在、锐角三角形ABC中，求得一点P，使PA PB PC最短并证明 在锐角△ABC内求一点P，使PA+PB+PC为最短值
www.zhiqu.org 时间： 2024-06-01
设锐角△ABC。（1）分别以AB,AC为一边，向△ABC外作正△ABC'和正△ACB'.连结BB',CC'.线段BB'与CC'交于点P.易知，点P即是费尔马点，且BB'=CC'=PA+PB+PC.(这里，你讲明了不用证明）。下面的工作即是证明线段BB'(CC')最短。（2），设点Q是△ABC内的任一点，连结AQ,BQ,CQ.以线段BQ为一边，向外（点C'方向）作正△BQR,连结RC'.易知，∠C'BR+∠RBA=∠C'BA=60°=∠RBQ=∠RBA+∠ABQ,===>∠C'BR=∠ABQ,,又显然有C'B=AB,RB=QB.====>△C'BR≌△ABQ(S.A.S)===>C'R=AQ.====>折线C'RQC=AQ+BQ+CQ.又折线C'RQC>线段C'C.(连结两点的所有线中，直线段最短）。====》AQ+BQ+CQ>AP+BP+CP. 这即证明了点P符合题设，最短。
编辑]费马-托里拆利点
托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形
的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。
1647年，博纳文图拉·卡瓦列里在他的著作《几何学题集》（Exerciones Geometricae）中也探讨了这个问题。他发现，将作正三角形时作出的第三个点与对面的顶点连接，可以得出三条线段。这三条线段交于托里拆利点，而且托里拆利点对每条边张的角都是120°。[4]
[编辑]作法及证明
下面是三角形的费马点的作法：
当有一个内角不小于
时，费马点为此角对应顶点。
当三角形的内角都小于
时
以三角形的每一边为底边，向外做三个正三角形△ABC'，△BCA'，△CAB'。
连接CC'、BB'、AA'，则三条线段的交点就是所求的点。
[编辑]几何证明
三角形的内角都小于
的情况：
首先证明CC'、BB'、AA'三条线交于一点。设P为线段CC'和BB'的交点。注意到三角形C'AC和三角形BAB'是全等的，三角形C'AC可以看做是三角形B'AB以A点为轴心顺时针旋转60度得到的，所以角
等于60度，和
相等。因此，C'、A、B、P
四点共圆。同样地，可以证明B'、A、C、P四点共圆。于是：在几何学中，费马点是位于三角形内的一个点，给定一个三角形△ABC的话,从这个三角形的费马点P 到三角形的三个顶点A、B、C 的距离之和
比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
费马点问题最早是由法国
数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。[1]托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。
[编辑]源起：费马的问题
1638年，勒内·笛卡儿邀请费马思考关于到四个顶点距离为定值的函数的问题。这大概也是1643年，费马写信向埃万杰利斯塔·托里拆利询问关于费马点的问题的原因[1]。
为二位
- - 怎么高
一道竞赛题，在、锐角三角形ABC中，求得一点P，使PA+PB+PC最短并证明~
#向咸昆# 向量问题已知P为锐角三角形ABC内部的一点,且满足PA向量+PB
(19366762944)： C 取AB中点O 延长PO至D 使PO=OD 则PA向量+PB向量=PD向量 PD向量+PC向量=0向量 PO向量=-1\2PC 向量 则P为中线交点
#向咸昆# 在锐角△ABC内一点P满足PA=PB=PC,则点P是△ABC( )A.内心B.重心C.垂心D.外 -
(19366762944)： ∵PA=PB,∴P在AB的垂直平分线上,同理P在AC,BC的垂直平分线上. ∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点. 故选D.
#向咸昆# 一个等边三角形ABC,在三角形内取一点P,使PA:PB:PC=1:2:3,求角APB的大小 用初中方法怎么做
(19366762944)： 这道题目能帮到你吗?类似看看哦!不好不要怪我哦!我几何学的不好,不能为你解答了! p为等边三角形ABC内的一点,且PA:PB:PC=3:4:5,则∠APB等于多少度? 10 [ 标签:等边三角形,abc,apb ] p为等边三角形ABC内的一点,且PA:PB:...
