关于笔算的问题 笔算问题
www.zhiqu.org 时间： 2024-06-02
徒手开n次方根的方法:
原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,
则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值
用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:
我们求 2301781.9823406 的5次方根:
第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;
23'01781.98234'06000'00000'00000'..........
从高位段向低位段逐段做如下工作:
初值a=0,差c=23(最高段)
第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1
差c=23-b^5=22,与下一段合成,
c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781
第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,
b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234
第4步:a=18,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,
b取最大值7
说明:这里可使用近似公式估算b的值:
当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:
b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7
以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值
差c=1508808527;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000
第5步:a=187,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,
b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=2833590858436800000
第6步:a=1872,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,
b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000
.............................
最后结果为:18.724......
http://zhidao.baidu.com/question/8563091.html
论三角函数的笔解方法
三角数学发展到今天，已经达到相当完美的程度，但它却并不完善，
是因为在解题时须通过查表或计算器才能完成，试想，在生活中，我们随
时随地都有可能去计算一个数据，但我们不可能随时随地都带着函数表或
计算器，没了它们怎么办呢？这人问题不容忽视，它的解决在三角数学领
域里应该占有举足轻重的地位。
那么，三角函数有没有笔算可以解决的方法呢？问必有答，大家不妨
先来看看下面的方法如何。
正弦和余弦的精确计算
方法一
我们知道y=sin x 是三角函数的关系表达式之一,但是从这个表达式
我们并不能看出y和x之间到底是怎样一种关系,因此要想从等式的一
边得到另一边就必须先搞清它们之间的关系。
那么，如何寻找这种关系呢？若想寻找到两者之间关系，就应该先
对两者有着清楚深刻地认识，让我们先来认识一下y，即正弦，说到正弦，
我们不禁会联想到正弦定理： a/sina=b/sinb=c/sinc=2R，
通过变形可得到a/(2R)=sina,b/(2R)=sinb,c/(2R)=sinc 又因sin x=cos(90º-x)，
由此可知正、余弦的意义实际上是在圆中圆周角所对的弦与直径的比。让
我们再来认识一下 X ，即角度，提到角度，我们不禁会联想到计算弧长
的公式L=(nπr)/180º,通过变形可得到n=180ºL/(πr)=360º×L/(2πr)由
此可知角度的意义实际上是在圆中一角所对弧与圆周长的比。
通过对x、y的认识，我们便可发现x、y的关系实际上是弦与弧的关
系，那么怎样从弦中得到弧，或相反呢？让我们看看下面的方法如何。
当我们知道了一角的正弦值，即sin X时,通过半角公式
Sin(x/2=[(1-cosx)/2]-2,我们就可得到半角sin(x/2)的值,同样也可得到sin(x/22) sin(x/23 )、... sin (x/2 a ),如此一来弦和与弧长就会十分接近,假如所求得的极值为sin(x/n)(设2 a=m),那么弧长即为n Sin(x/m),如此就可得到Y与X的关系,
Y=sinm( ), （m∈N，且m→+∞）
X=180 º×m×sin(m-1y)（m∈N，且m→+∞）
同时也达到了从等式的一边求另一边的目的。
从上面的方法可以看出。利用Y与X的关系可以笔解，但由于求倍角值和分角值的运算比较复杂，给笔算求值带来很大不便，不宜笔算。
那有没有一种适宜的笔算方法呢？让我们再来看看下面的方法如何。
方法二
众 所 周 知，在 数 学 里 有 一 个 重 要 的 公 式：
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB。从这个公式里我们可以看出每个函数值之间都有存在着一定的联系，那么这个联系是什么呢？通过这个联系能否找到笔算解决的办法呢？归根结蒂这个联系就是上面的公式，因为通过此公式可以从一个函数值推出其它三角函数值，也就是所谓的另种笔算解法。
经上面介绍，大家大概可以明白这个解法是利用所推出公式来计算的，但是不是要推出并记住所有的公式呢？大可不必，只需9个就可以了，
即：C2=2C2-1 C3=C(4C2-3） C4=8C2（C2-1）+1
C5=C（16C4-20C2+5） C6= 2C2（4C2-3）2-1
C7=（1+C）（8C3-4C2-4C+1）2-1 C8=2（8C4-8C2+1）2-1
C9=C(4C2-3)[ 4C2-3]2-3] C10=2C2(164-20C2+5)2-1
（注：C=cosA，C2=cos2A……C10=cos10A）
另外再记住1 º，1′角的余弦值就可以使用了，
即：cos1 º=0.99984769516 cos1′=0.999999957692807
例如:求cos76 º的值?
解:1,通过1 º的余弦值利用C6,C7公式求出6 º,7º的余弦值。
2，把7º角余弦值代入公式求出70º角的余弦的值。
3，通过cos（A+B）的公式把70º角的余弦值和6 º的余弦值相加，即：cos76 º
的值。
若求正弦，正切，余切的值可通过以下公式：
sinA= cos（90 º-A），sinA（1- cos2A）-2，taA= sinA/ cosA，ctg= cosA / sinA
可以看出，使用这种方法可以求解，但需要太多的公式，且公式中有许多二次，三次，四次方运算，计算的数值也多有重复，运算过程过于繁杂等等，若想来方便的利用它，只有把这些公式编成程序办入到计算机中使用了，那么如何利用它在笔算中简便的使用呢？
正弦和余弦的实际应用计算
方法一
我们知道在用以上公式所求的角度值中，有一些角的计算是常用的，我们称它为基本角，如果能将其直接记住，那么计算时就可大为简便，根据需要，把下面数值都精确到四位小数，它们是：
sinN′=N×2.909×10-4(0′≤N≤300′)
cos1′--- cos35′=1.0000 cos36′--- cos59′=0.9999
-sin1º=0.0175 sin2º=0.0349 sin3º=0.0523 sin4º=0.0698 sin5º=0.0872
sin6º=0.1045 sin7º=0.1219 sin8º=0.1392 sin9º=0.1564 sin10º=0.1736
sin20º=0.3420 sin30º=0.5000 sin40º=0.6428 sin50º=0.7660 sin60º=0.8660
sin70º=0.9397 sin80º=0.9848
例：求sin33º33′=？（注：有些数字仍需开平方，大家不妨学一下笔算开平方的方法，具体解法请参考初二代数157页）
解：sin33º= sin(30º＋3ˋ).
=0.5×(1-0.0523²)-²+0.8660×0.0523=0.5446
sin33º= sin(30º＋33ˋ).
