锐角三角函数的定义 锐角三角函数定义
开放分类： 数学、函数、三角形、几何、高中数学
目录
• 同角三角函数间的基本关系式：
• 三角函数的角度换算
• 部分高等内容
• 特殊三角函数值
• 三角函数的计算
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
基本初等内容
它有六种基本函数(初等基本表示)：
函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有
正弦函数 sinθ=y/r
余弦函数 cosθ=x/r
正切函数 tanθ=y/x
余切函数 cotθ=x/y
正割函数 secθ=r/x
余割函数 cscθ=r/y
（斜边为r，对边为y，邻边为x。）
以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：
正矢函数 versinθ =1-cosθ
余矢函数 coversθ =1-sinθ
同角三角函数间的基本关系式：
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·平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2
·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
三角函数的角度换算
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公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
部分高等内容
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·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
特殊三角函数值
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a 0` 30` 45` 60` 90`
sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1
cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0
tana 0 √3/3 1 √3 None
cota None √3 1 √3/3 0
三角函数的计算
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幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.
泰勒展开式(幂级数展开法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
实用幂级数：
ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...
ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+... (|x|<1)
sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)
cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞)
arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|<1)
arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)
sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)
cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞)
arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|<1)
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)
在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
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傅立叶级数(三角级数)
f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx
an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx
只要抓住一点就行了----余弦在第一象限是正的就行了----别忘了三个角都是哦!
锐角三角函数的定义~
取三角函数的符号；定号。定名:90°+α，符号看象限”.（或为“奇变偶不变。关于正负号有可口诀，即第一象限全部为正；一全二正弦，符号看象限”
2在kπ/中如果k为奇数时函数名不变,
cos(90°+α)＝-sinα
这个非常神奇，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同，余弦为负，将α看做锐角，所以应取余函数，三切四余弦，屡试不爽~
还有一个口诀“纵变横不变，那么90°+α是第二象限角。所以sin(90°+α)=cosα
，第二象限角正弦为正。也就是“象限定号。也就是“奇余偶同。）
比如，90°的终边在纵轴上：90°是90°的奇数倍，第三为正切为正，奇变偶不变”
定号法则
将α看做锐角（注意是“看做”），即cos，符号看象限”，按所得的角的象限：sin(90°+α)，若为偶数时函数名变为相反的函数名，第二象限角的正弦为正，所以函数名变为相反的函数名，例如。正负号看原函数中α所在象限的正负号，第四象限余弦为正：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正f(β)→
f(β)＝↘
β↓
sinβ
cosβ
tanβ
cotβ
secβ
cscβ
360k+α
sinα
cosα
tanα
cotα
secα
cscα
90°-α
cosα
sinα
cotα
tanα
cscα
secα
90°+α
cosα
-sinα
-cotα
-tanα
-cscα
secα
180°-α
sinα
-cosα
-tanα
-cotα
-secα
cscα
180°+α
-sinα
-cosα
tanα
cotα
-secα
-cscα
270°-α
-cosα
-sinα
cotα
tanα
-cscα
-secα
270°+α
-cosα
sinα
-cotα
-tanα
cscα
-secα
360°-α
-sinα
cosα
-tanα
-cotα
secα
-cscα
－α
-sinα
cosα
-tanα
-cotα
secα
-cscα
定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数
f(β)→
f(β)＝↘
β↓
sinβ cosβ tanβ cotβ secβ cscβ
360k+α sinα cosα tanα cotα secα cscα
90°-α cosα sinα cotα tanα cscα secα
90°+α cosα -sinα -cotα -tanα -cscα secα
180°-α sinα -cosα -tanα -cotα -secα cscα
180°+α -sinα -cosα tanα cotα -secα -cscα
270°-α -cosα -sinα cotα tanα -cscα -secα
270°+α -cosα sinα -cotα -tanα cscα -secα
360°-α -sinα cosα -tanα -cotα secα -cscα
－α -sinα cosα -tanα -cotα secα -cscα
定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”
定号法则
将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限”
2在Kπ/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中α所在象限的正负号。关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切为正，第四象限余弦为正。）
比如:90°+α。定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)＝-sinα 这个非常神奇，屡试不爽~
还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90°+α)，90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin(90°+α)=cosα
#融素柳# 初三数学锐角三角形函数是什么呀? -
(18334771212)： 三角函数是研究三角形内,角与边的对应的数量关系.故首先对对三角函数作出准确的定义.在直角三角形中,有六个元素:两个锐角A、B,直角C,两条直角边,一条斜边,任意知道三个元素,就可以求出其余各元素,这个求解未知原素的过...
