朋友，能否把初中数学动点问题集给我发一份，不胜感激 初中数学动点问题不会做，请问有什么要注意的？
一．二次函数与四边形的形状
例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线 与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平
行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线 的抛物线经过点
A（6，0）和 B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（ ， ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
练习2.（四川省德阳市）25.如图，已知与 轴交于点 和 的抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 关于 轴对称，顶点为 ．
（1）求抛物线 的函数关系式；
（2）已知原点 ，定点 ， 上的点 与 上的点 始终关于 轴对称，则当点 运动到何处时，以点 为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在 上是否存在点 ，使 是以 为斜边且一个角为 的直角三角形？若存，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
练习3.（山西卷）如图，已知抛物线 与坐标轴的交点依次是 ， ， ．
（1）求抛物线 关于原点对称的抛物线 的解析式；
（2）设抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 轴分别交于 两点（点 在点 的左侧），顶点为 ，四边形 的面积为 ．若点 ，点 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点 ，点 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点 与点 重合为止．求出四边形 的面积 与运动时间 之间的关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3）当 为何值时，四边形 的面积 有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形 能否形成矩形？若能，求出此时 的值；若不能，请说明理由．
二．二次函数与四边形的面积
例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x … -3 -2 1 2 …
y … -
-4 -
0 …
(1) 求A、B、C三点的坐标；
(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k•DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.
练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
练习3.（吉林课改卷）如图，正方形 的边长为 ，在对称中心 处有一钉子．动点 ， 同时从点 出发，点 沿 方向以每秒 的速度运动，到点 停止，点 沿 方向以每秒 的速度运动，到点 停止． ， 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设 秒后橡皮筋扫过的面积为 ．
（1）当 时，求 与 之间的函数关系式；
（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求 值；
（3）当 时，求 与 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时 的变化范围；
（4）当 时，请在给出的直角坐标系中画出 与 之间的函数图象．
练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合)，抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.
(1) 求l2的解析式；
(2) 求证：点D一定在l2上；
(3) □ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值
.
三．二次函数与四边形的动态探究
例1.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
例2.（2010年沈阳市第26题）、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
例3..(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积， 表示矩形NFQC的面积．
（1） S与 相等吗？请说明理由．
（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？
（3）如图11，连结BE，当AE为何值时， 是等腰三角形．
练习1.（07年河池市）如图12， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）． 点 从 出发以每秒2个单位长度的速度向 运动；点 从 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点 作 垂直 轴于点 ，连结AC交NP于Q，连结MQ．
（1）点 （填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自
变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，
若不存在，说明理由．
练习2..(江西省) 25．实验与探究
（1）在图1，2，3中，给出平行四边形 的顶点 的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点 的坐标，它们分别是 ， ， ；
（2）在图4中，给出平行四边形 的顶点 的坐标（如图所示），求出顶点 的坐标（ 点坐标用含 的代数式表示）；
归纳与发现
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为 （如图4）时，则四个顶点的横坐标 之间的等量关系为 ；纵坐标 之间的等量关系为 （不必证明）；
运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有抛物线 和三个点 ， （其中 ）．问当 为何值时，该抛物线上存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的 点坐标．
答案：
一．二次函数与四边形的形状
例1.解：（1）令y=0，解得 或 ∴A（-1，0）B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入 得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），
E（ ∵P点在E点的上方，PE=
∴当 时，PE的最大值=
（3）存在4个这样的点F，分别是
练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是 ，可设解析式为 ．把A、B两点坐标代入上式，得
解之，得
故抛物线解析式为 ，顶点为
（2）∵点 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
，
∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是 的对角线，
∴ ．
