钝角三角函数怎样算？ 钝角的三角函数值怎么算?
www.zhiqu.org 时间： 2024-06-16
几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小.三角函数的本质就是用线段长度之比来表示角的大小，从而将两个基本量联系在一起，使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题.三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具.
1． 角函数的计算和证明问题
在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：
（1）三角函数的单调性 当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga随a的值增大而减小；当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.
注意到sin45°=cos45°=,由(1)可知,当时0＜a＜45°时,cosa＞sina;当45°＜a＜90°时,cosa＜sina.
(2)三角函数的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出）.
例1（1986年全国初中数学竞赛备用题）在△ABC中，如果等式sinA+cosA=成立，那么角A是（ ）
（A）锐角 （B）钝角 （C）直角
分析 对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论.
解当A=90°时，sinA和cosA=1；
当45°＜A＜90°时sinA＞，cosA＞0，
∴sinA+cosA＞
当A=45°时，sinA+cosA=
当0＜A＜45°时，sinA＞0,cosA＞
∴sinA+cosA＞
∵1, 都大于.
∴淘汰（A）、（C），选（B）.
例2（1982年上海初中数学竞赛题）ctg67°30′的值是（ ）
（A）-1 （B）2- （C）-1
（D） （E）
分析 构造一个有一锐角恰为67°30′的Rt△，再用余切定义求之.
解 如图36-1，作等腰Rt△ABC，设∠B=90°，AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC，则AD=AC=，∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.这时，
ctg67°30′=ctg∠DCB=
∴选(A).
例3(1990年南昌市初中数学竞赛题)如图,在△ABC中,∠A所对的BC边的边长等于a,旁切圆⊙O的半径为R,且分别切BC及AB、AC的延长线于D，E，F.求证:
R≤a·
证明 作△ABC的内切圆O′,分别切三边于G,H,K.由对称性知GE=KF(如图36-2).设GB=a，BE=x，KC=y,CF=b.则
x+a=y+b, ①
且BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是,
x-a=y-b. ②
①+②得,x=y.从而知a=b.
∴GE=BC=a.
设⊙O′半径为r.显然R+r≤OO′ (当AB=AC)时取等号.
作O′M⊥EO于M,则O′M=GE=a,∠OO′M=
∴R+r≤
两式相加即得R≤.
例4（1985年武汉等四市初中联赛题）凸4n+2边形A1A2A3…A4n+2（n为自然数）各内角都是30°的整数倍，已知关于x的方程：
x2+2xsinA1+sinA2=0 ①
x2+2xsinA2+sinA3=0 ②
x2+2xsinA3+sinA1=0 ③
都有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数.
解∵各内角只能是、、、，
∴正弦值只能取
当sinA1=时，∵sinA2≥sinA3≥
∴方程①的判别式
△1=4（sin2A1-sinA2）≤440
方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1≠.
当sinA1=时，sinA2≥，sinA3≥，
∴方程①的判别式
△1=4（sin2A1-sinA2）=0.
方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1=.
综上所述，可知sinA1=1，A1=.
同理，A2=A3=.
这样其余4n-1个内角之和为这些角均不大于
又n为自然数，∴n=1,凸n边形为6边形,且
A4+A5+A6=4×
2.解三角形和三角法
定理
推论设 a、b、c、S与a′、b′、c′、S′.若
我们在正、余弦定理之前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由.
（1） 解三角形
例5（第37届美国中学生数学竞赛题）在图36-3中，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α,△CDE和△ABE的面积之比是( ).
(A)cosα(B)sinα(C)cos2α(D)sin2α(E)1-sinα
解 如图，因为AB∥DC,AD=CB,且△CDE∽△ABE,BE=AE,因此连结AD，因为AB是直径，所以∠ADB=在直角三角形ADE中，DE=AEcosα.
∴应选(C).
例6 (1982年上海初中数学竞赛题)如图36-4,已知Rt△斜边AB=c, ∠A=α,求内接正方形的边长.
解 过C作AB的垂线CH，分别与GF、AB交于P、H，则由题意可得
又∵△ABC∽△GFC，∴，即
（2） 三角法.利用三角知识（包括下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法.其特点是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，通过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，从而减少几何计算和证明中技巧性很强的作辅助线的困难.
