万有引力做功公式证明中的疑问 如题，我用向量形式推导万有引力做功公式，有误吗？ 我感觉好像...
www.zhiqu.org 时间： 2024-06-01
如果要深究，则要用到微积分。
这里的平均引力的概念，不是算术平均，也不是几何平均值，而是做功的平均力，即F=W/S意义上的平均，因而其求法是:
由半径r到r1，引力（变力，所以要用微积分）做功大小为 定积分w=∫GMm/r2 dr，积分上下限为r1和r, 可得w=GMm(1/r-1/r1)
因而平均力F=w/s=GMm(1/r-1/r1) / (r1-r)=GMm/(r*r1)
实际上有此公式直接可以求远端的功： W=FS=GMm/(r*r1)*(r1-r)，当r1->+∞时，可得w=GMm/r
所以这个功是个精确解，不需要象题那样离散求解。 并可利用此式，求得物体在地表具有动能等于此动能时的速度，即1/2mv^2=GMm/r，而地表加速度g=GM/r^2，代入得v=√(2gr)=11.2Km/s，此即地球的第二宇宙速度。
是为了方便计算。
真正的平均值和此式是有出入的，但因为移动很小的距离，所以误差可忽略不计。
真正的平均值为（GMm/r 1^2-GMm /r^2）÷2+GMm /r ^2.
与GMm /r1r 是不挂等号的，不信你化化看。
将此物体移远一小段距离，由距r到r1，
引力由F1=GMm/rr，减小到F2=GMm/r1r1
平均引力取F=√(F1*F2)=GMm/rr1 ，F在(F1，F2)之间
这样取的主要原因是为了下面的累加计算消去方便，
在其它一些近似计算中，也可能去每一小段的前端点，或者后端点或者中间值，
例如利用水平切割法计算梯形面积时，每一个小梯形形可以看成长方形，它的长可以去小梯形的中间值
请问万有引力做功公式怎么证明?~
#令颜颜# 关于万有引力做功的.从r1到r2这个过程.式子里面的那个负号是怎么回事啊? -
(18073225429)： 展开全部位移方向与引力方向相反,180度的余弦
#令颜颜# 对同一下落物体,万有引力作功功率在不同时间段为什么不同?根据动能定理E=mvv/2,第一秒下落5米,第二秒下落15米,那么第一秒内万有引力平均做功... - 作业帮
(18073225429)：[答案] 你应该注意“力”作功与“实体之物”作功的区别.人们在日常生活中所说的功和功率,主体是一些实体之物,比如发动机、... 所以,万有引力作了功,但地球没作功,地球不是作功的主体.仅仅分析“力”作功时,只能套用公式.得出结果后,不必运...
#令颜颜# 高一物理题,关于万有引力做功问题 -
(18073225429)： 根据图 这个变轨过程卫星绕着地球转了180度 运动轨道是椭圆,地球处于左焦点 半长轴是r1加r2的一半 带入天体运动计算周期的公式就好 开普勒定律保证了这样得算的可行性,可能你稍稍不能理解的就是“椭圆”和半周期
#令颜颜# 地球质量M半径r,一质量m的火箭从地面上升到距地面2r处,地球引力对火箭做功 -
(18073225429)： 严格地说,你这题是错误的,火箭从地面上升到预定轨道,因为燃料的消耗,其质量是变化的!不过忽略掉这个质量损失,积分就从双重积分变成单重积分了.地表时,万有引力F=GMm/r²,整个过程中,万有引力做功W=∫(GMm/r²)dr=-GMm/2r+GMm/r=GMm/2r.
#令颜颜# 万有引力有没有做功?
(18073225429)： 不是这样说的,功是重力做的,并非万有引力做的.因为重力只是万有引力的一部分,还有一部分是围绕地轴自转的向心力! 跳下来的同时还受到空气阻力,而且阻力做了负功!