#向咸昆# 在三角形ABC内有一点P,使PA=PB=PC,求这个点的位置及寻找方法,以及原理
(19366762944)： 画出那三个边的垂直平分线,三个垂直平分线所相交的那个点,就是点P所在
#向咸昆# 在三角形ABC内找一点P,使PA^2+PB^2+PC^2取最小值. -
(19366762944)： 利用均值不等式必须要保证某一对称式结果恒定(如PA+PB+PC=c)时才能使用它来得到最小值 这里并没有这种情况,所以无法使用均值不等式 这里应该采取代数方法,重心也是正确结果.
#向咸昆# 在三角形ABC内求一点P使向量PA的平方+向量PB的平方+向量PC的平方的值最小 -
(19366762944)： 简单的来说就要用到中线长公式,m^2=(2*a^2+2*b^2-c^2)/4其中a,b,c为三边,m为AB边中线长.这个公式用余弦定理很容易得到.设AB中点为D 先假设丨向量PA丨^2+丨向量PB丨^2是个固定的值.那么用公式丨向量PA丨^2+丨向量PB丨^2=(4*丨向量PD丨^2+c^2)/2 所以丨向量PD丨^2也是固定的,P点的轨迹为以D为圆心的圆.那么只需使丨向量PC丨^2取到最小值,画个图看很显然CPD三点共线的时候丨向量PC丨最小.CPD是中线.同理在其它两边也必须满足这个共线条件.P则为三条中线的交点,△ABC的(重心).这个做法的思想是冻结变量.
#向咸昆# 2.在三角形ABC中, 角ABC=60°, 点P是三角形ABC内的一点, 使得角APB=角BPC=角CPA, PA=8, PC=6 求PB -
(19366762944)： 解:因为∠ABP=120,所以∠ABP+∠BAP=60,又角ABC=60°,所以∠ABP+∠CBP=60,所以∠CBP=∠BAP,又∠APB=∠APC=120 所以△ABP∽△BCP 所以AP/BP=BP/CP,BP^2=AP*CP BP^2=6*8=48,所以BP=4√3
#向咸昆# 已知锐角三角形ABC,求做三角形ABC内一点,使得PA+PB+PC最小
(19366762944)： P是任意三角形ABC内一点,则当∠APB=∠BPC=∠APC=120`时PA+PB+PC达到最小值. 我简单证明一下: 将三角形APC绕C点顺时针旋转60`的三角形A'P'C 因为 ∠PCP'=60`,PC=P'C 所以 PP'C为等边三角形 , PC=P'C=PP' 又 ∠BPC+∠P'PC=180`=∠P'PC+∠CP'A' 所以 B,P,P',A,共线 于是 BA'=PB+PA+PC在此时达到最小值 回到此题,问题中的正三角形是让你计算L(min) 当P是正三角形重心时(三线合一)L=PA+PB+PC最小 易求此时L=根号3
#向咸昆# 画△ABC(直角,钝角,锐角) 找点P使PA=PB=PC.若能画出P观察△ABC和P的位置关系. 急急急急急 -
(19366762944)： 分别作三个边的垂直平分线,交点就是P点,P点是三角形的外心,此时PA=PB=PC,三角形是锐角三角形时,点P在三角形内,三角形是直角三角形时,P点在斜边上,三角形是钝角三角形时,点P在三角形外.
