...足见全局收敛性的复杂.
如何理解全局收敛和局部收敛~
#房平货# 级数中收敛区间和收敛域有什么区别? -
(13627338380)： 收敛区间是个开区间,收敛域是在收敛区间的基础上,考虑端点是否也收敛,最后可能是开区间,可能是闭区间,也可能是半开半闭区间.收敛憨罚封核莩姑凤太脯咖区间可通过收敛半径来求或直接通项加绝对值用比值法或根值法
#房平货# 级数的收敛域,收敛半径,收敛区间分别代表什么? -
(13627338380)： 对于一个函数项级数来说,若x取某点时对应的常数项级数收敛,则称该点是函数项级数的收敛点,函数项级数所有收敛点的集合称为它的收敛域. 可以证明函数项级数的收敛域是一个区间,此区间称为函数项级数的收敛区间; 这个区间长度的一半称为函数项级数的收敛半径.
#房平货# 级数中收敛域和收敛区间有什么不同?
(13627338380)： 收敛域:要判断级数的绝对收敛半径、端点处的收敛情况、端点是否可取,可能是开区间,可能是闭区间或半开半闭,以此确定收敛域 收敛区间:就表示为(-R,R)的开区间,不用讨论收敛半径和端点处情况
#房平货# 幂级数在一区间内绝对收敛,区间外面条件收敛,那幂级数的收敛区间是哪个? -
(13627338380)： 幂级数的收敛性比较特别, 如果收敛区间(-R,R)存在, 又不是(-∞,+∞) 那么在(-R,R)内,幂级数绝对收敛 在(-∞,-R)∪(R,+∞)内,幂级数发散 换言之,条件收敛的点只可能在±R处可能取得.
#房平货# 收敛区间为什么是 - 3,1 -
(13627338380)： 1.求收敛半径 因为x=1条件收敛,收敛半径R=|1+1|=2 收敛半径R=2,所以|x+1|<R=2时,幂级数收敛,所以收敛区间为-3<x<1 特别注意x=-3,可能收敛,也可能发散 收敛区间为-3<x<1或者-3≤x<1.题干不太准确
#房平货# 区域整体性体现在哪些方面? -
(13627338380)： 区域内部各地理要素之间相互作用,相互影响,构成一个统一的整体.如果区域内部的某一要素发生变化,也会影响其他要素的变化.例如,某一区域气候的变化,会影响到植物,动物,土壤以及人类活动的变化.以青藏高原为例,由于地势高,空气稀薄,太阳辐射强烈;气温低,冰川冻土广布;植被稀少且耐寒的草原的高山草甸灌丛为主;动物耐寒且种类少.自然环境制约着当地的工农业生产,人口和城市分布等,该地区以高寒农牧业为主,人口和城市以及农业区集中与于河谷地带等.人类活动对自然环境的影响微弱,许多地方保持着原始的自然状态.
#房平货# 幂级数在收敛区间内绝对收敛吗
(13627338380)： 幂级数在收敛区间内不一定绝对收敛,级数的收敛区间为(-1,1),但在x=-1处条件收敛.幂级数是数学分析当中重要概念之一,是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的(x-a)的n次方(n是从0开始计数的整数,a为常数).幂级数是数学分析中的重要概念,被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中.幂级数的形式很像多项式,在很多方面有类似的性质,可以被看成是“无穷次的多项式”.反过来多项式也可以被看成是从某一项开始系数为零的幂级数.
#房平货# 这道题判断收敛性为什么不能分开算? -
(13627338380)： 两个发散级数的代数和敛散性是不确定的可能收敛,也可能发散所以,不能分开算只能看成一个整体来判断敛散性如果是一个收敛的级数和一个发散的级数则它们的代数和构成的新级数一定发散这时可以分别判断敛散性
#房平货# 幂级数的收敛区间与收敛域有什么区别?
(13627338380)： 如果幂级数的收敛半径为r, 则不管端点收敛性如何,直接结论收敛区间(-r,r) 如果进一步讨论,该级数在点-r或r处的收敛性, 比如在点-r收敛,在点r不收敛,则称该幂级数的收敛域为[-r,r) 比如在点-r,r处都收敛,则称该幂级数的收敛域为[-r,r] 比如在点-r,r处都不收敛,则该幂级数的收敛域仍为(-r,r) 简而言之,收敛区间直接根据收敛半径而得, 收敛域是讨论收敛区间两端点收敛性后的结论 收敛区间可能同于收敛域,可能是收敛域的子集.
#房平货# 收敛域里面包括使级数条件收敛的收敛点吗 -
(13627338380)： 收敛域只要级数在该点收敛即可, 因此包括条件收敛的点.例如幂级数∑x^n/n的收敛域就是[-1,1), 在-1处是条件收敛的.
具体来说
局部收敛性有如下定理
设已知 f(x) = 0 有根 a, f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续).
若 f'(a) != 0(单重零点), 则初值取在 a 的某个邻域内时, 迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到的序列 x[n] 总收敛到 a, 且收敛速度至少是二阶的.
若 f'(a) == 0(多重零点), 则初值取在 a 的某个邻域内时, 收敛速度是一阶的.
记 g(x)=x-f(x)/f'(x), 其中"某个邻域"可由 |g'(x)|<1 的区间确定, 但是 g'(a)==0, 所以这样的邻域总是能取到的.
说收敛速度是 r 阶指的是: 存在 r 及常数 c 使 lim_{n->\inf} |x[n+1]-a|/|x[n]-a|^r = c
至于牛顿迭代法的全局收敛性, 一般的数值分析书都没有详细叙述, 而只是举一些例子.