=0.5446+(1-0.5446²)-²×33×2.909×10-4=0.5526
可以看出,这种方法基本上达到了笔算要求,运算相对也比较简便，
但它的完整运算步骤要两个，其中还要平方、开方，仍有些不便。
方法二
如何才能更简便呢？若要解决这个问题，需要在记忆上多下此功夫---
多记一些基本角，即在我们所知道的sin1ˋ---sin1º，cos1ˋ---cos59ˋ等基本角的基础上再记住sin1º---sin189º之间的基本角,这样运算可十分简便,仅需要一个步骤就可解决,且不需要任何平方,开方,如求---sin55º55ˋ的值?
解: sin55º55ˋ=sin(55º＋55ˋ)=0.8192×0.9999＋55×2.909×10-4×0.5736
=0.8283
当然,有利也有弊,记八九十个是不少,但它并未超出我们的能力,
就像学习乘法运算需要记数十个乘法口决,学习计算机五笔打字需要记几
百个字根一样,这是我们学习知识的基础,是必不可少的。
由角度可求出相应的函数值，那么由函数值如何求相应的角度呢？
例如：求Sinx=0.7859,
解:1.找出基本角中与0.7859较接近的数值(Sin51 º)
2．把此角代入Sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB中求出值及相应的角度：
Sin（A-51 º）=0.7589×0.6293-(1-0.78592)-2×0.7771
=0.014
同时计算出这个角度:0.014÷2.909÷10-4≈48ˋ;
3.将所有角度与余角相加,即正弦值0.7859的角度:51 º+48ˋ=51º48ˋ。
可将以上步骤总结为一个公式：
X=（SinA- SinB）/（2.909×10-4)+B,[( SinA- SinB）≤300ˋ]
方法三
纵观以上方法，都是从笔算的解题，间接表明角度与三角函数值之间的关系，那么有没有一种非计算解题，又能直接表明角度与三角函数之间关系的方法呢？让我们来看一种作图查表的方法怎么样？
由上表我们可能看出通过它既可解题，又能直接表明其间的关系，
且制作原理和方法简单，根据我们解题的需要可将它制作得尽量精密。
可能你对以上的方法都不感到满意，但如果你的计算范围是在万分
之一精确度，那么以下的方法也许会能满足你的要求。
方法四
从上一种方法的图表中我们可以看出，三角函数值在一定范围内（如
在1度之间）的变化率不大，也就是说在一定范围内它们还存在着一定的
正比对应关系，如果我们能将这范围内的变化率掌握，那么整个三角函数
值便很容易算出，即：
sin4º=0.0698 sin6º=0.1045 sin8º=0.1392 sin11º=0.1908 sin13º=0.2250
sin15º=0.2588 sin17º=0.2924 sin19º=0.3256 sin21º=0.3584 sin23º=0.3907
sin25º=0.4226 sin26º=0.4384 sin28º=0.4695 sin30º=0.5000 sin32º=0.5299
sin34º=0.5592 sin35º=0.5736 sin36º=0.5878 sin38º=0.6157 sin40º=0.6428
sin41º=0.6561 sin43º=0.6820 sin44º=0.6947 sin45º=0.7071
只要将以上基本角的正弦值记住便很容易计算出任何一个角度的
余弦值,例:求Sin25º25ˋ=？
1. 从我们所记的基本角中找出Sin25º25ˋ所处的位置,设这个角为SinAB
(A=25º25ˋ)可发现此角处在我们已知的基本角中的26度与25度之
间,设这两个角分别是角B,角C,B=26º C=25º；
2． 将此角代入以下关系式计算：
SinA= SinC＋（SinB－SinC）×[（A－C）÷（B－C）]
如：Sin25º25ˋ= Sin25º＋（Sin26º－Sin25º）×（25÷60）
=0.4226＋(0.4383－0.4226)×0.417
=0.4292
下面让我们来看看如何求解角度:arcsin0.2222=?
1. 同样,先找出0.2222处在我所记的基本角中的位置,设这个值为A,可发现A处在sinA,可发现A处在sin11 º和sin13 º之间,设这两个分别为角B,角C,B=11 ºC=13 º;
2. 将此值代入以下关系式计算:
arcsinA=B+(A-sinB)÷（sinC- sinB）×（C-B）
如：arcsin0.2222=11º+(0.2222- sin11º) ÷(sin13º- sin11º) ×(13º-11º)
=11º+(0.2222-0.1938) ÷(0.2250-0.1908) ×2 º
≈12.84 º
对于求大于45度(arcsin0.7071)的正弦函数或求余弦函数可根据以下几种方法解决:
①:开方法
如求sin60 º30ˋ=?
1:将此角转变成sin45 º以内的角来求:
sin60 º30ˋ=cos29 º30ˋ=(1- sin229 º30ˋ)-2
2.如求sinA=0.8888,同样将它转变为sin45 º以内的值再求:
arcsin0.8888=90º- arcsin(1-0.88882)-2
②倍乘法
如求sin60 º30ˋ=?
1:利用sina=cos[2×(45º- )]=1-2sin2(45º- )将其转变为sin45º以
内的角来求:
sin60 º30ˋ= cos[2×(45º－30º15ˋ)]=1－2sin2(45º－30º15ˋ)
2：如：求Sinx=0.7859,
arcsina=arccos(51º－a)=90º－1arccosN(90º－a)将其转变为sin45º以内
的角来求
arcsin0.8888=arccos0.8888=90º－1 arcsin(2×0.88882-1)
③ :综合法
1. 如求如求sin60 º30ˋ=?
①用倍乘法解决 :
利用sina=cos[2×(45º- )]=1-sin2(45º- )将其转变为sin45º以内的
角来求:
sin60 º30ˋ= cos[2×(45º－30º15ˋ)]=1－2sin2(45º－30º15ˋ)
② :利用cosa=sina/ tga
sin60º30ˋ= cos29º30ˋ=sin29º30ˋ/tg29º30ˋ
可以看出这时我们须先将sin29º30ˋ和tg29º30ˋ的值求出，
sin29º30ˋ的值我们可以根据前面的介绍的方法求出，有关tg29º30ˋ
的值求法请看下面的正切余切的求法！
2：如求SinA=0.8888
①：用倍乘法解决:
利用arcsina=arccos(90º-a)= 90º- arccosN(90º-a)将其转变成sin45º
以内的角来求
arcsin=0.8888= arccos0.8888=90º- arccos(2×0.8888²-1)
②:利用特别开方法将其转变成sin45º以内的角来求
设: a＋2b=90º， 则Sina=cos2b=1-2sin²b
arcsina=90º-2arcsinb
=90º-2arcsin[0.5×(1-sinb)] -2
因此: arcsin0.8888=90º－2 arcsin[0.5×(1-0.8888)] -2
可以看出,通过上面的开方法不用平方而可以直接开方,计算简单了
很多!
