英国IMC数学竞赛考试浅谈(3)——几何知识点梳理
www.zhiqu.org 时间： 2024-06-15
距离2022年IMC正式考试还有3周的时间，同学们需要多花时间复习之前的考题以及重点哦。本期我将为大家带来关于几何知识点的梳理以及做题技巧。众所周知，几何一直是我们学习GCSE以及Alevel的重中之重，很多几何题目也用到了很多代数中设未知数，解一元多次方程的方法，所以整个ukmt教研组也偏向于在IMC的试卷当中给到几何较多的比重。在过去的十年中，平均每一年涉及到初中或者高中几何知识的imc试题每年有8题左右。所以，复习、以及预习提前掌握一些几何知识，对于IMC获得高分是非常重要的。下面，我将把初中几何分为几个大的分支课题，为大家分析其中的知识点。
1、平行线Parallel lines
平行线的性质：两直线平行，则同位角相等、内错角相等、同旁内角互补
平行线的判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，则两直线平行
平行线间的距离：平行线间的距离处处相等（平行线间的平行线段相等）
The properties of parallel lines: if two lines are parallel, the same position angle is equal, the interior angle is equal, and the interior angles on the same side are complementary
Judgment of parallel lines: the same angle is equal, the interior angles are equal, and the interior angles on the same side are complementary, then the two lines are parallel
Distance between parallel lines: The distance between parallel lines is equal everywhere (parallel segments between parallel lines are equal)
关于平行线，需要注意的是，我们常见的几何图形中，平行四边形，长方形，正方形中的平行线的利用。同学们要清楚的知道，在长方形内的三角形，有着大量的同底等高可以利用，在发现同底等高之后，可以轻松地使用面积的等量代换求解问题。
2、三角形(Triangle)
三角形的内角和等于180°（多边形的内角和：（n-2）×180°）
三角形的外角和等于360°（多边形的外角和等于360°）
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和 (满足四点共圆的四边形，一个角的外角等于该角的对角的内角。)
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差等于第三边 (换算成不等式，可以得到这样一个简单的不等式组，a+b>c, a+c>b,b+c>a, a,b,c,为三角形的三边长)
The sum of the interior angles of a triangle is equal to 180° (the sum of the interior angles of a polygon: (n-2) × 180°)
The sum of the exterior angles of a triangle is 360° (the sum of the exterior angles of a polygon is 360°)
An exterior angle of a triangle is equal to the sum of the two exterior angles that are not adjacent to it.
The sum of any two sides of a triangle is greater than the third side, and the difference between any two sides is equal to the third side (converted to inequality, such a simple inequality group can be obtained, a+b>c, a+c>b, b+c>a , a,b,c, are the lengths of the three sides of the triangle)
3*、全等三角形
全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等
全等三角形的判定：①S.A.S ②A.S.A ③A.A.S ④S.S.S ⑤H.L
全等三角形的知识点，在IMC的选择题中不作为重点考察。IMC竞赛中，25题均为选择题，所以我们只需要着重了解全等三角形的性质，注意对应边全部相等，当发现了两个三角形全等时，我们不必给出证明，可以直接使用，为后续的题目节约时间。
The knowledge points of congruent triangles are not considered in the multiple-choice questions of IMC. In the IMC competition, all 25 questions are multiple-choice questions, so we only need to focus on understanding the properties of congruent triangles, and pay attention to the fact that the corresponding sides are all equal. Subsequent questions save time.
4、等腰三角形、等边三角形、直角三角形
等腰三角形两条腰相等，两个底角相等
等腰三角形三线合一：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合
等边三角形的三条边相等，三个内角等于60°
等边三角形的判定：有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形
直角三角形的两个锐角互余
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）
An isosceles triangle has two equal sides and equal base angles
Isosceles triangle three lines in one: the height on the base of the isosceles triangle, the midline on the base, and the bisector of the top angle coincide with each other
The three sides of an equilateral triangle are equal, and the three interior angles are equal to 60°
Judgment of an equilateral triangle: an isosceles triangle with an interior angle equal to 60° is an equilateral triangle
Two acute angles of a right triangle are complementary
The sum of the squares of the two right-angled sides of a right triangle is equal to the square of the hypotenuse (Pythagorean theorem)
If the sum of the squares of the two sides of a triangle is equal to the square of the third side, then the triangle is a right triangle (the inverse of the Pythagorean theorem)
在考试中，看到诸如正六边形，正方形，一定要联想到它们分别与正三角形与等腰直角三角形的联系(正六边形可以被简单的分解为6个小正三角形，正方形可以被看做两个等腰直角三角形)。并且，同学们需要牢记30°,60°,90°直角三角形的边长比例关系(正余弦中的特殊值)，以及等腰直角三角形的边长比例关系(如果已经遗忘，清自行使用勾股定理推导，以便于加深印象)。
总之，几何问题是IMC竞赛考试中很重要的部分，希望同学们能够结合past paper中的考题，多加复习，争取在2月2日-3日的考试中获得高分！
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1、平行线Parallel lines
平行线的性质：两直线平行，则同位角相等、内错角相等、同旁内角互补
平行线的判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，则两直线平行
平行线间的距离：平行线间的距离处处相等（平行线间的平行线段相等）
The properties of parallel lines: if two lines are parallel, the same position angle is equal, the interior angle is equal, and the interior angles on the same side are complementary
Judgment of parallel lines: the same angle is equal, the interior angles are equal, and the interior angles on the same side are complementary, then the two lines are parallel
Distance between parallel lines: The distance between parallel lines is equal everywhere (parallel segments between parallel lines are equal)
关于平行线，需要注意的是，我们常见的几何图形中，平行四边形，长方形，正方形中的平行线的利用。同学们要清楚的知道，在长方形内的三角形，有着大量的同底等高可以利用，在发现同底等高之后，可以轻松地使用面积的等量代换求解问题。
2、三角形(Triangle)
三角形的内角和等于180°（多边形的内角和：（n-2）×180°）
三角形的外角和等于360°（多边形的外角和等于360°）
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和 (满足四点共圆的四边形，一个角的外角等于该角的对角的内角。)
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差等于第三边 (换算成不等式，可以得到这样一个简单的不等式组，a+b>c, a+c>b,b+c>a, a,b,c,为三角形的三边长)
The sum of the interior angles of a triangle is equal to 180° (the sum of the interior angles of a polygon: (n-2) × 180°)
The sum of the exterior angles of a triangle is 360° (the sum of the exterior angles of a polygon is 360°)
An exterior angle of a triangle is equal to the sum of the two exterior angles that are not adjacent to it.
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3*、全等三角形
全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等
全等三角形的判定：①S.A.S ②A.S.A ③A.A.S ④S.S.S ⑤H.L
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等边三角形的三条边相等，三个内角等于60°
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直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）
An isosceles triangle has two equal sides and equal base angles
Isosceles triangle three lines in one: the height on the base of the isosceles triangle, the midline on the base, and the bisector of the top angle coincide with each other
The three sides of an equilateral triangle are equal, and the three interior angles are equal to 60°
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