一个数学排列组合的问题 一个排列组合的数学问题
www.zhiqu.org 时间： 2024-06-15
做这类题主要是分类要全面而且不能交叉。
首先观察这个图，由于1,2,3两两相邻，而4只和3相邻，所以最少要用到3种颜色，最多用到4种颜色。
【方法一】
分两种情况
1、先看用到3种颜色的情况：
第一步，由于我们有4种颜色备选，所以我们从这四种颜色里面挑选3种，这样一共有4种排列（也就从4中选3的组合数，具体计算是4!/[(4-3)!3!]）。
第二步，我们要将挑选好的三种颜色涂在图中的4个区域。但是在这一步我们要先涂好1,2,3，它们肯定用不同的颜色。但是有个不同排列的问题，从三种颜色里面选三种的排列就是6种（就是3!种）
[当然第一步和第二步其实也可以直接合并，就是直接计算从4里面选3的排列（4!/(4-3)!），就是24种，这和把第一步和第二步得到的数乘起来是一样的。]
第三步，现在要涂区域4。4的颜色不能跟3相同，那么就只剩两种方案——跟1或者2相同。
将三步得到的数相乘得到48。
2、再看涂4种颜色的情况：
这就直接计算从4中选4的排列就行了，即4!=24
将两种情况相加，得到总的数目为72，这就是最后的答案。
【方法二】
我们不在一开始分开3种颜色和4种颜色的情况，我们直接来涂色。
当然区域4是比较特别的，我们就先涂1，2，3。就是从4中选择3来排列，得到24（这一步和方法一的第一种情况的前两步是一样的）。接下来我们涂区域4，区域4只要不和区域3的颜色相同就行了，所以4种颜色里它可以选择3种来涂。
这样总的数目就是24*3=72，72就是最后的答案。
【补充】4,3,3,2是如何得出来的？
那么我们就不分类，也不在开始的时候把区域4区别开来。我们就按顺序分别给1,2,3,4上色。（当然也可以按照其他顺序，思路是一样的）
我们有四种颜色备选，所以最开始涂的那个区域（按照我们设定的顺序，是区域1）有4种上色方案。
接下来涂区域2，由于区域2和区域1相邻，并且相邻区域颜色不能相同，而之前我们已经在区域1用了一种颜色了，由此可知，在给区域2上色的时候，我们只有3种颜色可选。
接下来涂区域3，区域3和区域1,2都相邻，1和2都已经各自用掉一种颜色，因此区域3就只剩下两种颜色可选。
最后我们来涂区域4，（注意：区域4的特殊性这时终于显示出来了）区域4只和区域3相邻，因此，区域4可以无视区域1和2的存在，只要保证不和区域3颜色相同就行了。四种备选颜色中，一种被区域3用掉，还有3种可选。
综上，按照这种顺序来涂，每一步可选的颜色分别为4,3,2,3，全部乘起来就行了。
(所以严格来说，不能孤立地说1234这四个区域分别能填几种颜色，而是要说，按照某种顺序来涂[比如按照1234的顺序来涂]，它们分别能填几种颜色。无论是哪个区域，我们若将之放在第一步来涂，那都会有四种选择)
【问题】那如果按照4,3,2,1的顺序来涂呢？
很好，按照上面的思路一步步来做就行了。你会发现，按照这个顺序来涂，每一步的可选颜色就是4,3,3,2了。自己尝试一下吧~
上色后颜色是否允许重复？如果不允许重复，则上色方法有：4×3×2×1＝24种。如果允许颜色重复，只要相邻两个区域不为同一种颜色即可。那上色方法有：4×3×2×3＝72种。
只要不和其他相邻颜色碰上，你可以任意设，但2部分有两个相邻，3部分有三个相邻，1部分有两个相邻，而4部分只有一个相邻，若不允许重复，则4×3×2×1＝24（种），如果允许重复，则又增加了三倍，则24×3=72（种）
希望能对你有所帮助，谢谢！
A41*A21*A21*A31=48种
因为1有4种可能
2有2种可能（不能喝1、3一样）
3有2种可能
4有3种可能
他们都是排列，所以用A
~
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第三步，现在要涂区域4。4的颜色不能跟3相同，那么就只剩两种方案——跟1或者2相同。
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2、再看涂4种颜色的情况：
这就直接计算从4中选4的排列就行了，即4!=24
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我们不在一开始分开3种颜色和4种颜色的情况，我们直接来涂色。
当然区域4是比较特别的，我们就先涂1，2，3。就是从4中选择3来排列，得到24（这一步和方法一的第一种情况的前两步是一样的）。接下来我们涂区域4，区域4只要不和区域3的颜色相同就行了，所以4种颜色里它可以选择3种来涂。
这样总的数目就是24*3=72，72就是最后的答案。
【补充】4,3,3,2是如何得出来的？
那么我们就不分类，也不在开始的时候把区域4区别开来。我们就按顺序分别给1,2,3,4上色。（当然也可以按照其他顺序，思路是一样的）
我们有四种颜色备选，所以最开始涂的那个区域（按照我们设定的顺序，是区域1）有4种上色方案。
接下来涂区域2，由于区域2和区域1相邻，并且相邻区域颜色不能相同，而之前我们已经在区域1用了一种颜色了，由此可知，在给区域2上色的时候，我们只有3种颜色可选。
接下来涂区域3，区域3和区域1,2都相邻，1和2都已经各自用掉一种颜色，因此区域3就只剩下两种颜色可选。
最后我们来涂区域4，（注意：区域4的特殊性这时终于显示出来了）区域4只和区域3相邻，因此，区域4可以无视区域1和2的存在，只要保证不和区域3颜色相同就行了。四种备选颜色中，一种被区域3用掉，还有3种可选。
综上，按照这种顺序来涂，每一步可选的颜色分别为4,3,2,3，全部乘起来就行了。
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很好，按照上面的思路一步步来做就行了。你会发现，按照这个顺序来涂，每一步的可选颜色就是4,3,3,2了。自己尝试一下吧~
上色后颜色是否允许重复？如果不允许重复，则上色方法有：4×3×2×1＝24种。如果允许颜色重复，只要相邻两个区域不为同一种颜色即可。那上色方法有：4×3×2×3＝72种。
只要不和其他相邻颜色碰上，你可以任意设，但2部分有两个相邻，3部分有三个相邻，1部分有两个相邻，而4部分只有一个相邻，若不允许重复，则4×3×2×1＝24（种），如果允许重复，则又增加了三倍，则24×3=72（种）
希望能对你有所帮助，谢谢！
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2有2种可能（不能喝1、3一样）
3有2种可能
4有3种可能
他们都是排列，所以用A
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