方法五
以上方法具有总记忆少,容易学,但时有开平方,如果您为了使计算更
加简便,最好学一下多记少算的这种方法:在掌握前45度角中的23个的
基础上再记住以下50个: 除46º、48º、56º、58º、外，46º—90º之间的每
个自然角度的正弦值都要牢记，此外还须将76.5º、77.5º、78.5º、79.5º、
80.5º、83.5º、84.5º、88.5º、89.25º的正弦值记住即可,其计算方法与前
45度中的角相同。
大家知道，其实只要我们知道了正弦和余弦的值，正切和余切值就可
以计算出来，为什么还要研究正切和余切的计算呢？其原因有二，其一是
利用正弦余弦来计算正切余切的值比较麻烦，不简便；其二是利用正余弦
无法计算反正切和反余切的值；所以我们要研究正切和余切的计算下面就
让我们来看看如何进行正切和余切的计算。
正切和余切的精确计算
其实正切和余切的精确计算和正余弦的精确计算原理差不多，都需要
先求出正切的极值，然后利用倍角公式进行求值，又因为正切的极值与正
弦的极值十分接近它的求法也可用到正弦的计算方式，即：
sina=tga(a→0),然后通过正切的倍角公式如: tg2a=(2tga)/(1-2tg²a)求出
所要求的数值,而要求反正切.余切的值需要通t¬g(a-b)=(tga-t¬gb)/(1＋tgat¬gb)
逐角想减,然后将相减的角再相加便可! 大家可能会感到正切余切的精确
计算不实用, 是的, 这些都需要计算机来完成才行, 而我们只需要知道其
计算原理便可, 下面让我们来看看正余切的实际应用的计算方法。
正切和余切的实际应用计算
受到正余弦实际应用计算方法的启示，正余切的计算也是一样的，我
们同样需要先记住以下基本角的正切值，它们是：
tg4º=0.0699 tg8º=0.1405 tg11º=0.1944 tg14º=0.2493 tg16º=0.2493
tg18º=0.3249 tg20º=0.3640 tg22º=0.4040 tg24º=0.4452 tg26º=0.4877
tg28º=0.5317 tg29º=0.5543 tg30º=0.5574 tg31º=0.6009 tg32º=0.6249
tg33º=0.6494 tg34º=0.6745 tg35º=0.7002 tg36º=0.7265 tg37º=0.7536
tg38º=0.7813 tg39º=0.8098 tg40º=0.8391 tg41º=0.8693 tg42º=0.9004
tg43º=0.9325 tg44º =0.9657 tg40º=1.0000
其计算方法也和正余弦一样，只是有±0.0001的误差,如求tg25º25ˋ=?
1. 从我们所记的基本角中找出tg25º25ˋ所处的位置，设这个角为tgA
设这两个角分别是角C，角D，C=26º，D=24º；
2．将此角代入以上公式计算：
tgA= tgA＋(tgC－tgD)×[(A－D)÷(C－D)]
如: tg25º25ˋ=tg24º＋(tg26º－tg24º)×[(25º25ˋ－24º)÷(26º－24º)]
=0.4452＋(0.4877－0.4452)×0.7085
=0.4753
反正切的求法与反正弦的也一样,如求arctg0.2222=?
1. 同样，先找出0.2222处在我所记的基本角中的位置，设这个值为 A，
可发现 A 处在tg11º和tg14º之间，设这两个角分别为角 B，角 C ，
B=11º，C=14º；
2．将此值代入以下公式计算：
arctgA=B＋(A-tgB)÷(tgC- tgB)×(C-B)
如: arctg0.2222=11º＋(0.2222－tg11º)÷(tg14º—tg11º)×(14º－11º)
=11º＋(0.2222－0.1944)÷(0.2493-0.1944)×3º
=12.25º
而tg45º-tg90º之间的角度计算只需要通过tga×ctga=1来转变计算就可以
了,如：tg60º30ˋ=？
将其代入这个关系式就可以了：tga=ctg(90º－a)=1/tg(90º－a)
tg60º30ˋ= 1/tg(90º－60º30ˋ)=1/tg29º30ˋ 同样反正切的计算也可以这样转换，如求：arctg3.3333=？
将其代入这个关系式就可以了: arctgA=90º－arctg(1/A)
arctgA=90º－arctg(1/3.3333)
可以看出，正切余切的实际应用计算比正余弦的计算要简单，很适合
我们的笔算要求，希望大家可以采纳！
从以上多种计算方法的论述和实例中可以看出，三角函数完全具备笔
算的可能，虽然解法不尽完美，但基本上解决了笔解三角函数的难题，达
到了笔解的基本要求，不失为一种方法，大家不妨采用一试。
因本人学识浅薄，有疏误之处请大家多多指点，批评！
附 论
在正余弦精确计算中的第一种方法各即:
Y=sinm( ), （m∈N，且m→+∞）
X=180 º×m×sin(m-1y)（m∈N，且m→+∞）
和第2种方法9个公式的计算求解中,
必须先得到一个极值才能顺利的解题,但如果按照常规的计算,要得到一个极值是需要一项繁杂的计算过程,使解题的实际应用困难重重,因此需要找到一种简便的求解极值的方法。下面就上我们来共同研究一下求解极值的简便方法：在圆中，已知一个角度a和半径长（设半径长为1）,我们便很容易通过计算得这个角a所对的弦长b和弦长c的比值，即：(180º/sina)( aπ)=b/c,当这个角度a无限的变小时，那么这个比值b/c就会无限的接近1的比值，即通过：sina=πa/180º便可求出，如果用弧度制来表示即为：sina=aˋ(a∈弧度, a→0,aˋ=a/1弧度)
可以看出我们只要将角度制化为弧度制就可以了,十分简单；同样，在通过求解这个角的正弦近似值我们还可以很容易求出圆周率π的近似值。
如此一来，我们便得到了一个重要的公式：
180º/a sina=π（a→0），只要知道圆周率的值，我们便可以很容易得到一个尽可能小的三角函数的值，相反，只要知道一个尽可能小的的三角函数值sinA，我们便可以很容易得到圆周率的近似值，它揭示了三角函数与圆周率之间的奥密！
里面一些公式、图形可能在粘贴中不全，完整的请参考下面的链接。http://www.blog.edu.cn/UploadFiles/2007-8/814580305.doc
分数给我吧，先谢了！
述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11'56)，分成几段，表示所求平方根是几位数；
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除 256，所得的最大整数是 4，即试商是4)；
5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3＋4)×4＝256，说明试商4就是平方根的第二位数)；
6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．
徒手开n次方根的方法:
原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,
则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值
用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:
我们求 2301781.9823406 的5次方根:
第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;
23'01781.98234'06000'00000'00000'..........
