请用函数单调性的数学定义说明函数f(x)=sinx的单调性 今天面试，用函数单调性的定义证明y=sinx-x（0<x<π...

函数单调性定义：若f(x)定义域是(a,b),若对于任意的x1,x2,a<x1<x2<b,恒有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),则说这个函数在定义域内是单调递增(单调递减)的。

设-π/2=<x1<x2<=π/2
则f(x2)-f(x1)
=sinx2-sinx1
差化积
=2sin((x2-x1)/2)cos((x2-x1)/2)
因为x2>x1,所以x2-x1>0,sin((x2-x1)/2)>0
因为-π/2=<x1<x2<=π/2，所以-π/2=<(x2-x1)/2<=π/2
所以cos((x2-x1)/2)>0
于是有f(x2)-f(x1)>0
f(x2)>f(x1)在区间[-π/2,π/2]恒成立
所以函数f(x)=sinx在区间[-π/2,π/2]上是增函数

同理可证，f(x)=sinx在区间[π/2,3π/2]上是减函数
因为f(x)=sinx具有周期性
所以f(x)的单调增区间是[2kπ-π/2,2kπ+π/2]
单调减区间是[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]

这个貌似我初中最拿手的东东，现在忘干净了
-π／2≤x≤π／2时 f（x）＝〔-1，1〕 单调递增
π／2<x<π3／2时 f（x）＝（1，-1） 单调递减

π3／2-（-π／2）＝2π
sin(x)的周期是2π

因此f（x）在所有半闭区间〔n·2π-π／2，n·2π+π／2〕上单调递增。
f（x）在所有半开区间（n·2π+π／2，n·2π+π3／2）上单调递减。

n＝任意整数

“函数单调性定义：若f(x)定义域是(a,b),若对于任意的x1,x2,a<x1<x2<b,恒有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),则说这个函数在定义域内是单调递增(单调递减)的。

设-π/2=<x1<x2<=π/2
则f(x2)-f(x1)
=sinx2-sinx1
差化积
=2sin((x2-x1)/2)cos((x2-x1)/2)
因为x2>x1,所以x2-x1>0,sin((x2-x1)/2)>0
因为-π/2=<x1<x2<=π/2，所以-π/2=<(x2-x1)/2<=π/2
所以cos((x2-x1)/2)>0
于是有f(x2)-f(x1)>0
f(x2)>f(x1)在区间[-π/2,π/2]恒成立
所以函数f(x)=sinx在区间[-π/2,π/2]上是增函数”

请问在上述证明中：因为x2>x1,所以x2-x1>0,sin((x2-x1)/2)>0
怎么说明？

函数f(x)=sinx–x在定义域内的单调性~

解答过程如下：
定义域：(-∞，+∞)
f'(x)=cosx-1
∵ cosx在 (-∞，∞)上有cosx≤1
∴f'(x)=cosx-1≤0
∴ f(x)=sinx–x在(-∞，+∞)上单调递减。

确实！
面试老师太土了。
但是，面试这种东西，来不得翻后账的，所以，有时候需要在面试过程中耍些小聪明的。

吃一堑长一智，没必要斤斤计较了.....

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#濮典魏# 关于用定义证明函数的单调性的问题 -
(17633375118)： 你直接就说根号x2-根号x1大于0,就是利用了f(x)=根号x在定义域上是增函数的结论得到的.所以有循环论证的嫌疑.最好再分子有理化得到x1-x2/根号x1+根号x2再判断根号x2-根号x1大于0

#濮典魏# 利用函数的单调性定义证明函数f(x)=x/(x - 1) -
(17633375118)： f(x)=x/(x-1) x1 x2∈(2,4) x1f(x1)-f(x2)=x1/(x1-1)-x2/(x2-1)=[x1x2-x1-x1x2+x2]/(x1-1)(x2-1)=(x2-x1)/(x1-1)(x2-1) x1-1>0 x2-1>0 x2-x1>0 f(x1)-f(x2)>0 f(x1)>f(x2) ∴是单调递减函数 f(x)=x/(x-1)>0 f(x)=(x-1+1)/(x-1)=1+1/(x-1) x-1∈(1,3) f(x)∈(4/3,2) 满意请采纳.