例7（1986年全国初中数学竞赛征集题）如图36-5，在△ABC中，BE、CF是高，∠A=，则△AFE和四边形FBCE的面积之比是（ ）
（A） 1∶2（B）2∶3（C）1∶1（D）3∶4
解 由BE、CF是高知F、B、C、E四点共圆，得AF·AB=AE·AC.
在Rt△ABE中，∠ABE=，
∴S△AFE∶SFBCE=1∶1.应选(C).
例8 (1981年上海中学生数学竞赛题)在△ABC中∠C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB＞2h.
证明 如图36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB) ①
∵∠C是钝角,∴∠A+∠B＜,∴ctgB＞ctg(-A)=tgA.②
由①、②和代数基本不等式，得
例9 （第18届国际数学竞赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16cm.试确定另一条对角线的所有可能的长度.
解 如图36-7，设四边形ABCD面积S为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z.则x+y+z=16(cm)由但S=32，∴sinθ=1,sin =1,且x-8=0.故θ==且x=8,y+z=8.这时易知另一条对角线BD的长为此处无图
例10 (1964年福建中学数学竞赛题)设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，整数n≥3,求证:an+bn＜cn.
分析 如图34-8,注意到Rt△ABC的边角关系:a=csinα＞0,b=ccosα＞0,可将不等式转化为三角不等式sinnα+cosnα＜1来讨论.
答案补充 利用三角函数的诱导公式
sin(180-α）=sinα
钝角都可以表示为180-α，α属于（0，90）转化为锐角三角函数，就求出来了。
比如求sin150,则等于sin(180-30)=sin30=0.5
怎样计算钝角三角形的三角函数？~
#曹傅咏# 钝角三角函数怎样算? -
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(13111594162)：[答案] A是钝角,tanA=-tan(180-A)就是作一条高,出现一个包括A的补角的直角三角形,对边正,临边负 A是直角,tanA不存在
#曹傅咏# 钝角的正弦、余弦、正切怎么算? -
(13111594162)： 几年级? 如图 初始是三角形三角函数关系:sinA=a/c 、tanA=a/b等等 高中,周角,是以直角坐标系原点为顶点,红色的a角,三边x、y、r.和三角形a、b、c一样,值为正 对于蓝色的b角,类推,三边还是x、y、r,但这个时候x、y是坐标,有正负 从这个直角坐标系,看出,sin /cos值域(丨x丨=r或丨y丨=r时最大或最小),tan、ctan的定义域(x或y不为0)、值域
#曹傅咏# 钝角的三角函数怎么求的 是哪条边比上哪条边得来的我对扩充到任意角不是很清楚 锐角可以在直角三角形通过边比求得 那么钝角不可以在直角三角形通过边... - 作业帮
(13111594162)：[答案] 钝角的还不是一样的,其实任意角并不是放在三角形中,而是放在坐标系中来比的.问下LZ是高中还是初中?应该还是初中的吧.钝角三角形钝角的函数值是那个钝角的补角的三角函数值 再添加符号.放在坐标系中就好比较了,详情参考高一下 第一课.
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(13111594162)：[答案] sin90°=1,cos90°=0,tan90°不存在,cot90°=0;sin0°=0,cos0°=1,tan0°=0,cot0°不存在;钝角的三角函数值跟它的补角的三角函数值有关,钝角的正弦等于它的补角的正弦,余弦、正切和余切分别等于它的余角的余弦、正...
#曹傅咏# 钝角的三角函数怎么求?比如说5/6π. -
(13111594162)： 不能单纯看成锐角 如果求正弦可以看成30度 余弦看成30度后要去负号 如果你是初中的,不必学那么复杂 高中会把三角函数推广到任意角 用单位圆解
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(13111594162)： sin90°=1,cos90°=0,tan90°不存在,cot90°=0;sin0°=0,cos0°=1,tan0°=0,cot0°不存在;钝角的三角函数值跟它的补角的三角函数值有关,钝角的正弦等于它的补角的正弦,余弦、正切和余切分别等于它的余角的余弦、正切和余切的相反数,以120°为例:sin120°=sin60°=√3/2,cos120°=-cos60°=-1/2,tan120°=-tan60°=-√3,cot120°=-cot60°=-√3/3.
#曹傅咏# 高中钝角三角函数知识点清单&钝角三角函数推导过程(从锐角三角函数推导) - 作业帮
(13111594162)：[答案] 例如角B是钝角,那么(B-90)就是锐角,那么sinB=sin(B-90+90)此时把(B-90)看成一个整体,那么由锐角(假设锐角是A)三角函数知道:sin(A+90)=cos(A).由此我们可以得到sinB=sin(B-90+90)=cos(B-90)不知道这是...