因为抛物线与 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量 的
取值范围是1＜ ＜6．
① 根据题意，当S = 24时，即 ．
化简，得 解之，得
故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．
点E1（3，－4）满足OE = AE，所以 是菱形；
点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以 不是菱形．
② 当OA⊥EF，且OA = EF时， 是正方形，此时点E的
坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，
使 为正方形．
练习2.解：（1）由题意知点 的坐标为 ．设 的函数关系式为 ．
又 点 在抛物线 上， ，解得 ．
抛物线 的函数关系式为 （或 ）．
（2） 与 始终关于 轴对称， 与 轴平行．
设点 的横坐标为 ，则其纵坐标为 ， ， ，即 ．当 时，解得 ．当 时，解得 ． 当点 运动到 或 或 或 时，
，以点 为顶点的四边形是平行四边形．
（3）满足条件的点 不存在．理由如下：若存在满足条件的点 在 上，则
， （或 ），
．
过点 作 于点 ，可得 ．
， ， ．
点 的坐标为 ．
但是，当 时， ．
不存在这样的点 构成满足条件的直角三角形．
练习3. [解] （1）点 ，点 ，点 关于原点的对称点分别为 ， ， ． 设抛物线 的解析式是
，则 解得
所以所求抛物线的解析式是 ．
（2）由（1）可计算得点 ．
过点 作 ，垂足为 ．
当运动到时刻 时， ， ．
根据中心对称的性质 ，所以四边形 是平行四边形．
所以 ．所以，四边形 的面积 ． 因为运动至点 与点 重合为止，据题意可知 ．
所以，所求关系式是 ， 的取值范围是 ．
（3） ，（ ）．
所以 时， 有最大值 ．
提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形 能形成矩形．
由（2）知四边形 是平行四边形，对角线是 ，所以当 时四边形 是矩形．
所以 ．所以 ．
所以 ．解之得 （舍）．
所以在运动过程中四边形 可以形成矩形，此时 ．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
二．二次函数与四边形的面积
例1. 解：（1）解法一：设 ，
任取x,y的三组值代入，求出解析式 ，
令y=0，求出 ；令x=0，得y=-4，
∴ A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .
解法二：由抛物线P过点(1，- )，(-3， )可知，
抛物线P的对称轴方程为x=-1，
又∵ 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，
点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .
（2）由题意， ，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，
又 ，EF=DG，得BE=4-2m，∴ DE=3m，
∴ =DG•DE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0＜m＜2) .
注：也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解.
(3)∵SDEFG=12m-6m2 (0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 .
当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，
设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k= ，b=- ，∴ ，
又可求得抛物线P的解析式为： ，
令 = ，可求出 . 设射线DF与抛物线P相交于点N，
则N的横坐标为 ，过N作x轴的垂线交x轴于H，有
= = ，
点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是
k≠ 且k＞0.
说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.
若选择另一问题：
(2)∵ ，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，
又∵ ， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，
∴ =DG•FG=6.
练习1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC． ••••••••••••••••• 1分
∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） ••••••••••••••••••• 3分
（写错一个点的坐标扣1分）
（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为 ，
∵抛物线过点A（0，4），
∴ ．则抛物线关系式为 ． •••••••••••••• 4分
将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得
•••••••••••••••••••••••••••• 5AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝ 分
解得 ••••••••••••••••••••• 6分
所求抛物线关系式为： ．•••••••• 7分
（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． •••••••••• 8分
∴
OA（AB+OC） AF•AG OE•OF CE•OA
（ 0＜ ＜4） •••••••• 10分
∵ ． ∴当 时，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． ••••••• 12分
（4）当 时，GB=GF，当 时，BE=BG． 14分
练习3.[解] （1）当 时， ， ， ，
即 ．
（2）当 时，橡皮筋刚好触及钉子，
， ， ， ．
（3）当 时， ，
， ，
，
即 ．
作 ， 为垂足．
当 时， ， ， ，
，
即 ．
或
（4）如图所示：
练习4.[解] (1) 设l2的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵l1与x轴的交点为A(-2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，- 4)，l2与l1关于x轴对称，
∴l2过A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0，4)，
∴
∴ a=-1,b=0,c=4，即l2的解析式为y= -x2+4 .
(还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)
(2) 设点B(m，n)为l1：y=x2-4上任意一点，则n= m2-4 (*).
∵ 四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称，
∴ B、D关于原点O对称，
∴ 点D的坐标为D(-m,-n) .
由(*)式可知， -n=-(m2-4)= -(-m)2+4，
即点D的坐标满足y= -x2+4，
∴ 点D在l2上.
(3) □ABCD能为矩形.
过点B作BH⊥x轴于H，由点B在l1：y=x2-4上，可设点B的坐标为 (x0，x02-4)，
则OH=| x0|，BH=| x02-4| .
