xe^-y+ye^-y对y求不定积分 求y/e^y的不定积分~

本题的积分方法是运用：

A、凑微分法；

B、分部积分法。

具体解答如下，若有疑问，请及时追问，有问必答。

若满意，请采纳。谢谢。

 

这种题看来是某种“积分锁”，需要一些钥匙。

我们来研究下这钥匙的功能。

为了防止读者觉得无聊，再举一个“MMA”"WA"解不出来的积分：
习题：求 [公式]
很神似，结果也类似，答案最后揭晓。
先来看题主原题， [公式]

核心的一步： [公式]

依分母提取元素， [公式]

分子换微分， [公式]

归位： [公式]

其中 [公式] 。

锁在于，原本在分子分母均应出现的指数项合并于分母。

所以我们不妨称其为指数锁。

我们取元素 [公式]

分子应有 [公式]

分母表现为 [公式]

只额外带一个常数项是为了合并更彻底

化为标准式： [公式]

其本质为 [公式]

按切比雪夫判别法，m,n为整数时均有初等函数表示。

我们令 [公式]

其中 [公式]

[公式]

[公式]

然后就可以积出来了~

指数锁的多样性（笑~

1.多项式

例题1 [公式]

2.指数

例题2 [公式]

3.三角函数

例题3 [公式]

4.对数

例题4 [公式]

5.特殊函数

例题5 [公式]

不定积分

【1】不定积分的定义
【2】求积分（一二类换元法）
【3】求积分（分部积分法）
【4】求积分（有理函数的积分）
定积分

【1】定积分的定义和性质
【2】积分上限函数
【3】求定积分（牛莱公式、换元法、分部积分法）
【4】定积分的应用：求面积/求体积
【5】广义积分和比较判定定理（判断敛散性）
【6】瑕积分
1. 不定积分
1.1 不定积分的定义
所谓积分就是求导函数的反操作。说白了已知导函数求原函数的过程。

对于一个导函数而言，他的原函数是有无数的。所以，不定积分一定要在原函数的后面加上 常数C
如果从几何上来理解的话：斜率一致的直线有无数的
在这里插入图片描述
之后，我们研究的问题无非就是求积分，因为求积分的难度会比求导数会更难，因此我们需要到很多针对不同题型的特别解决方法。

首先，先看直接就能爆破的：
∫ ( 1 − x ) 2 x x d x = ∫ x 2 − 2 x + 1 x 3 2 d x = ∫ ( x 1 2 − 2 x − 1 2 + x − 3 2 ) d x = 2 3 x 3 2 − 4 x 1 2 − 2 x − 1 2 + C \int\frac{(1-x)^2}{x\sqrt{x}}dx=\int\frac{x^2-2x+1}{x^{\frac{3}{2}}}dx=\int(x^\frac{1}{2}-2x^{-\frac{1}{2}}+x^{-\frac{3}{2}})dx=\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}-4x^{\frac{1}{2}}-2x^{-\frac{1}{2}}+C
∫
x
x
​

(1−x)
2

​
dx=∫
x
2
3
​

x
2
−2x+1
​
dx=∫(x
2
1
​

−2x
−
2
1
​

+x
−
2
3
​

)dx=
3
2
​
x
2
3
​

−4x
2
1
​

−2x
−
2
1
​

+C

技巧：
对于一个假分式（分母的次数更高的）我们尽量拆开处理

例题：
∫ x 4 1 + x 2 d x \int\frac{x^4}{1+x^2}dx
∫
1+x
2

x
4

​
dx

∫ x 4 − 1 + 1 x 2 + 1 d x = ∫ ( x 2 − 1 ) ( x 2 + 1 ) + 1 x 2 + 1 d x = ∫ x 2 − 1 + 1 x 2 + 1 d x = 1 3 x 3 − x + a r c t a n x + C \int\frac{x^4-1+1}{x^2+1}dx=\int\frac{(x^2-1)(x^2+1)+1}{x^2+1}dx=\int x^2-1+\frac{1}{x^2+1}dx=\frac{1}{3}x^3-x+arctanx+C
∫
x
2
+1
x
4
−1+1
​
dx=∫
x
2
+1
(x
2
−1)(x
2
+1)+1
​
dx=∫x
2
−1+
x
2
+1
1
​
dx=
3
1
​
x
3
−x+arctanx+C

1.2 求积分（一二类换元法）
第一类换元法（凑微分法）
我们把 d d d 外面的某项拿到 d d d 里面，然后把 d d d 里面的看成变量。

我们先记住（纠正一个认识）：
∫ 1 x d x = l n ∣ x ∣ + C \int\frac{1}{x}dx=ln|x|+C
∫
x
1
​
dx=ln∣x∣+C