#曹傅咏# 对于钝角α,定义它的三角函数值如下:sinα=sin(180° - α),cosα= - cos(180° - α)(1)求sin120°,cos120°,sin150°的值;(2)若一个三角形的三个内角的比是1:1:4,... - 作业帮
(13111594162)：[答案] (1)由题意得, sin120°=sin(180°-120°)=sin60°=32, cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°=-12, sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=12; (2)∵三角形的三个内角的比是1:1:4, ∴三个内角分别为30°,30°,120°, ①当∠A=30°,∠B=120°时,方程的两根为12,-12...
#曹傅咏# 钝角三角形面积公式 用三角函数表示.我们知道,锐角三角形面积公式用三角函数的方法求是:1/2ab*sin∠c;1/2ac*sin∠b;1/2bc*sin∠a.那在钝角三角形中,... - 作业帮
(13111594162)：[答案] 一样的还是这公式——,你想多了吧sin∠b=sin∠(180-b)
1． 角函数的计算和证明问题
在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：
（1）三角函数的单调性 当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga随a的值增大而减小；当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.
注意到sin45°=cos45°=,由(1)可知,当时0＜a＜45°时,cosa＞sina;当45°＜a＜90°时,cosa＜sina.
(2)三角函数的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出）.
例1（1986年全国初中数学竞赛备用题）在△ABC中，如果等式sinA+cosA=成立，那么角A是（ ）
（A）锐角 （B）钝角 （C）直角
分析 对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论.
解当A=90°时，sinA和cosA=1；
当45°＜A＜90°时sinA＞，cosA＞0，
∴sinA+cosA＞
当A=45°时，sinA+cosA=
当0＜A＜45°时，sinA＞0,cosA＞
∴sinA+cosA＞
∵1, 都大于.
∴淘汰（A）、（C），选（B）.
例2（1982年上海初中数学竞赛题）ctg67°30′的值是（ ）
（A）-1 （B）2- （C）-1
（D） （E）
分析 构造一个有一锐角恰为67°30′的Rt△，再用余切定义求之.
解 如图36-1，作等腰Rt△ABC，设∠B=90°，AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC，则AD=AC=，∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.这时，
ctg67°30′=ctg∠DCB=
∴选(A).
例3(1990年南昌市初中数学竞赛题)如图,在△ABC中,∠A所对的BC边的边长等于a,旁切圆⊙O的半径为R,且分别切BC及AB、AC的延长线于D，E，F.求证:
R≤a·
证明 作△ABC的内切圆O′,分别切三边于G,H,K.由对称性知GE=KF(如图36-2).设GB=a，BE=x，KC=y,CF=b.则
x+a=y+b, ①
且BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是,
x-a=y-b. ②
①+②得,x=y.从而知a=b.
∴GE=BC=a.
设⊙O′半径为r.显然R+r≤OO′ (当AB=AC)时取等号.
作O′M⊥EO于M,则O′M=GE=a,∠OO′M=
∴R+r≤
两式相加即得R≤.
例4（1985年武汉等四市初中联赛题）凸4n+2边形A1A2A3…A4n+2（n为自然数）各内角都是30°的整数倍，已知关于x的方程：
x2+2xsinA1+sinA2=0 ①
x2+2xsinA2+sinA3=0 ②
x2+2xsinA3+sinA1=0 ③
都有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数.
解∵各内角只能是、、、，
∴正弦值只能取
当sinA1=时，∵sinA2≥sinA3≥
∴方程①的判别式
△1=4（sin2A1-sinA2）≤440
方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1≠.
当sinA1=时，sinA2≥，sinA3≥，
∴方程①的判别式
△1=4（sin2A1-sinA2）=0.
方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1=.
综上所述，可知sinA1=1，A1=.
同理，A2=A3=.
这样其余4n-1个内角之和为这些角均不大于
又n为自然数，∴n=1,凸n边形为6边形,且
A4+A5+A6=4×
2.解三角形和三角法
定理
推论设 a、b、c、S与a′、b′、c′、S′.若
我们在正、余弦定理之前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由.
（1） 解三角形
例5（第37届美国中学生数学竞赛题）在图36-3中，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α,△CDE和△ABE的面积之比是( ).
