无穷小的运算（包括阶运算等）与等价无穷小
www.zhiqu.org 时间： 2024-06-15
一、探索无穷小的定义与核心</
在函数世界里，当函数f(x)在某个变化过程中的极限趋近于零，我们就称f(x)为这个过程中的无穷小。特别地，当f(x) - 0的极限等于零时，零作为无穷小的基准显得尤为重要。
在本文中，所有变化过程皆由同一符号表示，让我们更深入地理解无穷小的内在规律。
二、无穷小的阶与等价概念</
当我们探讨 和g(x)的比较时：
- 如果lim (x->a) [f(x)/g(x)] = ∞，那么f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记作f(x) ≫ g(x)，意味着f(x)收敛速度更快。
- 相反，如果lim (x->a) [f(x)/g(x)] = 0，则f(x)是g(x)的低阶无穷小。
- 若lim (x->a) [f(x)/g(x)] = 1，两者在收敛速度上是同阶的，若f(x) ≈ g(x)，则我们称f(x)与g(x)为等价无穷小，表示它们在变化过程的最终阶段收敛一致。
通常，我们用o(g(x))来表示f(x)关于g(x)的阶无穷小，这确保了在特定条件下f(x)的消失速度。
三、无穷小的阶运算法则</
- 加减运算：当f(x) ≈ h(x)且g(x) ≈ k(x)时，f(x) ± g(x) ≈ f(x) ± h(x)。这是因为无穷小的加减运算遵循基本的极限性质。
- 乘法法则：对于f(x) ≈ g(x)，我们有f(x)g(x) ≈ f(x)g(x)，这是由于乘积的极限等于极限的乘积。
- 阶的复合：设f(x) = o(g(x))，那么f(x)² = o(g(x)²)，如f(x) = o(x²)的例子所示，即使具体计算时需通过具体函数形式判断。
四、等价无穷小的性质与替换法则的实战运用</
等价无穷小具有如下特性：
- 自反性：f(x) ≈ f(x)，这是显然的。
- 对称性：如果f(x) ≈ g(x)，则g(x) ≈ f(x)。
- 传递性：若f(x) ≈ g(x)且g(x) ≈ h(x)，则f(x) ≈ h(x)，确保了等价性的连续性。
- 替换法则：在泰勒展开中，如f(x) ≈ g(x) → lim (x->a) f(x) = lim (x->a) g(x)，这一法则为求极限提供了有力工具。例如，遇到f(x) ≈ x的情况，我们可以轻松替换为f(x) = x，简化极限计算。
~
#邬爬妮# 等价无穷小量,同阶无穷小量和等价无穷小量的定义? - 作业帮
(15167143582)：[答案] 在自变量的同一变化过程中,f(x)->0,g(x)->0,且limf(x)/g(x)=k如果k=0,则称f(x)是比g(x)高价的无穷小;如果k不=o,则称f(x)比g(x)为同阶的无穷小;特别地,k=1时,称f(x)与g(x)为等价无穷小,记作f(X)~g(X);如...
#邬爬妮# 请问,高数中,等价无穷小和同阶无穷小 具体的区别在哪里?书上的概念都不要重复了.我的意思是,同阶无穷小是一个不为零不为1的常数,等价无穷小... - 作业帮
(15167143582)：[答案] 同阶无穷小的比值为一个不为零的常数,等价无穷小的比值为1 简单的说,因为等价无穷小的比值为1,因此在计算极限时可以相互替换,比如x趋于0时,x,sinx,tanx这些可以在乘除运算中直接换掉,但是如果仅仅同阶而不等价,你是...
#邬爬妮# 常见的等价无穷小有哪些 -
(15167143582)： 常见的等价无穷小有:sinx~x;tanx~x;arctanx~x;ln(1+x)~x;arcsinx~x;eˣ-1~x;aˣ-1~xlna(a>0,a≠1). 等价无穷小是无穷小之间的一种关系,指的是:在同一自变量的趋向过程中,若两个无穷小之比的极限为1,则称这两个无穷小是等价的.无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的. 扩展资料: 求极限时,使用等价无穷小的条件: 1、被代换的量,在取极限的时候极限值为0; 2、被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以. 等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法,它可以使求极限问题化繁为简,化难为易.
#邬爬妮# 微积分 - 无穷小是几阶无穷小的题 -
(15167143582)： 第一题照你那个答案 问题应该是问是x的几阶无穷小 也就是x趋于0正时 2(x^1/2)+x+x^2与x的多少次幂的比值是个常数 第二题同理 用等价无穷小代换一下 tan2x-2x sin3x-3x 所以是x的2阶无穷小
#邬爬妮# 怎么看是几阶无穷小? -
(15167143582)： 设这个函数是f(x),则计算极限lim(x->0) f(x)/x^n,如果当n=p-1时,极限值=0.当n=p时,极限值=常数,则可以判断,f(x)是x^p的同阶无穷小,当这个常数=1时,f(x)是x^p的等价无穷小.根据常数所对应的阶数就可以看出是几阶无穷小. 无穷小量...
#邬爬妮# x→0下列函数哪些是X的高阶无穷小,哪些是同阶无穷小,并指出其中哪些又是等价无穷小 求详解x→0,下列函数哪些是X的高阶无穷小,哪些是同阶无穷... - 作业帮
(15167143582)：[答案] x→0 (1)lim(3x+2x^20/x=lim(3+2x)=3 是同阶但不等价 (2)lim[(1/2)x+(1/2)sinx]=(1/2)lim[1+(sinx)/x]=1 是等价 (3)lim[ln(1+x)]/x=ln[lim(1+x)^(1/x)]=lne=1是等价
#邬爬妮# 高数:等价无穷小的运算性质请问谁知道等价无穷小的运算性质是怎样的?比如两个等价无穷小相加,相减,相乘,相除是怎么算的?还有没有其他性质?... - 作业帮
(15167143582)：[答案] 有限个无穷小相加、相减、相乘还是无穷小 无穷小与有界函数的乘积还是无穷小 无穷小除以一个极限非零的函数还是无穷小 乘积的某个因子可以换成等价无穷小,和式中的某一部分不能替换 例如:x→0,tanx-sinx中的tanx和sinx都不能换成x,但是化简...
#邬爬妮# 什么时候可以用等价无穷小?只要是乘除之中就可以用吗? - 作业帮
(15167143582)：[答案] 等价无穷小代换不能随便乱用,一般来说,如果该项是参与乘法或者除法运算的话就可以用,例如 lim[x->0,ln(1+x)/sinx] 这时ln(1+x)是x的等价无穷小,sinx是x的等价无穷小,所以都可以换过来 lim[x->0,ln(1+x)/sinx]=lim[x->0,x/x]=1. 如果是参加加法减法...