这个非常重要，这个绝对值！！记住！！！

看几道题目的操作：
（1）
∫ c o s 3 x d x = 1 3 ∫ c o s 3 x d ( 3 x ) = s i n 3 x + C \int cos3xdx\\=\frac{1}{3}\int cos3xd(3x)=sin3x+C
∫cos3xdx
=
3
1
​
∫cos3xd(3x)=sin3x+C

（2）
∫ 1 3 x + 2 d x = 1 3 ∫ 1 3 x + 2 d ( 3 x + 2 ) = l n ∣ 3 x + 2 ∣ + C \int\frac{1}{3x+2}dx\\=\frac{1}{3}\int\frac{1}{3x+2}d(3x+2)=ln|3x+2|+C
∫
3x+2
1
​
dx
=
3
1
​
∫
3x+2
1
​
d(3x+2)=ln∣3x+2∣+C

（3）
∫ x 1 − x 2 d x = − 1 3 ( 1 − x 2 ) 3 2 + C \int x\sqrt{1-x^2}dx\\=-\frac{1}{3}(1-x^2)^\frac{3}{2}+C
∫x
1−x
2

​
dx
=−
3
1
​
(1−x
2
)
2
3
​

+C

（4）
∫ x e x 2 d x = 1 2 e x 2 + C \int xe^{x^2}dx\\=\frac{1}{2}e^{x^2}+C
∫xe
x
2

dx
=
2
1
​
e
x
2

+C

（5）
∫ d x x ( 1 + l n x ) d x = l n ∣ l n x + 1 ∣ = C \int\frac{dx}{x(1+lnx)}dx\\=ln|lnx+1|=C
∫
x(1+lnx)
dx
​
dx
=ln∣lnx+1∣=C

（6）
∫ e x 1 − e x d x = − 2 3 ( 1 − e x ) 3 2 + C \int e^x\sqrt{1-e^x}dx\\=-\frac{2}{3}(1-e^x)^\frac{3}{2}+C
∫e
x

1−e
x

​
dx
=−
3
2
​
(1−e
x
)
2
3
​

+C

（7）
∫ t a n 3 x c o s 2 x d x = ∫ t a n 3 x s e c 2 x d x = ∫ t a n 3 x d ( t a n x ) = 1 4 t a n 4 x + C \int\frac{tan^3x}{cos^2x}dx\\=\int tan^3xsec^2xdx=\int tan^3xd(tanx)=\frac{1}{4}tan^4x+C
∫
cos
2
x
tan
3
x
​
dx
=∫tan
3
xsec
2
xdx=∫tan
3
xd(tanx)=
4
1
​
tan
4
x+C

（8）需要记住这种形式：
∫ d x a 2 + x 2 d x = 1 a ∫ d ( x a ) 1 + ( x a ) 2 = 1 a a r c t a n x a + C \int\frac{dx}{a^2+x^2}dx\\=\frac{1}{a}\int\frac{d(\frac{x}{a})}{1+(\frac{x}{a})^2}=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C
∫
a
2
+x
2

dx
​
dx
=
a
1
​
∫
1+(
a
x
​
)
2

d(
a
x
​
)
​
=
a
1
​
arctan
a
x
​
+C

（9）分母下的减法用因式分解，也要记住这个：
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ∫ 1 ( x + a ) ( x − a ) d x = 1 2 a ∫ ( 1 x − a − 1 x + a ) d x = 1 2 a l n ∣ x − a x + a ∣ + C \int\frac{1}{x^2-a^2}dx\\=\int\frac{1}{(x+a)(x-a)}dx=\frac{1}{2a}\int(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C
∫
x
2
−a
2

1
​
dx
=∫
(x+a)(x−a)
1
​
dx=
2a
1
​
∫(
x−a
1
​
−
x+a
1
​
)dx=
2a
1
​
ln∣
x+a
x−a
​
∣+C

d d d 里面的项可以随意加减常数

第二类换元法
真换元（设一个 t ( x ) t(x) t(x)），第二类的换元法主要解决的是根号下的问题。

我们看一下例题的操作：

（1）根号直接替换法：
∫ d x x x − 3 \int\frac{dx}{x\sqrt{x-3}}
∫
x
x−3
​

dx
​

t = 2 x − 3 ， x = t 2 + 3 t=\sqrt{2x-3}，x=t^2+3
t=
2x−3
​
，x=t
2
+3

∫ d ( t 2 + 3 ) ( t 2 + 3 ) t = ∫ 2 t d t ( t 2 + 3 ) t = ∫ 2 d t ( t 2 + 3 ) = 2 3 3 a r c t a n t 3 + C \int \frac{d(t^2+3)}{(t^2+3)t}=\int\frac{2tdt}{(t^2+3)t}=\int\frac{2dt}{(t^2+3)}=\frac{2\sqrt{3}}{3}arctan\frac{t}{\sqrt{3}}+C
∫
(t
2
+3)t
d(t
2
+3)
​
=∫
(t
2
+3)t
2tdt
​
=∫
(t
2
+3)
2dt
​
=
3
2
3
​