易知，当且仅当BO= AO=2时，□ABCD为矩形.
在Rt△OBH中，由勾股定理得，| x0|2+| x02-4|2=22，
(x02-4)( x02-3)=0，∴x0=±2(舍去)、x0=±3 .
所以，当点B坐标为B(3 ，-1)或B′(-3 ，-1)时，□ABCD为矩形，此时，点D的坐标分别是D(-3 ，1)、D′( 3 ，1).
因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′ .
设直线AB与y轴交于E ，显然，△AOE∽△AHB，
∴ EOAO = BHAH ，∴ .
∴ EO=4-2 .
由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面积为
S=2SΔACE=2×12 × AC ×EO =2×12 ×4×(4-23 )=16 - 83 .
三．二次函数与四边形的动态探究
例1.解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．
∴ ．即 ．∴y= (0＜x＜4)．
且当x=2时，y有最大值 ．
(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．
设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则 ∴
y= ．
(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．
直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．
将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，
∴该直线为y=x＋1．
由 得 ∴Q(5，6)．
故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．
例2.解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 ……………………1分
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） …………………4分
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得
解得
∴所求抛物线的表达式为y＝ x2 x＋8 ………………………7分
（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC
∴ 即
∴EF＝
∴ ＝ ∴FG＝ • ＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝ （8－m）×8－ （8－m）（8－m）
＝ （8－m）（8－8＋m）＝ （8－m）m＝－ m2＋4m …………10分
自变量m的取值范围是0＜m＜8 …………………………11分
（4）存在．
理由：∵S＝－ m2＋4m＝－ （m－4）2＋8 且－ ＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ………………………12分
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形． …………………………14分
（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）
例3解: （1）相等
理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形，
所以
所以 即：
（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，设AE＝x，则EC＝5－x，
所以 ，即
配方得： ，所以当 时，
S有最大值3
（3）当AE＝AB＝3或AE＝BE＝ 或AE＝3.6时， 是等腰三角形
练习1． 解：（1）点 M 1分（2）经过t秒时， ，
则 ， ∵ = = ∴ ∴
∴ ∴
∵ ∴当 时，S的值最大．
（3）存在．设经过t秒时，NB=t，OM=2t 则 ， ∴ = =
①若 ，则 是等腰Rt△ 底边 上的高
∴ 是底边 的中线 ∴ ∴ ∴
∴点 的坐标为（1，0）
②若 ，此时 与 重合∴ ∴ ∴
∴点 的坐标为（2，0）
练习2.解：（1） ， ．
（2）分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为 ，
分别过 作 于 ， 于点 ．
在平行四边形 中， ，又 ，
．
．
又 ，
．
， ．
设 ．由 ，得 ．
由 ，得 ． ．
（3） ， ．或 ， ．
（4）若 为平行四边形的对角线，由（3）可得 ．要使 在抛物线上，
则有 ，即 ．
（舍去）， ．此时 ．
若 为平行四边形的对角线，由（3）可得 ，同理可得 ，此时 ．
若 为平行四边形的对角线，由（3）可得 ，同理可得 ，此时 ．
综上所述，当 时，抛物线上存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形．
符合条件的点有 ， ， ．
练习3.解：⑴由Rt△AOB≌Rt△CDA得
OD=2+1=3,CD=1
∴C点坐标为(－3,1),
∵抛物线经过点C,
∴1= (－3)2 a＋(－3)a－2，∴ 。
∴抛物线的解析式为 .
