复数的三角表示

复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ）叫做复数Z=a＋bi的三角形式。

其中，r=√(a²＋b²)≥0，cosθ＝a/r，sinθ＝b/r。

说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ）的形式，其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角。

1、相关信息

复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系，这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)。

由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的。

由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。

2、复数三角形式的运算法则

引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。

复数的乘法

设:

Z1=r1(cosθ1+isinθ1)

Z2=r2(cosO2+isinθ2)

则:

Z1Zz=[r1(cosθ1+isinO1)].[r2(cosO2+isinO2)]

=r1r2(cosθqcosθ2-sinθ1sinθ2)+ir1r2(sinθ1cosθ2+cosθ:sinθ2)

=r1r2[cos(日1+日2)+isin(θ1+θ2)]

这说明，两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加，这个运算在几何上可以用下面的方法进行:将:向量Z1的模扩大为原来的r2倍,然后再将它绕原点逆时针旋转角日2,就得到Z1Z2.

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#狐成忠# 将复数z=√3 - i表示三角形式 -
(19524484762)： z=√3-i=2(√3/2-i/2)=2[cos(-30°)+isin(-30°)].

#狐成忠# 将复数 - 1+2i写成三角表示式 -
(19524484762)： 解:z=-1+2i z的模是r=√[(-1)²+2²]=√5 因为z在第二象限,所以辐角是 θ=π+arctan(2/(-1))=π-arctan2 ∴三角形式为 z=r(cosθ+isinθ)=√5[cos(π-arctan2)+isin(π-arctan2)]

#狐成忠# 将下列复数表示为三角形式z=cos45°+isin30° -
(19524484762)： z=√2/2+i1/2 =√3/2*e^(iarctan√2/2)

#狐成忠# 复数z=1 - cosA sinA的三角表示 - 作业帮
(19524484762)：[答案] z=1-cosA+isinA =2sin²(A/2)+2isin(A/2)cos(A/2) =2sin(A/2)[sin(A/2)+icos(A/2)] sin(A/2)≥0时, z=2sin(A/2)[cos(π/2-A/2)+isin(π/2-A/2)] sin(A/2)

#狐成忠# 利用复数的三角表示求解方程z的立方等于8 - 作业帮
(19524484762)：[答案] ∵8=8(cos0+isin0) ∴z=8^(1/3)=2[cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3)] 当k=0时,z1=2 当k=1时,z2=2(-1/2+i√3/2)=-1+i√3 当k=2时,z3=2(-1/2-i√3/2)=-1-i√3

#狐成忠# 将下列复数化为三角表示式和指数表示式 -
(19524484762)： 2i=2*(cos 90度 + i*sin 90度) -3=3*(cos 180度 + i*sin 180度) -4+4i=4*(cos 135度 + i*sin 135度) 后面两题待补充

#狐成忠# 复数2i/i - 1的三角表示式 - 作业帮
(19524484762)：[答案] 2i/(i-1)=2i*(i+1)/[(i-1)(i+1)]=2(-1+i)/(-2)=1-i=√2*[cos(-π/4)+i*sin(-π/4)] .

#狐成忠# 下列复数是不是复数的三角形式1.1/2(cos(pi/4) - i sin(pi/4)) 2. - 1/2(cos(pi/3)+i sin(pi/3)) -
(19524484762)： 1是;2不是,幅值没有负的;3不是,sin只能在虚部,cos只能在实部;4不是,括号有误,这样只是一个无意义的三角函数.

#狐成忠# ＂任何复数都可以用三角表示＂正确吗 为什么? -
(19524484762)： “任何复数都可以用三角表示”为什么错了?

#狐成忠# 等号上面有一个三角形在数学中是什么意思? -
(19524484762)： 等号上面有一个三角形在数学中表示为为:“记作”、“定义为”、“等价于”. 数学中的常用关系符号: 1、“=”是等号,表示等于 2、“≈”是近似符号,表示约等于 3、“≠”是不等号,表示不等于 4、“>”是大于符号,“<”是小于符...