(A)cosα(B)sinα(C)cos2α(D)sin2α(E)1-sinα
解 如图，因为AB∥DC,AD=CB,且△CDE∽△ABE,BE=AE,因此连结AD，因为AB是直径，所以∠ADB=在直角三角形ADE中，DE=AEcosα.
∴应选(C).
例6 (1982年上海初中数学竞赛题)如图36-4,已知Rt△斜边AB=c, ∠A=α,求内接正方形的边长.
解 过C作AB的垂线CH，分别与GF、AB交于P、H，则由题意可得
又∵△ABC∽△GFC，∴，即
（2） 三角法.利用三角知识（包括下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法.其特点是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，通过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，从而减少几何计算和证明中技巧性很强的作辅助线的困难.
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（A） 1∶2（B）2∶3（C）1∶1（D）3∶4
解 由BE、CF是高知F、B、C、E四点共圆，得AF·AB=AE·AC.
在Rt△ABE中，∠ABE=，
∴S△AFE∶SFBCE=1∶1.应选(C).
例8 (1981年上海中学生数学竞赛题)在△ABC中∠C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB＞2h.
证明 如图36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB) ①
∵∠C是钝角,∴∠A+∠B＜,∴ctgB＞ctg(-A)=tgA.②
由①、②和代数基本不等式，得
例9 （第18届国际数学竞赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16cm.试确定另一条对角线的所有可能的长度.
解 如图36-7，设四边形ABCD面积S为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z.则x+y+z=16(cm)由但S=32，∴sinθ=1,sin =1,且x-8=0.故θ==且x=8,y+z=8.这时易知另一条对角线BD的长为此处无图
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分析 如图34-8,注意到Rt△ABC的边角关系:a=csinα＞0,b=ccosα＞0,可将不等式转化为三角不等式sinnα+cosnα＜1来讨论.
答案补充 利用三角函数的诱导公式
sin(180-α）=sinα
钝角都可以表示为180-α，α属于（0，90）转化为锐角三角函数，就求出来了。
比如求sin150,则等于sin(180-30)=sin30=0.5
怎样计算钝角三角形的三角函数？~
钝角三角形有一个钝角和两个锐角，令其钝角为α。
sinα = sin(180°-α)
cosα=-cos(180°-α)
tanα=-tan(180°-α)
cotα=-cot(180°-α)
secα=-sec(180°-α)
cscα=csc(180°-α)
钝角三角形的两条高在钝角三角形的外部，另一条在三角形内部。钝角三角形中，两个锐角度数之和小于钝角度数。
扩展资料：
在三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。对∠BAC而言，对边a=BC、斜边c=AB、邻边b=AC。
对于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度θ和任何整数k。
周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180°。
参考资料来源：百度百科--钝角三角形
参考资料来源：百度百科--三角函数
用余角公式或补角公式化成锐角的三角函数：
a为钝角：则π-a,或a-π/2都为锐角。
sin(a)=sin(π-a)
cos(a)=-cos(π-a)
sin(a)=cos(a-π/2)
cos(a)=-sin(a-π/2)
#曹傅咏# 钝角三角函数怎样算? -
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(13111594162)： sin90°=1,cos90°=0,tan90°不存在,cot90°=0;sin0°=0,cos0°=1,tan0°=0,cot0°不存在;钝角的三角函数值跟它的补角的三角函数值有关,钝角的正弦等于它的补角的正弦,余弦、正切和余切分别等于它的余角的余弦、正切和余切的相反数,以120°为例:sin120°=sin60°=√3/2,cos120°=-cos60°=-1/2,tan120°=-tan60°=-√3,cot120°=-cot60°=-√3/3.
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(13111594162)：[答案] (1)由题意得, sin120°=sin(180°-120°)=sin60°=32, cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°=-12, sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=12; (2)∵三角形的三个内角的比是1:1:4, ∴三个内角分别为30°,30°,120°, ①当∠A=30°,∠B=120°时,方程的两根为12,-12...
#曹傅咏# 钝角三角形面积公式 用三角函数表示.我们知道,锐角三角形面积公式用三角函数的方法求是:1/2ab*sin∠c;1/2ac*sin∠b;1/2bc*sin∠a.那在钝角三角形中,... - 作业帮
(13111594162)：[答案] 一样的还是这公式——,你想多了吧sin∠b=sin∠(180-b)