⑵在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。
以AB边在AB右侧作正方形ABPQ。过P作PE⊥OB于E，QG⊥x轴于G，
可证△PBE≌△AQG≌△BAO，
∴PE＝AG＝BO＝2，BE＝QG＝AO＝1，
∴∴P点坐标为（2,1），Q点坐标为（1,－1）。
由（1）抛物线 。
当x＝2时，y＝1，当x＝,1时，y＝－1。
∴P、Q在抛物线上。
故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,－1），使四边形ABPQ是正方形。
⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。
延长CA交抛物线于Q，过B作BP∥CA交抛物线于P，连PQ，设直线CA、BP的解析式分别为y=k1x+b1, y=k2x+b2,
∵A（－1,0），C（－3,1），
∴CA的解析式 ，同理BP的解析式为 ，
解方程组 得Q点坐标为（1,－1），同理得P点坐标为（2,1）。
由勾股定理得AQ＝BP＝AB＝ ，而∠BAQ＝90°，
∴四边形ABPQ是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,－1），使四边形ABPQ是正方形。
⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。
如图，将线段CA沿CA方向平移至AQ，
∵C（－3,1）的对应点是A（－1,0），∴A（－1,0）的对应点是Q（1,－1），再将线段AQ沿AB方向平移至BP，同理可得P（2,1）
∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴四边形ABPQ是正方形。经验证P（2,1）、Q（1,－1）两点均在抛物线 上。
⑶结论② 成立，
证明如下：连EF，过F作FM∥BG交AB的延长线于M，则△AMF∽△ABG，
∴ 。由⑴知△ABC是等腰直角三角形，
∴∠1＝∠2＝45°。∵AF＝AE，∴∠AEF＝∠1＝45°。∴∠EAF＝90°，EF是⊙O´的直径。
∴∠EBF＝90°。∵FM∥BG，∴∠MFB＝∠EBF＝90°，∠M＝∠2＝45°，
∴BF＝MF，
∴
已经发过了
请签收
望采纳
网页上搜吧，好多
已经发到你的QQ邮箱了
初中数学动点问题详解。~
关于动点问题的总结
“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想
一、建立函数解析式
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,
一、应用勾股定理建立函数解析式
例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.
(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.
(2)设PH ,GP ,求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量 的取值范围).
H
M
N
G
P
O
A
B
图1
(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.
解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH= NH= OP=2.
(2)在Rt△POH中, , ∴ .
在Rt△MPH中,
.
∴ =GP= MP= (0< <6).
(3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况:
①GP=PH时, ,解得 . 经检验, 是原方程的根,且符合题意.
②GP=GH时, ,解得 . 经检验, 是原方程的根,但不符合题意.
③PH=GH时, .
综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为 或2.
二、应用比例式建立函数解析式
例2（2006年·山东）如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD= CE= .
(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 与 之间的函数解析式；
A
E
D
C
B
图2
(2)如果∠BAC的度数为 ,∠DAE的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中 与 之间的函数解析式还成立?试说明理由.
解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.
∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,
∴∠CAE=∠ADB,
∴△ADB∽△EAC, ∴ ,
∴ , ∴ .
O
●
F
P
D
E
A
C
B
3(1)
(2)由于∠DAB+∠CAE= ,又∠DAB+∠ADB=∠ABC= ,且函数关系式成立,
∴ = , 整理得 .
当 时,函数解析式 成立.
例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.
●
P
D
E
A
C
B
3(2)
O
F
(1)求证: △ADE∽△AEP.
(2)设OA= ,AP= ,求 关于 的函数解析式,并写出它的定义域.
(3)当BF=1时,求线段AP的长.
解:(1)连结OD.
根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.
又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP.
(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD∥BC, ∴ , ,
∴OD= ,AD= . ∴AE= = .
∵△ADE∽△AEP, ∴ , ∴ . ∴ ( ).
(3)当BF=1时，
①若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.
∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,
∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.
∴5- =4,得 .可求得 ,即AP=2.
②若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2.
类似①,可得CF=CE.
∴5- =2,得 .
可求得 ,即AP=6.
综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6.
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
A
B
C
O
图8
H
例4（2004年·上海）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC= ,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO= ,△AOC的面积为 .
(1)求 关于 的函数解析式,并写出函数的定义域.
(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,
△AOC的面积.
解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.
∵∠BAC=90°,AB=AC= , ∴BC=4,AH= BC=2. ∴OC=4- .
∵ , ∴ ( ).
(2)①当⊙O与⊙A外切时,
在Rt△AOH中,OA= ,OH= , ∴ . 解得 .
此时,△AOC的面积 = .
②当⊙O与⊙A内切时,
在Rt△AOH中,OA= ,OH= , ∴ . 解得 .
此时,△AOC的面积 = .
综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为 或 .