从高位段向低位段逐段做如下工作:
初值a=0,差c=23(最高段)
第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1
差c=23-b^5=22,与下一段合成,
c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781
第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,
b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234
第4步:a=18,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,
b取最大值7
说明:这里可使用近似公式估算b的值:
当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:
b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7
以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值
差c=1508808527;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000
第5步:a=187,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,
b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=2833590858436800000
第6步:a=1872,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,
b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000
.............................
最后结果为:18.724......
高中老师只是提到过``不过说不需要掌握`
n次方根好像用一个象算除法"厂"字那样``不过是用"L".具体的不懂``
感觉很复杂!
级数展开的方法应该是最容易计算和公式化的，
前提是要找到一个收敛较快的展开式。。。
这个简单，但是也很烦，这个要做试值，据个例子，你想知道8的5次方根是多少？，你知道1.5*1.5*1.5*1.5*1.5=7.59
1.52*1.52*1.52*1.52*1.52=8.11 1.516的5次方就是8了，最好最好有个计算器，而且要知道常用的一些次方，比如10以内数的开平方，开立方的大概数值，笔算都是大概。
正与切值也很简单，画直角三角形就好算了。根据角与边的关系。
关于笔算的问题 如何笔算n次方根? 如何笔算正余弦（正余切）值,和求反正余弦（反正余切）值?~
#步炉侄# 小学三年级数学笔算加减法的共同点是什么 -
(14758217197)： 在笔算加、减法时首先注意数位要对齐,从个位开始计算. 解:笔算加、减法时要注意:数位要对齐,从个位算起. 故答案为:数位,个位.
#步炉侄# 笔算加、减法时,______要对齐. - 作业帮
(14758217197)：[答案] 笔算加、减法时,相同的数位要对齐; 故答案为:相同的数位.
#步炉侄# 笔算加,减法的相同点和不同点是什么?
(14758217197)： 笔算加、减法相同点:1、相同数位要对齐;2、从个位算起.笔算加、减法不同点:加法:个位满十,向十位进1.减法:如果个位不够减,就从十位退1作10,与个位的数合起来再减.相同点:1、相同数位要对齐;2、从个位算起.笔算加、减法不同点:加法:个位满十,向十位进1.减法:如果个位不够减,就从十位退1作10,与个位的数合起来再减.
#步炉侄# 二年级下册笔算题大全 -
(14758217197)： 口算与笔算的区别:口算:比较简易,有计算技巧,不用动笔,就可以很快算出得数的计算.笔算:有些需要技巧,有些没有技巧,就需要笔算计算得数.笔算:22+35-1235+46-712-6+2165-42+1336-25+1327-8+320+3-229+3-20
#步炉侄# 求有关小学数学笔算两位数加减法的法则有知道的吗?
(14758217197)： (1)笔算两位数加法,要记三条 1、相同数位对齐; 2、从个位加起; 3、个位满10向十位进1. (2)笔算两位数减法,要记三条 1、相同数位对齐; 2、从个位减起; 3、个位不够减从十位退1,在个位加10再减.更多知识点可以去关注下北京新东方的小学数学课程.以“培养兴趣,训练思维,塑造品格”为理念,采用阶梯式教学法,依据孩子思维发展的规律设计授课内容,层层推进.既注重培养孩子的思维能力和良好的学习习惯,又注重提高孩子实际应用的能力,实现孩子“兴趣+习惯+能力”的互相促进和全方位发展.
#步炉侄# 什么叫笔算 -
(14758217197)： 笔算:列竖式计算称为笔算 .
#步炉侄# 笔算什么意思 -
(14758217197)： 用笔写出算式或算草来计算.一般是先列出算式再计算,加减乘除都可以. 笔算是一种用笔写出算式或算草进行计算的方法,是数学中最常用到的一种计算方法. 与其相关的计算方法有心算、口算等. 章炳麟 《国故论衡·小学略说》“独书数不出刀笔”按语:“古多用筹算,笔算乃始梵僧,事见《开元占经》.”
#步炉侄# 笔算一定要从个位算起吗 -
(14758217197)： 不一定.有两种情况,笔算不从个位算起:⒈多位数除以一位数或者多位数;⒉笔算中含有小数.
#步炉侄# 80道笔算题 急急急急!!! -
(14758217197)： 25*20= 4÷20= 3÷1.5= 100-63= 3.2+1.68= 48*0.02= 160+4.5= 7.8+0.9= 1.53-0.7= 75÷15= 420÷35= 25*12= 500-68= 13.5÷5= 104+79= 402*5= 150÷75= 13*60= 180-65= 24.5+2.7= 7.28÷0.7= 96-58= 45*80= 10-5.4= 8*0.5= 17*40= 48+39= 95÷1....
#步炉侄# 笔算是什么意? -
(14758217197)： 笔算 [ bǐ suàn ] 基本释义 用笔写出算式来计算 反义词 心算 珠算
原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,
则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值
用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:
我们求 2301781.9823406 的5次方根:
第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;
23'01781.98234'06000'00000'00000'..........
