三角函数诱导公式及推导过程 三角函数的诱导公式和推导过程
所谓三角函数诱导公式,就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数｡
常用的诱导公式
公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinαk∈z
cos(2kπ+α)=cosαk∈z
tan(2kπ+α)=tanαk∈z
cot(2kπ+α)=cotαk∈z
公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
推算公式:3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”｡
“奇､偶”指的是π/2的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切｡(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·(π/2)±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号｡
符号判断口诀:
“一全正;二正弦;三两切;四余弦”｡这十二字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”｡
推导方法用单位圆
1、sin(-a)=-sina
sin(-a)=sin(0-a)=sin0cosa-sinacos0=0-sina=-sina
2、cos(-a)=cosa
cos(-a)=cos(0-a)=cos0cosa+sin0sina=cosa+0=cosa
3、sin(π/2-a)=cosa
sin(π/2-a)=sinπ/2cosa-sinacosπ/2=cosa-0=cosa
4、cos(π/2-a)=sina
5、sin(π/2+a)=cosa
6、cos(π/2+a)=-sina
7、sin(π-a)=sina
8、cos(π-a)=-cosa
9、sin(π+a)=-sina
10、cos(π+a)=-cosa
4~10的推导过程和3一样
三角函数诱导公式的推导过程~
万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)]，（因为cos2(α)+sin2(α)=1）再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]然后用α/2代替α即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式推导tan3α=sin3α/cos3α=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα－sin3(α)]/[cos3(α)－cosαsin2(α)－2sin2(α)cosα]上下同除以cos3(α)，得：tan3α=[3tanα－tan3(α)]/[1-3tan2(α)]sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos2(α)+[1－2sin2(α)]sinα=2sinα－2sin3(α)+sinα－2sin3(α)=3sinα－4sin3(α)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα=[2cos2(α)－1]cosα－2cosαsin2(α)=2cos3(α)－cosα+[2cosα－2cos3(α)]=4cos3(α)－3cosα即sin3α=3sinα－4sin3(α)cos3α=4cos3(α)－3cosα和差化积公式推导首先,我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb同理，若把两式相减，就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2同样的，我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb同理，两式相减我们就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2这样，我们就得到了积化和差的公式：cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
万能公式推导
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式推导
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα
=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)
=3sinα－4sin^3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα
=(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
=2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α))
=4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α=3sinα－4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)－3cosα
和差化积公式推导
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
#萧艺林# 三角函数的诱导公式推理过程是什么啊?
(15726651788)： 也就是“象限定号,符号看象限”(或为“奇变偶不变,符号看象限”)
#萧艺林# 三角函数诱导公式是怎样推导的?主要是sin( “派”/2+a)=cosa,详细一点,麻烦了! -
(15726651788)： 很简单 分象限来想 假如a在第一象限 +90°就去了第二象限而且与x轴组成的角与a互补 所以为cosa
#萧艺林# 函数的三角公式及诱导公式 -
(15726651788)： 诱导公式 sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα sin(α-π)=-sinα cos(α-π)=-cosα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα sin(π/2-α)=cosα cos(...
#萧艺林# 数学三角函数的诱导公式证明过程 -
(15726651788)： 分母化简=2cosa(1-cosa)所以2sinacosa/2cosa(1-cosa)=(1+cosa)/sina
#萧艺林# 如何正确理解三角函数的诱导公式?如何正确理解奇变偶不变,符号看象限? - 作业帮
(15726651788)：[答案] 三角函数诱导公式目录 诱导公式的本质 常用的诱导公式 其他三角函数知识同角三角函数的基本关系式 同角三角函数关系六角形记忆法 两角和差公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式 半角的正弦、余弦和正切公式 万能公式 三倍角的正弦、余弦和正切...
#萧艺林# 三角函数的诱导公式怎么用? 详细一点,本人比较笨, -
(15726651788)： 常用的诱导公式 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π...
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(15726651788)： 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(π2-a)=cos(a) cos(π2-a)=sin(a) sin(π2+a)=cos(a) cos(π2+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+...
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(15726651788)： 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)...
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(15726651788)： 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)...
#萧艺林# 三角函数的诱导公式是什么
(15726651788)： 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)...