#向咸昆# 点P在锐角△ABC的边上运动,试确定点P的位置,使PA+PB+PC最小,并证明你的结论 -
(19366762944)： 解答: 解:当点P在锐角△ABC最短边上的高的垂足的位置时, PA+PB+PC最小. 证明:如图,P为△ABC一边BC边, 上的高的垂足,而Q为BC边上的任一点, ∵PA+PB+PC=PA+BC,QA+QB+QC=QA+BC,PAAP. 在BP′上截取BoP′=AP,在BC上截取B′C=AC, 作B′Po⊥AC.垂足为Po, 连接B′Bo. ∵Rt△APC≌Rt△B'PoC, ∴AP=B'Po=BoP'. ∵四边形B'BoP'Po是矩形, ∴∠B'BoB=90°, 在△B'BoB中,B'B>BBo, ∵P'A+P'B+P'C=BBo+AP+AC,PA+PB+PC=BP'+AC+AP, ∴P'A+P'B+P'C
编辑]费马-托里拆利点
托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形
的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。
1647年，博纳文图拉·卡瓦列里在他的著作《几何学题集》（Exerciones Geometricae）中也探讨了这个问题。他发现，将作正三角形时作出的第三个点与对面的顶点连接，可以得出三条线段。这三条线段交于托里拆利点，而且托里拆利点对每条边张的角都是120°。[4]
[编辑]作法及证明
下面是三角形的费马点的作法：
当有一个内角不小于
时，费马点为此角对应顶点。
当三角形的内角都小于
时
以三角形的每一边为底边，向外做三个正三角形△ABC'，△BCA'，△CAB'。
连接CC'、BB'、AA'，则三条线段的交点就是所求的点。
[编辑]几何证明
三角形的内角都小于
的情况：
首先证明CC'、BB'、AA'三条线交于一点。设P为线段CC'和BB'的交点。注意到三角形C'AC和三角形BAB'是全等的，三角形C'AC可以看做是三角形B'AB以A点为轴心顺时针旋转60度得到的，所以角
等于60度，和
相等。因此，C'、A、B、P
四点共圆。同样地，可以证明B'、A、C、P四点共圆。于是：在几何学中，费马点是位于三角形内的一个点，给定一个三角形△ABC的话,从这个三角形的费马点P 到三角形的三个顶点A、B、C 的距离之和
比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
费马点问题最早是由法国
数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。[1]托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。
[编辑]源起：费马的问题
1638年，勒内·笛卡儿邀请费马思考关于到四个顶点距离为定值的函数的问题。这大概也是1643年，费马写信向埃万杰利斯塔·托里拆利询问关于费马点的问题的原因[1]。
为二位
- - 怎么高
一道竞赛题，在、锐角三角形ABC中，求得一点P，使PA+PB+PC最短并证明~
设锐角△ABC。（1）分别以AB,AC为一边，向△ABC外作正△ABC'和正△ACB'.连结BB',CC'.线段BB'与CC'交于点P.易知，点P即是费尔马点，且BB'=CC'=PA+PB+PC.(这里，你讲明了不用证明）。下面的工作即是证明线段BB'(CC')最短。（2），设点Q是△ABC内的任一点，连结AQ,BQ,CQ.以线段BQ为一边，向外（点C'方向）作正△BQR,连结RC'.易知，∠C'BR+∠RBA=∠C'BA=60°=∠RBQ=∠RBA+∠ABQ,===>∠C'BR=∠ABQ,,又显然有C'B=AB,RB=QB.====>△C'BR≌△ABQ(S.A.S)===>C'R=AQ.====>折线C'RQC=AQ+BQ+CQ.又折线C'RQC>线段C'C.(连结两点的所有线中，直线段最短）。====》AQ+BQ+CQ>AP+BP+CP. 这即证明了点P符合题设，最短。（注：以上仅供你参考。）
解：（1）将AB绕B逆时针旋转60°得到A′B，（2）连接A′C；（3）作直线AP与直线A′C相交于P点，且使∠APA′=60°，靠近C的那一点就是P的位置．
#向咸昆# 向量问题已知P为锐角三角形ABC内部的一点,且满足PA向量+PB
(19366762944)： C 取AB中点O 延长PO至D 使PO=OD 则PA向量+PB向量=PD向量 PD向量+PC向量=0向量 PO向量=-1\2PC 向量 则P为中线交点
#向咸昆# 在锐角△ABC内一点P满足PA=PB=PC,则点P是△ABC( )A.内心B.重心C.垂心D.外 -
(19366762944)： ∵PA=PB,∴P在AB的垂直平分线上,同理P在AC,BC的垂直平分线上. ∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点. 故选D.
#向咸昆# 一个等边三角形ABC,在三角形内取一点P,使PA:PB:PC=1:2:3,求角APB的大小 用初中方法怎么做
(19366762944)： 这道题目能帮到你吗?类似看看哦!不好不要怪我哦!我几何学的不好,不能为你解答了! p为等边三角形ABC内的一点,且PA:PB:PC=3:4:5,则∠APB等于多少度? 10 [ 标签:等边三角形,abc,apb ] p为等边三角形ABC内的一点,且PA:PB:...