​
arctan
3
​

t
​
+C

（2）次数统一换法：
∫ d x x + 3 x \int\frac{dx}{\sqrt{x}+^3\sqrt{x}}
∫
x
​
+
3

x
​

dx
​

t = 6 x , x = t 6 t=^6\sqrt{x},x=t^6
t=
6

x
​
,x=t
6

∫ 6 t 5 d t t 3 + t 2 = 6 ∫ t 3 d t t + 1 = 6 ∫ t 3 − 1 + 1 t + 1 d t \int \frac{6t^5dt}{t^3+t^2}=6\int\frac{t^3dt}{t+1}=6\int\frac{t^3-1+1}{t+1}dt
∫
t
3
+t
2

6t
5
dt
​
=6∫
t+1
t
3
dt
​
=6∫
t+1
t
3
−1+1
​
dt

（3）三角函数替换法：
∫ a 2 − x 2 d x ( a > 0 ) \int\sqrt{a^2-x^2}dx(a>0)
∫
a
2
−x
2

​
dx(a>0)

x a = s i n t \frac{x}{a}=sint
a
x
​
=sint

使用三角函数替换的时候，需要注意的 t的定义域和x的定义域之间的转换！！！！，其实，其他换法也应该注意这个问题

在这里插入图片描述

类似的：
在这里插入图片描述

（4）超高次数的处理：
∫ x 3 ( x − 1 ) 100 d x \int\frac{x^3}{(x-1)^{100}}dx
∫
(x−1)
100

x
3

​
dx

在这里插入图片描述

1.3 求积分（分部积分法）
大部分的题目都是可以用分部积分法进行解决的，这是一般的解题方法。

分部积分法的公式推导：

首先记住： ∫ A B ′ d x = ∫ A d B \int AB'dx=\int AdB ∫AB
′
dx=∫AdB， ∫ ( A B ) ′ d x = A B \int (AB)'dx=AB ∫(AB)
′
dx=AB
在这里插入图片描述
分部积分法的公式：
∫ U d V = U V − ∫ V d U \int UdV=UV-\int VdU
∫UdV=UV−∫VdU

看例题：
（1）
∫ x a r c t a n x d x \int xarctanxdx
∫xarctanxdx

U = x 2 , V = a r c t a n x U=x^2,V=arctanx
U=x
2
,V=arctanx

在这里插入图片描述

（2）
∫ l n x d x = x l n x − x + C \int lnxdx\\=xlnx-x+C
∫lnxdx
=xlnx−x+C

问题是谁去和 d x dx dx 合体呢？
按照一般情况的话：越近的先合体
∫ 反 对 幂 指 三 d x \int 反对幂指三dx
∫反对幂指三dx

1.4 求积分（有理函数积分）
所谓有理函数，就是通过 多项式 进行加减乘除得到的函数。

多项式除法
使用多项式除法，是对多项式进行因式分解的一个手段。

x 5 + 2 x 3 − x 2 − 2 x + 1 x 2 + x + 1 \frac{x^5+2x^3-x^2-2x+1}{x^2+x+1}
x
2
+x+1
x
5
+2x
3
−x
2
−2x+1
什么时候用多项式除法呢？当有理函数的形式是假分式的时候，我们利用多项式除法可以造出真的分式

已知 xe^y-ye^（-y）=x^2,求dy/dx~

xe^y-ye^(-y)=x^2
d(xe^y-ye^(-y))/dx=d(x^2)/dx
d(xe^y)/dx-d(ye^(-y))/dx=2x
x*d(e^y)/dx+e^y*dx/dx-(y*d(e^(-y))/dx+e^(-y)*dy/dx)=2x
x*d(e^y)/dy*dy/dx+e^y-y*d(e^(-y))/dy*dy/dx-e^(-y)*dy/dx=2x
xe^y*dy/dx+e^y-y*d(e^(-y))/d(-y)*d(-y)/dy*dy/dx-e^(-y)*dy/dx=2x
xe^y*dy/dx+e^y-y*e^(-y)*(-1)*dy/dx-e^(-y)*dy/dx=2x
xe^y*dy/dx+e^y+y*e^(-y)*dy/dx-e^(-y)*dy/dx=2x
dy/dx(xe^y+y*e^(-y)-e^(-y))+e^y=2x
dy/dx(xe^y+y*e^(-y)-e^(-y))=2x-e^y
dy/dx=(2x-e^y)/(xe^y+y*e^(-y)-e^(-y))

∫y/e^y dy
= ∫ye^(-y) dy
= -∫y d[e^(-y)]
= -ye^(-y) + ∫e^(-y) dy,分部积分法
= -ye^(-y) - e^(-y) + C
= -(y+1)e^(-y) + C

---

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