#令颜颜# 书上说重力势能随高度的增加而增加,但我表示怀疑,我想问各位专家几个问题. -
(18073225429)： 1 万有引力公式为F=MmG÷L² 可得当L取无穷大时万有引力为0 即势能为0 但L取无穷大基本上是不能的 而且 当物体从无穷远处接近时 引力做正功 根据能量守恒可得出无穷远处重力势能最大2当物体互相远离时 其本身动能转换为重力势能 如上抛物体 当物体相互接近时 重力势能转化为动能 能量守恒永远成立3给电磁铁通电后,这个物体受到引力作用 但拥有的不是重力势能 而是电势能 其能量来源是电能 停止通电 电势能自然就消失了 另 现代科学应当成为绝大多数人的信仰 因为就目前而言 它是唯一能够带给人类进步的哲学 虽然有缺陷 但毫无疑问是对人有益的 而且益处绝对大于神学 科学 是一种工具 但也仅此而已
#令颜颜# 关于万有引力做功 -
(18073225429)： 利用动能定理.由于近地点的速度大于远地点的速度,所以速度变小,合外力做负功,人造卫星所受的合外力就是万有引力,所以选C
#令颜颜# 求万有引力势能公式的推导
(18073225429)： 首先明确在太空中所受的万有引力 相当于人在地球上所受的重力一般,是一个保守力(做功只与初末位置有关) 然后我们假设在太空中有这样的两个星体AB,质量分别为MA ,MB,相距r1 当B星体向它们的连心线AB(其实就是万有引力的方向...
#令颜颜# 关于万有引力做功问题万有引力无处不在,拿地球来说,其万有引力的很
(18073225429)： 如果物体没有在引力的方向上运动那就谈不到做功 而且做功也不是地球做的 是引力场 就像一个静止正电荷吸引负电荷使其产生动能 其本身的能量并无损失 至于场这种虚无缥缈的东西怎么产生貌似还没有解释 或者是我不知道
#令颜颜# 万有引力做功消耗什么能量都说是势能 什么势能? - 作业帮
(18073225429)：[答案] 万有引力势能,任何保守力都有势能,万有引力做正功,势能减小.类似于电势能和重力势能.
这里的平均引力的概念，不是算术平均，也不是几何平均值，而是做功的平均力，即F=W/S意义上的平均，因而其求法是:
由半径r到r1，引力（变力，所以要用微积分）做功大小为 定积分w=∫GMm/r2 dr，积分上下限为r1和r, 可得w=GMm(1/r-1/r1)
因而平均力F=w/s=GMm(1/r-1/r1) / (r1-r)=GMm/(r*r1)
实际上有此公式直接可以求远端的功： W=FS=GMm/(r*r1)*(r1-r)，当r1->+∞时，可得w=GMm/r
所以这个功是个精确解，不需要象题那样离散求解。 并可利用此式，求得物体在地表具有动能等于此动能时的速度，即1/2mv^2=GMm/r，而地表加速度g=GM/r^2，代入得v=√(2gr)=11.2Km/s，此即地球的第二宇宙速度。
是为了方便计算。
真正的平均值和此式是有出入的，但因为移动很小的距离，所以误差可忽略不计。
真正的平均值为（GMm/r 1^2-GMm /r^2）÷2+GMm /r ^2.
与GMm /r1r 是不挂等号的，不信你化化看。
将此物体移远一小段距离，由距r到r1，
引力由F1=GMm/rr，减小到F2=GMm/r1r1
平均引力取F=√(F1*F2)=GMm/rr1 ，F在(F1，F2)之间
这样取的主要原因是为了下面的累加计算消去方便，
在其它一些近似计算中，也可能去每一小段的前端点，或者后端点或者中间值，
例如利用水平切割法计算梯形面积时，每一个小梯形形可以看成长方形，它的长可以去小梯形的中间值
请问万有引力做功公式怎么证明?~
取无穷远处势能为0
取星体质量M,距离星体r远处有一质量m物体,将此物体移远一小段距离,到r1远处,由于移动极小,可取平均引力F=GMm/rr1
则平均做功W1=F(r1-r)=GMm/r-GMm/r1
类似的,再移远一小段距离,至r2处,
W2=GMm/r1-GMm/r2
W3=GMm/r2-GMm/r3
……
Wn=GMm/r（n-1）-GMm/rn
rn趋于无穷大
累加后W总=-GMm/r=0-Ep
所以导出Ep=-GMm/r
积分方法：
先把问题具体化一下：质点质量为M,求和质点距离为r0处的引力势能.