从高位段向低位段逐段做如下工作:
初值a=0,差c=23(最高段)
第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1
差c=23-b^5=22,与下一段合成,
c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781
第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,
b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234
第4步:a=18,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,
b取最大值7
说明:这里可使用近似公式估算b的值:
当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:
b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7
以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值
差c=1508808527;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000
第5步:a=187,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,
b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=2833590858436800000
第6步:a=1872,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,
b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000
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http://zhidao.baidu.com/question/8563091.html
论三角函数的笔解方法
三角数学发展到今天，已经达到相当完美的程度，但它却并不完善，
是因为在解题时须通过查表或计算器才能完成，试想，在生活中，我们随
时随地都有可能去计算一个数据，但我们不可能随时随地都带着函数表或
计算器，没了它们怎么办呢？这人问题不容忽视，它的解决在三角数学领
域里应该占有举足轻重的地位。
那么，三角函数有没有笔算可以解决的方法呢？问必有答，大家不妨
先来看看下面的方法如何。
正弦和余弦的精确计算
方法一
我们知道y=sin x 是三角函数的关系表达式之一,但是从这个表达式
我们并不能看出y和x之间到底是怎样一种关系,因此要想从等式的一
边得到另一边就必须先搞清它们之间的关系。
那么，如何寻找这种关系呢？若想寻找到两者之间关系，就应该先
对两者有着清楚深刻地认识，让我们先来认识一下y，即正弦，说到正弦，
我们不禁会联想到正弦定理： a/sina=b/sinb=c/sinc=2R，
通过变形可得到a/(2R)=sina,b/(2R)=sinb,c/(2R)=sinc 又因sin x=cos(90º-x)，
由此可知正、余弦的意义实际上是在圆中圆周角所对的弦与直径的比。让
我们再来认识一下 X ，即角度，提到角度，我们不禁会联想到计算弧长
的公式L=(nπr)/180º,通过变形可得到n=180ºL/(πr)=360º×L/(2πr)由
此可知角度的意义实际上是在圆中一角所对弧与圆周长的比。
通过对x、y的认识，我们便可发现x、y的关系实际上是弦与弧的关
系，那么怎样从弦中得到弧，或相反呢？让我们看看下面的方法如何。
当我们知道了一角的正弦值，即sin X时,通过半角公式
Sin(x/2=[(1-cosx)/2]-2,我们就可得到半角sin(x/2)的值,同样也可得到sin(x/22) sin(x/23 )、... sin (x/2 a ),如此一来弦和与弧长就会十分接近,假如所求得的极值为sin(x/n)(设2 a=m),那么弧长即为n Sin(x/m),如此就可得到Y与X的关系,
Y=sinm( ), （m∈N，且m→+∞）
X=180 º×m×sin(m-1y)（m∈N，且m→+∞）
同时也达到了从等式的一边求另一边的目的。
从上面的方法可以看出。利用Y与X的关系可以笔解，但由于求倍角值和分角值的运算比较复杂，给笔算求值带来很大不便，不宜笔算。
那有没有一种适宜的笔算方法呢？让我们再来看看下面的方法如何。
方法二
众 所 周 知，在 数 学 里 有 一 个 重 要 的 公 式：
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB。从这个公式里我们可以看出每个函数值之间都有存在着一定的联系，那么这个联系是什么呢？通过这个联系能否找到笔算解决的办法呢？归根结蒂这个联系就是上面的公式，因为通过此公式可以从一个函数值推出其它三角函数值，也就是所谓的另种笔算解法。
经上面介绍，大家大概可以明白这个解法是利用所推出公式来计算的，但是不是要推出并记住所有的公式呢？大可不必，只需9个就可以了，
即：C2=2C2-1 C3=C(4C2-3） C4=8C2（C2-1）+1
C5=C（16C4-20C2+5） C6= 2C2（4C2-3）2-1
C7=（1+C）（8C3-4C2-4C+1）2-1 C8=2（8C4-8C2+1）2-1
C9=C(4C2-3)[ 4C2-3]2-3] C10=2C2(164-20C2+5)2-1
（注：C=cosA，C2=cos2A……C10=cos10A）
另外再记住1 º，1′角的余弦值就可以使用了，
即：cos1 º=0.99984769516 cos1′=0.999999957692807
例如:求cos76 º的值?
解:1,通过1 º的余弦值利用C6,C7公式求出6 º,7º的余弦值。
2，把7º角余弦值代入公式求出70º角的余弦的值。
3，通过cos（A+B）的公式把70º角的余弦值和6 º的余弦值相加，即：cos76 º
的值。
若求正弦，正切，余切的值可通过以下公式：
sinA= cos（90 º-A），sinA（1- cos2A）-2，taA= sinA/ cosA，ctg= cosA / sinA
可以看出，使用这种方法可以求解，但需要太多的公式，且公式中有许多二次，三次，四次方运算，计算的数值也多有重复，运算过程过于繁杂等等，若想来方便的利用它，只有把这些公式编成程序办入到计算机中使用了，那么如何利用它在笔算中简便的使用呢？
正弦和余弦的实际应用计算
方法一
我们知道在用以上公式所求的角度值中，有一些角的计算是常用的，我们称它为基本角，如果能将其直接记住，那么计算时就可大为简便，根据需要，把下面数值都精确到四位小数，它们是：
sinN′=N×2.909×10-4(0′≤N≤300′)
cos1′--- cos35′=1.0000 cos36′--- cos59′=0.9999
-sin1º=0.0175 sin2º=0.0349 sin3º=0.0523 sin4º=0.0698 sin5º=0.0872
sin6º=0.1045 sin7º=0.1219 sin8º=0.1392 sin9º=0.1564 sin10º=0.1736
sin20º=0.3420 sin30º=0.5000 sin40º=0.6428 sin50º=0.7660 sin60º=0.8660
sin70º=0.9397 sin80º=0.9848
例：求sin33º33′=？（注：有些数字仍需开平方，大家不妨学一下笔算开平方的方法，具体解法请参考初二代数157页）
解：sin33º= sin(30º＋3ˋ).
=0.5×(1-0.0523²)-²+0.8660×0.0523=0.5446
sin33º= sin(30º＋33ˋ).
=0.5446+(1-0.5446²)-²×33×2.909×10-4=0.5526
可以看出,这种方法基本上达到了笔算要求,运算相对也比较简便，
但它的完整运算步骤要两个，其中还要平方、开方，仍有些不便。
方法二
如何才能更简便呢？若要解决这个问题，需要在记忆上多下此功夫---
多记一些基本角，即在我们所知道的sin1ˋ---sin1º，cos1ˋ---cos59ˋ等基本角的基础上再记住sin1º---sin189º之间的基本角,这样运算可十分简便,仅需要一个步骤就可解决,且不需要任何平方,开方,如求---sin55º55ˋ的值?