二：动态几何题
动态几何特点----问题背景是特殊图形，（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值
一、以动态几何为主线的题
（一）点动问题．
1．如图， 中， ， ，点 在边 上，且 ，以点 为顶点作 ，分别交边 于点 ，交射线 于点 ．
（1）当 时，求 的长；
（2）当以点 为圆心 长为半径的⊙ 和以点 为圆心 长为半径的⊙ 相切时，
求 的长；
（3）当以边 为直径的⊙ 与线段 相切时，求 的长．
[题型背景和区分度测量点]
解：（1） 证明 ∽ ∴ ，代入数据得 ，∴AF=2
（2） 设BE= ,则 利用（1）的方法 ，
相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切， ， ；
内切， ， ．
∴当⊙ 和⊙ 相切时， 的长为 或 ．
（3）当以边 为直径的⊙ 与线段 相切时， ．
（二）线动问题
在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长；
A
B
C
D
E
O
l
A′
(2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝ AC，设AD的长为 ，五边形BCDEF的面积为S.①求S关于 的函数关系式，并指出 的取值范围；
②探索：是否存在这样的 ，以A为圆心，以 长为半径的圆与直线l相切，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
(1)∵A’是矩形ABCD的对称中心∴A’B＝AA’＝ AC
∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6
(2)① ， ， ，
∴ ，
( )
②若圆A与直线l相切，则 ， (舍去)， ∵ ∴不存在这样的 ，使圆A与直线l相切．
（三）面动问题
如图，在 中， ， 、 分别是边 、 上的两个动点（ 不与 、 重合），且保持 ，以 为边，在点 的异侧作正方形 .
（1）试求 的面积；
（2）当边 与 重合时，求正方形 的边长；
（3）设 ， 与正方形 重叠部分的面积为 ，试求 关于 的函数关系式，并写出定义域；
（4）当 是等腰三角形时，请直接写出 的长．
解：（1） .
（2）令此时正方形的边长为 ，则 ，解得 .
（3）当 时， ，
当 时， .
（4） .
A
B
F
D
E
M
N
C
已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30º，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N．
（1）求证：△BDM∽△CEN；
（2）设BD= ，△ABC与△DEF重叠部分的面积为 ，求 关于 的函数解析式，并写出定义域．
（3）当点M、N分别在边BA、CA上时,是否存在点D，使以M为圆心, BM为半径的圆与直线EF相切, 如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．
例1：已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上变化（不与A、B）重合，求∠ACB的大小 .
分析：点C的变化是否影响∠ACB的大小的变化呢?我们不妨将点C改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C在优弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO、BO，则由于AB=OA=OB，即三角形ABC为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB= ∠AOB=300，
当点C在劣弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由∠AOB=600得，优弧AB的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500，
因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.
专题三：双动点问题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.
1 以双动点为载体，探求函数图象问题
例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1). 动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P到达点A时，点Q正好到达点C. 设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.
(1)分别求出梯形中BA，AD的长度；
(2)写出图3中M，N两点的坐标；
(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.
2 以双动点为载体，探求结论开放性问题
例2 (2007年泰州市)如图5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.
(1)求∠BAO的度数.
(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.
(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.
(4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.
解 (1)∠BAO=60°.
(2)点P的运动速度为2个单位/秒.
3 以双动点为载体，探求存在性问题
例3 (2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.
(1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；
(2)若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；
(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.
4 以双动点为载体，探求函数最值问题
例4 (2007年吉林省)如图9，在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE、EB、BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0).E到达C，F到达A停止.若E的运动时间为x(s)，解答下列问题：
(1)当0<X
(2)①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式； (图10为备用图)
②求y的最大值.
解 (1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD的边长为82，所以AC=16，过B作BO⊥AC于O，则OB=89，因为AE=x，所以S2=4x，因为HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)， 当S1=S2时， 4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以当x=6时， S1=S2.
(2)①当0≤x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，
当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16，
所以S1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.
②当0≤x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y的最大值为50.
当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，
所以当x=13时，y的最大值为82.
综上可得，y的最大值为82.
评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.