设无穷远处引力势能为0.设一质量为m的物体从无穷远处移向M,在距离为r处的万有引力
F=GMm/r^2
在这个力的作用下向M移动一小段距离dr,这个过程中可以认为F不变,做功
dW=Fdr=GMmdr/r^2
将上面的式子对r从正无穷到r0积分,可以得到
W=GMm/r0
这就是万有引力对物体从无穷远到r0做的功,也就是物体在该过程中减小的势能,所以物体在r0处的势能（无穷远处为零）
Ep=0-W=-GMm/r0
你所确定的系也就是将力与路径在切向与径向分解。由于力只在径向上有分量，故根据向量的点乘原则，其只与dl的径向分量（即你所提dx）点乘有意义。而此图上积分路径由a到b，dx与F反向，故乘积应为负。
你的式子没有问题，只不过有一个隐含条件你忽略了，就是你所得式子中dx0.
ps一般不用设x，y轴，你的x，y定义不明确，直接用切向，径向分解
#令颜颜# 关于万有引力做功的.从r1到r2这个过程.式子里面的那个负号是怎么回事啊? -
(18073225429)： 展开全部位移方向与引力方向相反,180度的余弦
#令颜颜# 对同一下落物体,万有引力作功功率在不同时间段为什么不同?根据动能定理E=mvv/2,第一秒下落5米,第二秒下落15米,那么第一秒内万有引力平均做功... - 作业帮
(18073225429)：[答案] 你应该注意“力”作功与“实体之物”作功的区别.人们在日常生活中所说的功和功率,主体是一些实体之物,比如发动机、... 所以,万有引力作了功,但地球没作功,地球不是作功的主体.仅仅分析“力”作功时,只能套用公式.得出结果后,不必运...
#令颜颜# 高一物理题,关于万有引力做功问题 -
(18073225429)： 根据图 这个变轨过程卫星绕着地球转了180度 运动轨道是椭圆,地球处于左焦点 半长轴是r1加r2的一半 带入天体运动计算周期的公式就好 开普勒定律保证了这样得算的可行性,可能你稍稍不能理解的就是“椭圆”和半周期
#令颜颜# 地球质量M半径r,一质量m的火箭从地面上升到距地面2r处,地球引力对火箭做功 -
(18073225429)： 严格地说,你这题是错误的,火箭从地面上升到预定轨道,因为燃料的消耗,其质量是变化的!不过忽略掉这个质量损失,积分就从双重积分变成单重积分了.地表时,万有引力F=GMm/r²,整个过程中,万有引力做功W=∫(GMm/r²)dr=-GMm/2r+GMm/r=GMm/2r.
#令颜颜# 万有引力有没有做功?
(18073225429)： 不是这样说的,功是重力做的,并非万有引力做的.因为重力只是万有引力的一部分,还有一部分是围绕地轴自转的向心力! 跳下来的同时还受到空气阻力,而且阻力做了负功!
#令颜颜# 书上说重力势能随高度的增加而增加,但我表示怀疑,我想问各位专家几个问题. -
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#令颜颜# 关于万有引力做功 -
(18073225429)： 利用动能定理.由于近地点的速度大于远地点的速度,所以速度变小,合外力做负功,人造卫星所受的合外力就是万有引力,所以选C
#令颜颜# 求万有引力势能公式的推导
(18073225429)： 首先明确在太空中所受的万有引力 相当于人在地球上所受的重力一般,是一个保守力(做功只与初末位置有关) 然后我们假设在太空中有这样的两个星体AB,质量分别为MA ,MB,相距r1 当B星体向它们的连心线AB(其实就是万有引力的方向...
#令颜颜# 关于万有引力做功问题万有引力无处不在,拿地球来说,其万有引力的很
(18073225429)： 如果物体没有在引力的方向上运动那就谈不到做功 而且做功也不是地球做的 是引力场 就像一个静止正电荷吸引负电荷使其产生动能 其本身的能量并无损失 至于场这种虚无缥缈的东西怎么产生貌似还没有解释 或者是我不知道
#令颜颜# 万有引力做功消耗什么能量都说是势能 什么势能? - 作业帮
(18073225429)：[答案] 万有引力势能,任何保守力都有势能,万有引力做正功,势能减小.类似于电势能和重力势能.