因为牛迭是否收敛依赖于函数是否"单调", 一些"曲折"大的函数就可能使迭代法不收敛了.
经常举的例子是三次函数, 比如 x^3 - x == 0. 有 -1,0,1 三个根.
迭代的时候如果取初值 x[1] = sqrt(0.2) = 0.4472.., 则得到 x[2] = sqrt(0.2), x[3] = sqrt(0.2) ... 收敛到 sqrt(0.2), 而这不是原方程根.
另外也可能不收敛, 或者不是收敛到离初值最近的根. 当然, 对于三次函数, 除了个别点, 牛迭总是收敛到某个根的, 因为初值远离原点时由于函数的单调性, 总会被拉回"局部".
事实上在复平面上三次函数的根的牛迭收敛行为是个著名的分形...足见全局收敛性的复杂.
如何理解全局收敛和局部收敛~
按我的理解，简单来说就是，二者收敛性是否与具体的收敛点有关，要是无关就是全局收敛，反之则是局部收敛。
#房平货# 级数中收敛区间和收敛域有什么区别? -
(13627338380)： 收敛区间是个开区间,收敛域是在收敛区间的基础上,考虑端点是否也收敛,最后可能是开区间,可能是闭区间,也可能是半开半闭区间.收敛憨罚封核莩姑凤太脯咖区间可通过收敛半径来求或直接通项加绝对值用比值法或根值法
#房平货# 级数的收敛域,收敛半径,收敛区间分别代表什么? -
(13627338380)： 对于一个函数项级数来说,若x取某点时对应的常数项级数收敛,则称该点是函数项级数的收敛点,函数项级数所有收敛点的集合称为它的收敛域. 可以证明函数项级数的收敛域是一个区间,此区间称为函数项级数的收敛区间; 这个区间长度的一半称为函数项级数的收敛半径.
#房平货# 级数中收敛域和收敛区间有什么不同?
(13627338380)： 收敛域:要判断级数的绝对收敛半径、端点处的收敛情况、端点是否可取,可能是开区间,可能是闭区间或半开半闭,以此确定收敛域 收敛区间:就表示为(-R,R)的开区间,不用讨论收敛半径和端点处情况
#房平货# 幂级数在一区间内绝对收敛,区间外面条件收敛,那幂级数的收敛区间是哪个? -
(13627338380)： 幂级数的收敛性比较特别, 如果收敛区间(-R,R)存在, 又不是(-∞,+∞) 那么在(-R,R)内,幂级数绝对收敛 在(-∞,-R)∪(R,+∞)内,幂级数发散 换言之,条件收敛的点只可能在±R处可能取得.
#房平货# 收敛区间为什么是 - 3,1 -
(13627338380)： 1.求收敛半径 因为x=1条件收敛,收敛半径R=|1+1|=2 收敛半径R=2,所以|x+1|<R=2时,幂级数收敛,所以收敛区间为-3<x<1 特别注意x=-3,可能收敛,也可能发散 收敛区间为-3<x<1或者-3≤x<1.题干不太准确
#房平货# 区域整体性体现在哪些方面? -
(13627338380)： 区域内部各地理要素之间相互作用,相互影响,构成一个统一的整体.如果区域内部的某一要素发生变化,也会影响其他要素的变化.例如,某一区域气候的变化,会影响到植物,动物,土壤以及人类活动的变化.以青藏高原为例,由于地势高,空气稀薄,太阳辐射强烈;气温低,冰川冻土广布;植被稀少且耐寒的草原的高山草甸灌丛为主;动物耐寒且种类少.自然环境制约着当地的工农业生产,人口和城市分布等,该地区以高寒农牧业为主,人口和城市以及农业区集中与于河谷地带等.人类活动对自然环境的影响微弱,许多地方保持着原始的自然状态.
#房平货# 幂级数在收敛区间内绝对收敛吗
(13627338380)： 幂级数在收敛区间内不一定绝对收敛,级数的收敛区间为(-1,1),但在x=-1处条件收敛.幂级数是数学分析当中重要概念之一,是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的(x-a)的n次方(n是从0开始计数的整数,a为常数).幂级数是数学分析中的重要概念,被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中.幂级数的形式很像多项式,在很多方面有类似的性质,可以被看成是“无穷次的多项式”.反过来多项式也可以被看成是从某一项开始系数为零的幂级数.
#房平货# 这道题判断收敛性为什么不能分开算? -
(13627338380)： 两个发散级数的代数和敛散性是不确定的可能收敛,也可能发散所以,不能分开算只能看成一个整体来判断敛散性如果是一个收敛的级数和一个发散的级数则它们的代数和构成的新级数一定发散这时可以分别判断敛散性
#房平货# 幂级数的收敛区间与收敛域有什么区别?
(13627338380)： 如果幂级数的收敛半径为r, 则不管端点收敛性如何,直接结论收敛区间(-r,r) 如果进一步讨论,该级数在点-r或r处的收敛性, 比如在点-r收敛,在点r不收敛,则称该幂级数的收敛域为[-r,r) 比如在点-r,r处都收敛,则称该幂级数的收敛域为[-r,r] 比如在点-r,r处都不收敛,则该幂级数的收敛域仍为(-r,r) 简而言之,收敛区间直接根据收敛半径而得, 收敛域是讨论收敛区间两端点收敛性后的结论 收敛区间可能同于收敛域,可能是收敛域的子集.
#房平货# 收敛域里面包括使级数条件收敛的收敛点吗 -
(13627338380)： 收敛域只要级数在该点收敛即可, 因此包括条件收敛的点.例如幂级数∑x^n/n的收敛域就是[-1,1), 在-1处是条件收敛的.
