最新证明面临质疑：P／NP问题为什么这么难？
www.zhiqu.org 时间： 2025-12-17
编译 | 张林峰（普林斯顿大学应用数学专业博士研究生）
最新证明面临质疑：P/NP问题的复杂性与挑战
在理论计算机科学领域，P和NP是否相等这一问题通常被认为是最重要的难题之一。这不仅关系到计算复杂性理论的核心，更是克雷数学研究所的七大千禧年难题之一。最近，德国波恩大学的计算机科学家Nobert Blum宣布了一篇宣称证明了P/=NP（P不等于NP）的论文，引发了学界广泛关注和讨论。
Nobert Blum的论文声称证明了P/=NP，但很快加州大学伯克利分校的电子工程与计算机科学教授Luca Trevisan就指出，其中的关键部分——安德烈耶夫方程被认为具有超多项式电路复杂度，而实际上可以通过高斯消去法解决，从而证明仅有多项式复杂度，使得论文的证明存在严重问题。这一发现表明，即使看似重要的突破也可能存在漏洞。
近年来，尽管不乏有人声称证明了P等于或者不等于NP，但这些证明最终都被发现存在错误。目前，这个问题仍然没有定论，61位数学家和计算机科学家在2002年投票时，绝大多数认为P不等于NP。P代表相对容易解决的问题集合，而NP代表看起来非常难的问题集合，如果P=NP，意味着看似困难的问题其实可能有比较容易的解决方案，但至今还没有人能够回答这个问题。
当我们说P/NP问题时，实际上涉及的是问题的可计算性和复杂性。P代表问题的解可以在多项式时间内被验证的问题集合，NP则代表其解可以在多项式时间内被验证的问题集合。许多NP问题看似需要指数时间来解决，如大整数质因子分解。P=NP意味着如果一个问题的解可以在多项式时间内被验证，那么也一定可以在多项式时间内找到这个解。
“P是否等于NP”问题的部分魅力在于，大量典型的需要指数时间解决的NP问题被称为“NP完全问题”，它们可以在多项式时间内相互转化。这意味着如果其中一个问题是多项式时间可解的，那么所有其他问题也都是。第一个NPC问题是库克-列文给出的布尔可满足性问题。在现实生活中，NP完全问题在大调度任务中相当普遍，如旅行商问题，P=NP意味着物流分配可以很快进行，反之则意味着随着物流规模扩大，我们将无法在有效时间内找到最佳路线。
复杂度类之间的关系示意图可以帮助我们理解P、NP、NPC以及PSPACE等类之间的相互关系。对于P/NP问题的解决，其重要性不仅在于可能的实用应用，如密码学、物流优化等，更在于它可能带来的理论突破。数学家、物理学家和计算机科学家普遍认为P不等于NP，但证明这一猜想的过程可能带来对计算复杂性的深入理解。例如，BPP类在密码学领域有重要应用，而更多复杂度类的引入则提供了研究方向和可能性。
量子力学在P/NP问题上带来了新的视角。虽然量子计算机可以通过“并行地尝试每一个可能的解”来解决NP完全问题的误解已被纠正，但量子计算在解决大整数分解等特定问题上确实提供了计算能力的提升。Grover算法是量子搜索算法的一个例子，它提供了平方加速的搜索速度，而非指数级别的加速。量子计算机引入的复杂度类，如BQP，也为我们提供了一种新的分类框架。
尽管量子力学和复杂度理论为P/NP问题带来了新的曙光，但解决问题仍然面临巨大挑战。芝加哥大学计算机系教授Ketan Mulmuley提出的几何复杂性理论纲领试图将P/NP问题与代数几何、表示理论等数学概念联系起来，但这一纲领仍然面临实现其目标的困难和不确定性。
综上所述，P/NP问题的解决不仅关系到计算复杂性理论的前沿，也对密码学、物流优化等领域有深远影响。尽管存在多种尝试和研究方向，但问题本身仍然充满挑战，其解决过程可能需要跨越多个学科的深入理解和突破。
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Nobert Blum的论文声称证明了P/=NP，但很快加州大学伯克利分校的电子工程与计算机科学教授Luca Trevisan就指出，其中的关键部分——安德烈耶夫方程被认为具有超多项式电路复杂度，而实际上可以通过高斯消去法解决，从而证明仅有多项式复杂度，使得论文的证明存在严重问题。这一发现表明，即使看似重要的突破也可能存在漏洞。
近年来，尽管不乏有人声称证明了P等于或者不等于NP，但这些证明最终都被发现存在错误。目前，这个问题仍然没有定论，61位数学家和计算机科学家在2002年投票时，绝大多数认为P不等于NP。P代表相对容易解决的问题集合，而NP代表看起来非常难的问题集合，如果P=NP，意味着看似困难的问题其实可能有比较容易的解决方案，但至今还没有人能够回答这个问题。
当我们说P/NP问题时，实际上涉及的是问题的可计算性和复杂性。P代表问题的解可以在多项式时间内被验证的问题集合，NP则代表其解可以在多项式时间内被验证的问题集合。许多NP问题看似需要指数时间来解决，如大整数质因子分解。P=NP意味着如果一个问题的解可以在多项式时间内被验证，那么也一定可以在多项式时间内找到这个解。
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复杂度类之间的关系示意图可以帮助我们理解P、NP、NPC以及PSPACE等类之间的相互关系。对于P/NP问题的解决，其重要性不仅在于可能的实用应用，如密码学、物流优化等，更在于它可能带来的理论突破。数学家、物理学家和计算机科学家普遍认为P不等于NP，但证明这一猜想的过程可能带来对计算复杂性的深入理解。例如，BPP类在密码学领域有重要应用，而更多复杂度类的引入则提供了研究方向和可能性。
量子力学在P/NP问题上带来了新的视角。虽然量子计算机可以通过“并行地尝试每一个可能的解”来解决NP完全问题的误解已被纠正，但量子计算在解决大整数分解等特定问题上确实提供了计算能力的提升。Grover算法是量子搜索算法的一个例子，它提供了平方加速的搜索速度，而非指数级别的加速。量子计算机引入的复杂度类，如BQP，也为我们提供了一种新的分类框架。
尽管量子力学和复杂度理论为P/NP问题带来了新的曙光，但解决问题仍然面临巨大挑战。芝加哥大学计算机系教授Ketan Mulmuley提出的几何复杂性理论纲领试图将P/NP问题与代数几何、表示理论等数学概念联系起来，但这一纲领仍然面临实现其目标的困难和不确定性。
综上所述，P/NP问题的解决不仅关系到计算复杂性理论的前沿，也对密码学、物流优化等领域有深远影响。尽管存在多种尝试和研究方向，但问题本身仍然充满挑战，其解决过程可能需要跨越多个学科的深入理解和突破。
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