解: sin55º55ˋ=sin(55º＋55ˋ)=0.8192×0.9999＋55×2.909×10-4×0.5736
=0.8283
当然,有利也有弊,记八九十个是不少,但它并未超出我们的能力,
就像学习乘法运算需要记数十个乘法口决,学习计算机五笔打字需要记几
百个字根一样,这是我们学习知识的基础,是必不可少的。
由角度可求出相应的函数值，那么由函数值如何求相应的角度呢？
例如：求Sinx=0.7859,
解:1.找出基本角中与0.7859较接近的数值(Sin51 º)
2．把此角代入Sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB中求出值及相应的角度：
Sin（A-51 º）=0.7589×0.6293-(1-0.78592)-2×0.7771
=0.014
同时计算出这个角度:0.014÷2.909÷10-4≈48ˋ;
3.将所有角度与余角相加,即正弦值0.7859的角度:51 º+48ˋ=51º48ˋ。
可将以上步骤总结为一个公式：
X=（SinA- SinB）/（2.909×10-4)+B,[( SinA- SinB）≤300ˋ]
方法三
纵观以上方法，都是从笔算的解题，间接表明角度与三角函数值之间的关系，那么有没有一种非计算解题，又能直接表明角度与三角函数之间关系的方法呢？让我们来看一种作图查表的方法怎么样？
由上表我们可能看出通过它既可解题，又能直接表明其间的关系，
且制作原理和方法简单，根据我们解题的需要可将它制作得尽量精密。
可能你对以上的方法都不感到满意，但如果你的计算范围是在万分
之一精确度，那么以下的方法也许会能满足你的要求。
方法四
从上一种方法的图表中我们可以看出，三角函数值在一定范围内（如
在1度之间）的变化率不大，也就是说在一定范围内它们还存在着一定的
正比对应关系，如果我们能将这范围内的变化率掌握，那么整个三角函数
值便很容易算出，即：
sin4º=0.0698 sin6º=0.1045 sin8º=0.1392 sin11º=0.1908 sin13º=0.2250
sin15º=0.2588 sin17º=0.2924 sin19º=0.3256 sin21º=0.3584 sin23º=0.3907
sin25º=0.4226 sin26º=0.4384 sin28º=0.4695 sin30º=0.5000 sin32º=0.5299
sin34º=0.5592 sin35º=0.5736 sin36º=0.5878 sin38º=0.6157 sin40º=0.6428
sin41º=0.6561 sin43º=0.6820 sin44º=0.6947 sin45º=0.7071
只要将以上基本角的正弦值记住便很容易计算出任何一个角度的
余弦值,例:求Sin25º25ˋ=？
1. 从我们所记的基本角中找出Sin25º25ˋ所处的位置,设这个角为SinAB
(A=25º25ˋ)可发现此角处在我们已知的基本角中的26度与25度之
间,设这两个角分别是角B,角C,B=26º C=25º；
2． 将此角代入以下关系式计算：
SinA= SinC＋（SinB－SinC）×[（A－C）÷（B－C）]
如：Sin25º25ˋ= Sin25º＋（Sin26º－Sin25º）×（25÷60）
=0.4226＋(0.4383－0.4226)×0.417
=0.4292
下面让我们来看看如何求解角度:arcsin0.2222=?
1. 同样,先找出0.2222处在我所记的基本角中的位置,设这个值为A,可发现A处在sinA,可发现A处在sin11 º和sin13 º之间,设这两个分别为角B,角C,B=11 ºC=13 º;
2. 将此值代入以下关系式计算:
arcsinA=B+(A-sinB)÷（sinC- sinB）×（C-B）
如：arcsin0.2222=11º+(0.2222- sin11º) ÷(sin13º- sin11º) ×(13º-11º)
=11º+(0.2222-0.1938) ÷(0.2250-0.1908) ×2 º
≈12.84 º
对于求大于45度(arcsin0.7071)的正弦函数或求余弦函数可根据以下几种方法解决:
①:开方法
如求sin60 º30ˋ=?
1:将此角转变成sin45 º以内的角来求:
sin60 º30ˋ=cos29 º30ˋ=(1- sin229 º30ˋ)-2
2.如求sinA=0.8888,同样将它转变为sin45 º以内的值再求:
arcsin0.8888=90º- arcsin(1-0.88882)-2
②倍乘法
如求sin60 º30ˋ=?
1:利用sina=cos[2×(45º- )]=1-2sin2(45º- )将其转变为sin45º以
内的角来求:
sin60 º30ˋ= cos[2×(45º－30º15ˋ)]=1－2sin2(45º－30º15ˋ)
2：如：求Sinx=0.7859,
arcsina=arccos(51º－a)=90º－1arccosN(90º－a)将其转变为sin45º以内
的角来求
arcsin0.8888=arccos0.8888=90º－1 arcsin(2×0.88882-1)
③ :综合法
1. 如求如求sin60 º30ˋ=?
①用倍乘法解决 :
利用sina=cos[2×(45º- )]=1-sin2(45º- )将其转变为sin45º以内的
角来求:
sin60 º30ˋ= cos[2×(45º－30º15ˋ)]=1－2sin2(45º－30º15ˋ)
② :利用cosa=sina/ tga
sin60º30ˋ= cos29º30ˋ=sin29º30ˋ/tg29º30ˋ
可以看出这时我们须先将sin29º30ˋ和tg29º30ˋ的值求出，
sin29º30ˋ的值我们可以根据前面的介绍的方法求出，有关tg29º30ˋ
的值求法请看下面的正切余切的求法！
2：如求SinA=0.8888
①：用倍乘法解决:
利用arcsina=arccos(90º-a)= 90º- arccosN(90º-a)将其转变成sin45º
以内的角来求
arcsin=0.8888= arccos0.8888=90º- arccos(2×0.8888²-1)
②:利用特别开方法将其转变成sin45º以内的角来求
设: a＋2b=90º， 则Sina=cos2b=1-2sin²b
arcsina=90º-2arcsinb
=90º-2arcsin[0.5×(1-sinb)] -2
因此: arcsin0.8888=90º－2 arcsin[0.5×(1-0.8888)] -2
可以看出,通过上面的开方法不用平方而可以直接开方,计算简单了
很多!