四：函数中因动点产生的相似三角形问题
例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为 ）
⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
例1题图
图1
图2
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况
2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
好吧
动点问题一般是结合几何的一些知识和函数的知识一起考的，所以你要把动点当作平常的几何定点问题来做，抓住关系，列出函数关系式。一般求函数关系式的小题过后就会有一题，当某个数量等于几的时候，怎么样怎么样，这种小题就直接代入关系式求值就行了。还有就是要多做一些题目。
最后说一下，有时需要列方程，所以不管是一元还是二元，一次还是二次，都要掌握好，认真计算。 相似三角形是非常好用的方法。
同学你好，如果问题已解决，记得右上角采纳哦~~~您的采纳是对我的肯定~谢谢哦
#纪菡管# 求助:初中数学动点问题 -
(14791509077)： 动点的意思其实就是说它是这条线段上的随意一点.你先随意取一个点,然后把原题中的已知条件带进去,在运算就简单了.几何问题不能空想.多画草图才行.
#纪菡管# 求初中数学压轴存在性问题总结,极端值问题总结,解动点问题技巧, -
(14791509077)： 这个问题有些极端 ⊙﹏⊙b汗 注:*是重点和技巧1、先要确定未知量(t、x等)的取值范围、主动点被动点、基础图形(即一直不变的图形)、图形大致变化和运动路径 如不是高手就需要*画大量的草图*和*认真读题*2、要注意线段、直线、射线...
#纪菡管# 初中数学动点题 解题思路 -
(14791509077)： 最好有个好资料 能给你完全讲解 毕竟老师找的时候不太方便,而且老师有时还会批评你 “中学教材全解”这本书不错 (我现在高1,初中3年一直都在用,我数学一开始也不好 确实,这本书帮助挺大 如果买了 不要只做题 因为题量不多 要看例...
#纪菡管# 求一道初中数学动点问题 -
(14791509077)： 先求出直线L2的解析式,求出AB的坐标.然后根据你知道有3个情况是等腰三角形.用相似即可求出他们的比值.
#纪菡管# 谁能给我一个 初中数学考点的归纳 马上中考了 急需 谢谢啦 -
(14791509077)： 函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、) 圆 (垂径定理、圆的位置关系) 概率(树状图、表格) 计算(分解因式、二次函数、一次函数) 动点问题 大概就这些、 重点因式分解,二次函数与抛物线,相似三角形,难点也就是分式,抛物线与函数结合,考点的话多半基础的都有点,像分式方程是有的,压轴的抛物线与函数结合的多,相似三角形一定会穿插在题目里,甚至是单独的证明题,注意这几方面就不大问题了 .最好参考
#纪菡管# 初中数学中动点问题有什么比较好的学习方法? -
(14791509077)： 动点问题可有意思了 动点中的最值问题:遇到什么PA+PB的值最小啊这一类的问题,首先做对称.以P点所在直线为对称轴,作A(或B)的对称点(具体作哪个的依情况而定,如在正方形中优先选择顶点)【原理:此时对称轴为两点所连线段的中垂线,所以对称轴上任意一点到A和A'的距离相等,即PA=PA'】,然后连接A'B,此时所连接线段与对称轴交点即为P,线段的长度就是最小值.【两点之间线段最短】此法称为“两点一线”.一堆动点的问题:解这类题目时要记住万变中自有不变,找到不变的,其他就好办了.(反正考试的时候先放过这种题吧,我也没啥具体办法)
#纪菡管# 一道初中数学中考题,急啊!知者请速速告知!鄙人将不胜感激! -
(14791509077)： 分两步来解这道题:(1)先看*号左边的:因为1*1=2 (a+1)*b=n+1所以2*1=3 3*1=4 4*1=5.类推:2008*1=2009(2)再看*号右边的:因为...
#纪菡管# 求初中数学奥赛的书,推荐!!!网站也可以,知道的朋友,感激不尽 -
(14791509077)： 超级课堂可以,数学培优竞赛也可以
#纪菡管# 200分.请教高手,我做数学题目的计划和设想.跪谢!!! -
(14791509077)： 先说题外话:慢些做,给多点时间,想得148-149都是可能的,做数学题还是得讲求速度.速度越快说明你掌握的能力越强...你分析的太详细了.在你复习每章节的...
#纪菡管# 谁能给我一些有关初中数学函数动点问题的学习建议 -
(14791509077)： 函数的动点问题其实是很有难度的,不过只要抓住这个动态系统中的不变的关系就可以找到解决问题的出口.例如,一个线段的中点p的坐标,那么线段动但是p是线段的中点的关系保持不变,当然动态系统很多,这里举一个例子自己意会意会