#向咸昆# 在三角形ABC内有一点P,使PA=PB=PC,求这个点的位置及寻找方法,以及原理
(19366762944)： 画出那三个边的垂直平分线,三个垂直平分线所相交的那个点,就是点P所在
#向咸昆# 在三角形ABC内找一点P,使PA^2+PB^2+PC^2取最小值. -
(19366762944)： 利用均值不等式必须要保证某一对称式结果恒定(如PA+PB+PC=c)时才能使用它来得到最小值 这里并没有这种情况,所以无法使用均值不等式 这里应该采取代数方法,重心也是正确结果.
#向咸昆# 在三角形ABC内求一点P使向量PA的平方+向量PB的平方+向量PC的平方的值最小 -
(19366762944)： 简单的来说就要用到中线长公式,m^2=(2*a^2+2*b^2-c^2)/4其中a,b,c为三边,m为AB边中线长.这个公式用余弦定理很容易得到.设AB中点为D 先假设丨向量PA丨^2+丨向量PB丨^2是个固定的值.那么用公式丨向量PA丨^2+丨向量PB丨^2=(4*丨向量PD丨^2+c^2)/2 所以丨向量PD丨^2也是固定的,P点的轨迹为以D为圆心的圆.那么只需使丨向量PC丨^2取到最小值,画个图看很显然CPD三点共线的时候丨向量PC丨最小.CPD是中线.同理在其它两边也必须满足这个共线条件.P则为三条中线的交点,△ABC的(重心).这个做法的思想是冻结变量.
#向咸昆# 2.在三角形ABC中, 角ABC=60°, 点P是三角形ABC内的一点, 使得角APB=角BPC=角CPA, PA=8, PC=6 求PB -
(19366762944)： 解:因为∠ABP=120,所以∠ABP+∠BAP=60,又角ABC=60°,所以∠ABP+∠CBP=60,所以∠CBP=∠BAP,又∠APB=∠APC=120 所以△ABP∽△BCP 所以AP/BP=BP/CP,BP^2=AP*CP BP^2=6*8=48,所以BP=4√3
#向咸昆# 已知锐角三角形ABC,求做三角形ABC内一点,使得PA+PB+PC最小
(19366762944)： P是任意三角形ABC内一点,则当∠APB=∠BPC=∠APC=120`时PA+PB+PC达到最小值. 我简单证明一下: 将三角形APC绕C点顺时针旋转60`的三角形A'P'C 因为 ∠PCP'=60`,PC=P'C 所以 PP'C为等边三角形 , PC=P'C=PP' 又 ∠BPC+∠P'PC=180`=∠P'PC+∠CP'A' 所以 B,P,P',A,共线 于是 BA'=PB+PA+PC在此时达到最小值 回到此题,问题中的正三角形是让你计算L(min) 当P是正三角形重心时(三线合一)L=PA+PB+PC最小 易求此时L=根号3
#向咸昆# 画△ABC(直角,钝角,锐角) 找点P使PA=PB=PC.若能画出P观察△ABC和P的位置关系. 急急急急急 -
(19366762944)： 分别作三个边的垂直平分线,交点就是P点,P点是三角形的外心,此时PA=PB=PC,三角形是锐角三角形时,点P在三角形内,三角形是直角三角形时,P点在斜边上,三角形是钝角三角形时,点P在三角形外.
#向咸昆# 点P在锐角△ABC的边上运动,试确定点P的位置,使PA+PB+PC最小,并证明你的结论 -
(19366762944)： 解答: 解:当点P在锐角△ABC最短边上的高的垂足的位置时, PA+PB+PC最小. 证明:如图,P为△ABC一边BC边, 上的高的垂足,而Q为BC边上的任一点, ∵PA+PB+PC=PA+BC,QA+QB+QC=QA+BC,PAAP. 在BP′上截取BoP′=AP,在BC上截取B′C=AC, 作B′Po⊥AC.垂足为Po, 连接B′Bo. ∵Rt△APC≌Rt△B'PoC, ∴AP=B'Po=BoP'. ∵四边形B'BoP'Po是矩形, ∴∠B'BoB=90°, 在△B'BoB中,B'B>BBo, ∵P'A+P'B+P'C=BBo+AP+AC,PA+PB+PC=BP'+AC+AP, ∴P'A+P'B+P'C