方法五
以上方法具有总记忆少,容易学,但时有开平方,如果您为了使计算更
加简便,最好学一下多记少算的这种方法:在掌握前45度角中的23个的
基础上再记住以下50个: 除46º、48º、56º、58º、外，46º—90º之间的每
个自然角度的正弦值都要牢记，此外还须将76.5º、77.5º、78.5º、79.5º、
80.5º、83.5º、84.5º、88.5º、89.25º的正弦值记住即可,其计算方法与前
45度中的角相同。
大家知道，其实只要我们知道了正弦和余弦的值，正切和余切值就可
以计算出来，为什么还要研究正切和余切的计算呢？其原因有二，其一是
利用正弦余弦来计算正切余切的值比较麻烦，不简便；其二是利用正余弦
无法计算反正切和反余切的值；所以我们要研究正切和余切的计算下面就
让我们来看看如何进行正切和余切的计算。
正切和余切的精确计算
其实正切和余切的精确计算和正余弦的精确计算原理差不多，都需要
先求出正切的极值，然后利用倍角公式进行求值，又因为正切的极值与正
弦的极值十分接近它的求法也可用到正弦的计算方式，即：
sina=tga(a→0),然后通过正切的倍角公式如: tg2a=(2tga)/(1-2tg²a)求出
所要求的数值,而要求反正切.余切的值需要通t¬g(a-b)=(tga-t¬gb)/(1＋tgat¬gb)
逐角想减,然后将相减的角再相加便可! 大家可能会感到正切余切的精确
计算不实用, 是的, 这些都需要计算机来完成才行, 而我们只需要知道其
计算原理便可, 下面让我们来看看正余切的实际应用的计算方法。
正切和余切的实际应用计算
受到正余弦实际应用计算方法的启示，正余切的计算也是一样的，我
们同样需要先记住以下基本角的正切值，它们是：
tg4º=0.0699 tg8º=0.1405 tg11º=0.1944 tg14º=0.2493 tg16º=0.2493
tg18º=0.3249 tg20º=0.3640 tg22º=0.4040 tg24º=0.4452 tg26º=0.4877
tg28º=0.5317 tg29º=0.5543 tg30º=0.5574 tg31º=0.6009 tg32º=0.6249
tg33º=0.6494 tg34º=0.6745 tg35º=0.7002 tg36º=0.7265 tg37º=0.7536
tg38º=0.7813 tg39º=0.8098 tg40º=0.8391 tg41º=0.8693 tg42º=0.9004
tg43º=0.9325 tg44º =0.9657 tg40º=1.0000
其计算方法也和正余弦一样，只是有±0.0001的误差,如求tg25º25ˋ=?
1. 从我们所记的基本角中找出tg25º25ˋ所处的位置，设这个角为tgA
设这两个角分别是角C，角D，C=26º，D=24º；
2．将此角代入以上公式计算：
tgA= tgA＋(tgC－tgD)×[(A－D)÷(C－D)]
如: tg25º25ˋ=tg24º＋(tg26º－tg24º)×[(25º25ˋ－24º)÷(26º－24º)]
=0.4452＋(0.4877－0.4452)×0.7085
=0.4753
反正切的求法与反正弦的也一样,如求arctg0.2222=?
1. 同样，先找出0.2222处在我所记的基本角中的位置，设这个值为 A，
可发现 A 处在tg11º和tg14º之间，设这两个角分别为角 B，角 C ，
B=11º，C=14º；
2．将此值代入以下公式计算：
arctgA=B＋(A-tgB)÷(tgC- tgB)×(C-B)
如: arctg0.2222=11º＋(0.2222－tg11º)÷(tg14º—tg11º)×(14º－11º)
=11º＋(0.2222－0.1944)÷(0.2493-0.1944)×3º
=12.25º
而tg45º-tg90º之间的角度计算只需要通过tga×ctga=1来转变计算就可以
了,如：tg60º30ˋ=？
将其代入这个关系式就可以了：tga=ctg(90º－a)=1/tg(90º－a)
tg60º30ˋ= 1/tg(90º－60º30ˋ)=1/tg29º30ˋ 同样反正切的计算也可以这样转换，如求：arctg3.3333=？
将其代入这个关系式就可以了: arctgA=90º－arctg(1/A)
arctgA=90º－arctg(1/3.3333)
可以看出，正切余切的实际应用计算比正余弦的计算要简单，很适合
我们的笔算要求，希望大家可以采纳！
从以上多种计算方法的论述和实例中可以看出，三角函数完全具备笔
算的可能，虽然解法不尽完美，但基本上解决了笔解三角函数的难题，达
到了笔解的基本要求，不失为一种方法，大家不妨采用一试。
因本人学识浅薄，有疏误之处请大家多多指点，批评！
附 论
在正余弦精确计算中的第一种方法各即:
Y=sinm( ), （m∈N，且m→+∞）
X=180 º×m×sin(m-1y)（m∈N，且m→+∞）
和第2种方法9个公式的计算求解中,
必须先得到一个极值才能顺利的解题,但如果按照常规的计算,要得到一个极值是需要一项繁杂的计算过程,使解题的实际应用困难重重,因此需要找到一种简便的求解极值的方法。下面就上我们来共同研究一下求解极值的简便方法：在圆中，已知一个角度a和半径长（设半径长为1）,我们便很容易通过计算得这个角a所对的弦长b和弦长c的比值，即：(180º/sina)( aπ)=b/c,当这个角度a无限的变小时，那么这个比值b/c就会无限的接近1的比值，即通过：sina=πa/180º便可求出，如果用弧度制来表示即为：sina=aˋ(a∈弧度, a→0,aˋ=a/1弧度)
可以看出我们只要将角度制化为弧度制就可以了,十分简单；同样，在通过求解这个角的正弦近似值我们还可以很容易求出圆周率π的近似值。
如此一来，我们便得到了一个重要的公式：
180º/a sina=π（a→0），只要知道圆周率的值，我们便可以很容易得到一个尽可能小的三角函数的值，相反，只要知道一个尽可能小的的三角函数值sinA，我们便可以很容易得到圆周率的近似值，它揭示了三角函数与圆周率之间的奥密！
里面一些公式、图形可能在粘贴中不全，完整的请参考下面的链接。http://www.blog.edu.cn/UploadFiles/2007-8/814580305.doc
分数给我吧，先谢了！
述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11'56)，分成几段，表示所求平方根是几位数；
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除 256，所得的最大整数是 4，即试商是4)；
5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3＋4)×4＝256，说明试商4就是平方根的第二位数)；
6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．
徒手开n次方根的方法:
原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,
则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值
用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:
我们求 2301781.9823406 的5次方根:
第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;
23'01781.98234'06000'00000'00000'..........
从高位段向低位段逐段做如下工作:
初值a=0,差c=23(最高段)
第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1
差c=23-b^5=22,与下一段合成,
c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781
第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,
b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234
第4步:a=18,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,
b取最大值7
说明:这里可使用近似公式估算b的值:
当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:
b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7
以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值
差c=1508808527;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000
第5步:a=187,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,
b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=2833590858436800000
第6步:a=1872,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,
b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000
.............................
最后结果为:18.724......
高中老师只是提到过``不过说不需要掌握`
n次方根好像用一个象算除法"厂"字那样``不过是用"L".具体的不懂``
感觉很复杂!