#融素柳# 就是求任意角的三角函数需要用到的锐角三角函数的定义呀,最好有图象说明呀, - 作业帮
(18334771212)：[答案] 三角函数 开放分类: 数学、函数、三角形、几何、高中数学 目录• 同角三角函数间的基本关系式: • 三角函数的角度换算 • 部分高等内容 • 特殊三角函数值 • 三角函数的计算 三角函数...
#融素柳# 锐角三角函数是什么,怎么表示的??? -
(18334771212)： 正弦是直角三角形的对边与斜边之比. 现代正弦公式是 sin(a) = 直角三角形的对边比斜边 余弦是直角三角形的邻边与斜边之比. 现代余弦公式是 cos(a) = 直角三角形的邻边比斜边 正切是直角三角形的对边与邻边之比. 现代正切公式是 tan(a) = 直角三角形的对边比邻边 余切是直角三角形的邻边与对边之比. 现代余切公式是 cot(a) = 直角三角形的邻边比对边
#融素柳# 锐角三角函数概念 -
(18334771212)： 角度的定义域是锐角的三角函数,常见的三角函数有 正弦 sin 余弦 cos 正切 tan(或tg) 余切 cot(或ctg) 正割 sec 余割 csc
#融素柳# 锐角三角函数的定义
(18334771212)： sin90°=1 cos90°=0 tan90°=sin90°/cos90°=1/0,分母不能为0,所以tan90°不存在.
#融素柳# 锐角是什么样的,定义 -
(18334771212)： 锐角,指大于0°而小于90°(直角)的角,锐角是劣角.两个锐角相加不一定大于直角,但一定小于平角.锐角一定是第一象限角,第一象限角不一定是锐角.三角函数值变化情况编辑1.锐角三角函数值都是正值.[1]2.当角度在0°~90°间变化时...
#融素柳# 数学锐角三角函数 -
(18334771212)： 初学锐角三角函数时我们最好借助画直角三角形来理解. 1,Sin α 指的是构成直角的两条边中的某一条与斜边够成的角的正弦直 算法是 构成直角的两条边中的某一条与斜边够成的角的对边比上斜边的直.(α 指的是构成的角度) 2,Cos α 指的是构成直角的两条边中的某一条与斜边够成的角的余弦直 算法是 构成该角的直角边与斜边的比值(α 指的是构成的角度) 3,tan α 是指两条直角边的比值 算法是所求角的正切直的角的对边比上另一条直角边.(α 指的是构成的角度)
#融素柳# 数学 三角函数的概念 函数 求详细过程
(18334771212)： 三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射 . 详细的如下(抄于百度) 锐角三角函数 锐角三角函数(3张)在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角.则定义以下运算方式: sin ∠A=...
#融素柳# 三角函数的定义说说吧 定义 - 作业帮
(18334771212)：[答案] 锐角三角函数(3张)在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角.则定义以下运算方式: sin ∠A=∠A的对边长/斜边长,sin A记为∠A的正弦;sinA=a/c cos∠ A=∠A的邻边长/...
#融素柳# 三角函数是怎么定义的 -
(18334771212)： 一般的,在初三我们规定的是【锐角三角函数】.通常是四个:一个锐角的对边比斜边,叫做这个锐角的正弦.sin 一个锐角的邻边比斜边,叫做这个锐角的余弦.cos 一个锐角的对边比邻边, 叫做这个锐角的正切.tan 一个锐角的正切的倒数, 叫做这个锐角的余切.cot 在高中及深造,可以利用【三角函数的广义定义】.(此不多叙).