#濮典魏# 用函数单调性的定义,证明f(x)=√x在其定义域上为增函数 -
(17633375118)： f(x)=√x的定义域是x≥0设0≤x1<x2∴√x1<√x2则f(x1)-f(x2)=√x1-√x2<0即f(x1)<f(x2)∴f(x)=√x在其定义域上为增函数!如果我的答案能够给您一些帮助,希望不要吝啬送上一个“好评”!

#濮典魏# 高1数学,根据单调函数的定义,判断并证明函数f(x)=√x的单调性 -
(17633375118)： 1.设x1,x2属于R,设x1>x2 f(x1)-f(x2)=√x1-√x2=分子有理化=(√x1-√x2)*(√x1+√x2)/(√x1+√x2)=(x1-x2)/(√x1+√x2) 因为√x1+√x2>0,x1>x2 所以f(x1)-f(x2)>0 所以f(x1)>f(x2) 所以函数单调递增2.01/4 a a>0时是nick函数,当且仅当ax=1/x,即x=1/√a和x=-1/√a时去到最大最小值,由于题目里有x>-2这个条件,因此要判断-1/√a是否在定义域中.所以要分两类讨论 大概这样吧

#濮典魏# 高手帮我用复合函数解释单调性的概念解释一下三角函数单调性问题 -
(17633375118)： 首先,sin、cos的图像是由单位圆得来的,那里面的复合无论增减都用“诱导公式”来解决.不能用公式的可以做图像变换 有两种方法就是 先/后平移;先/后伸缩.U=ωx+φ——先平移;U=ω(x+φ/ω)—先伸缩.原因就是先平移之后,图与Y轴交点...

#濮典魏# 研究函数f(x)=sinx+2/sinx的单调区间 -
(17633375118)： 这是一个复合函数 首先 a=sinx的范围是[-1,0)U(0,1] f(a)=a+2/a 的一个极值点是 正负根号2(耐克函数的性质) 而a达不到这个范围... 并且f(a)在a属于[-1,0)和(0,1]递减(注意不要写并号) 并且sinx在[2kπ-π/2,2kπ+π/2]递增;[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]递减 所以f(x)在[2kπ-π/2,2kπ),(2kπ,2kπ+π/2]递减;[2kπ+π/2,2kπ),(2kπ,2kπ+3π/2]递增 不懂请追问 k属于整数

#濮典魏# 用函数单调性的定义证明:函数f(x)= 在( - ∞,0)上是减函数. - 作业帮
(17633375118)：[答案] 答案: 解析: 证明:任取x10,且x2-x1>0, 所以f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2). 故函数f(x)=在(-∞,0)上是减函数.

#濮典魏# 证明减函数用函数单调性定义证明F(x)=2x/(x - 1)在(0,
(17633375118)： 设00,x1-10 f(x1)>f(x2) F(x)=2x/(x-1)在(0,1)上为减函数

#濮典魏# 用定义法证明下列函数的单调性 -
(17633375118)： 用定义法证明函数f(x)=(x+2)/(x+1)在区间(-∞,-1)为减函数 你的题目比它简单,方法一样,你参照进行 注意第是f(x1)-f(x2)

#濮典魏# 用函数单调性的定义证明函数f(x)=x+(2/x)在区间(0,1)上是减函数. - 作业帮
(17633375118)：[答案] 在区间(0,1)上任取X1,X2 且X10 X1X2>0 所以X1X2(X1-X2)-2(X1-X2)/X1X2>0 则f(X1)>f(X2) 所以函数f(x)=x+(2/x)在区间(0,1)上是减函数.