级数展开的方法应该是最容易计算和公式化的，
前提是要找到一个收敛较快的展开式。。。
这个简单，但是也很烦，这个要做试值，据个例子，你想知道8的5次方根是多少？，你知道1.5*1.5*1.5*1.5*1.5=7.59
1.52*1.52*1.52*1.52*1.52=8.11 1.516的5次方就是8了，最好最好有个计算器，而且要知道常用的一些次方，比如10以内数的开平方，开立方的大概数值，笔算都是大概。
正与切值也很简单，画直角三角形就好算了。根据角与边的关系。
关于笔算的问题 如何笔算n次方根? 如何笔算正余弦（正余切）值,和求反正余弦（反正余切）值?~
徒手开n次方根的方法:
原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,
则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n
1、 846.7×5
2. 796.64×25
3. 69.47÷0.5
4.128÷0.25
5. 0.99÷4.5
6. 4.8÷2.5
7. 12.5×0.25×0.05×3.7×6.4
8. 12.728÷2.5÷32÷0.125
9. 0.04×0.5×1.25×0.8×0.2×0.025
10. 9.87÷28.6×4.59÷98.7×2.86÷45.9
11. 5.6×16.5÷0.7÷1.1
12. （6.4×12.5×0.5）÷（2.5×1.6×0.2）
13. 0.525×17.36÷13.125÷4
14. 3700÷6.4÷2.5÷12.5÷0.5 4X7
15、59. 8÷46
16、 3. 64÷52
17、15. 6÷24
18、 24. 48÷36
19、83. 2÷26=
20、 78÷65=
21、 39. 6÷48=
22、 0.25×16.2×4
23、3.6×102
24、 3.72×3.5＋6.28×3.5
25、 4.8×7.8＋78×0.52
26、4.8×100.1
27、 56.5×9.9＋56.5
28、 7.09×10.8－0.8×7.09
29、 4.2÷3.5
30、 320÷1.25÷8
31、18.76×9.9＋18.76
32、 3.52÷2.5÷0.4
5.6÷3.5 9.6÷0.8÷0.4 4.2×99＋4.2
17.8÷(1.78×4) 0.49÷1.4 1.25×2.5×32 3.65×10.1
15.2÷0.25÷4 0.89×100.1 146.5－(23＋46.5)
3.83×4.56＋3.83×5.44 4.36×12.5×8 9.7×99＋9.7
27.5×3.7－7.5×3.7 8.54÷2.5÷0.4 0.65×101 3.2×0.25×12.5
(45.9－32.7)÷8÷0.125 3.14×0.68＋31.4×0.032 5.6÷1.25÷0.8÷2.5÷0.4
7.2×0.2＋2.4×1.4 8.9×1.01 7.74×（2.8－1.3）＋1.5×2.26
3.9×2.7＋3.9×7.3 18－1.8÷0.125÷0.8 12.7×9.9＋1.27
21×（9.3－3.7）－5.6 15.02-6.8-1.02 5.4×11-5.4
2.3×16+2.3×23+2.3 9.43-（6.28-1.57） 3.65×4.7－36.5×0.37
46×57＋23×86 13.7×0.25－3.7÷4 2.22×9.9+6.66×6.7
101×0.87-0.91×87 10.7×16.1-15.1×10.7 0.79×199
4.8+8.63+5.2+0.37 5.93+0.19+2.81 1.76+0.195+3.24
2.35+1.713+0.287+7.65 1.57+0.245+7.43 6.02+3.6+1.98
0.134+2.66+0.866 1.27+3.9+0.73+16.1 7.5＋4.9－6.5
3.07－0.38－1.62 1.29＋3.7＋2.71＋6.3 8－2.45－1.55
3.25＋1.79－0.59＋1.75 23.4－0.8－13.4－7.2 0.32×403
3.2＋0.36＋4.8＋1.64 1.23＋3.4－0.23＋6.6 0.25×36
12.7－（3.7＋0.84） 36.54－1.76－4.54 0.25×0.73×4
7.6×0.8＋0.2×7.6 0.85×199 0.25×8.5×4
1.28×8.6＋0.72×8.6 12.5×0.96×0.8 10.4－9.6×0.35
0.8×（4.3×1.25） 3.12＋3.12×99 28.6×101－28.6
0.86×15.7－0.86×14.7 2.4×102 2.31×1.2×0.5
14－7.32－2.68 2.64＋8.67＋7.36＋11.33 70÷28
（2.5－0.25）×0.4 9.16×1.5－0.5×9.16 3.6－3.6×0.5
4.5÷1.8 4.2÷3.5 930÷0.6÷5
63.4÷2.5÷0.4 4.9÷1.4 3.9÷（1.3×5）
（7.7＋1.54）÷0.7 2.5×2.4 2.7÷45 15÷（0.15×0.4）
0.35×1.25×2×0.8 32.4×0.9＋0.1×32.4 15÷0.25
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(14758217197)： (1)笔算两位数加法,要记三条 1、相同数位对齐; 2、从个位加起; 3、个位满10向十位进1. (2)笔算两位数减法,要记三条 1、相同数位对齐; 2、从个位减起; 3、个位不够减从十位退1,在个位加10再减.更多知识点可以去关注下北京新东方的小学数学课程.以“培养兴趣,训练思维,塑造品格”为理念,采用阶梯式教学法,依据孩子思维发展的规律设计授课内容,层层推进.既注重培养孩子的思维能力和良好的学习习惯,又注重提高孩子实际应用的能力,实现孩子“兴趣+习惯+能力”的互相促进和全方位发展.
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(14758217197)： 笔算:列竖式计算称为笔算 .
#步炉侄# 笔算什么意思 -
(14758217197)： 用笔写出算式或算草来计算.一般是先列出算式再计算,加减乘除都可以. 笔算是一种用笔写出算式或算草进行计算的方法,是数学中最常用到的一种计算方法. 与其相关的计算方法有心算、口算等. 章炳麟 《国故论衡·小学略说》“独书数不出刀笔”按语:“古多用筹算,笔算乃始梵僧,事见《开元占经》.”
#步炉侄# 笔算一定要从个位算起吗 -
(14758217197)： 不一定.有两种情况,笔算不从个位算起:⒈多位数除以一位数或者多位数;⒉笔算中含有小数.
#步炉侄# 80道笔算题 急急急急!!! -
(14758217197)： 25*20= 4÷20= 3÷1.5= 100-63= 3.2+1.68= 48*0.02= 160+4.5= 7.8+0.9= 1.53-0.7= 75÷15= 420÷35= 25*12= 500-68= 13.5÷5= 104+79= 402*5= 150÷75= 13*60= 180-65= 24.5+2.7= 7.28÷0.7= 96-58= 45*80= 10-5.4= 8*0.5= 17*40= 48+39= 95÷1....
#步炉侄# 笔算是什么意? -
(14758217197)： 笔算 [ bǐ suàn ] 基本释义 用笔写出算式来计算 反义词 心算 珠算
