导数公式的推导

导数公式的推导：

导数公式是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。以下是导数公式的推导过程：

首先，我们考虑一个函数f(x)，它在x=x0处有定义。为了求f(x)在x=x0处的导数，我们可以使用极限的定义。根据极限的定义，如果lim(x→x0)[f(x)-f(x0)/(x-x0)存在，那么该极限值就是f(x)在x=x0处的导数。

接下来，我们利用等价无穷小替换法则，即当x→0时，sinx~x，来推导导数公式。我们知道，当x→0时，sin(x-x0)~(x-x0)。因此，我们可以将式子lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)中的分母替换为(x-x0)-sin(x-x0)，这样我们就可以得到lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x→x0)[f(x)- f(x0)]/[(xx0)-sin(x-x0)]。

然后，我们可以利用泰勒级数展开sin(x-x0)，得到lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/[(x-x0)-sin(x-x0)]= lim(x→x0)[f'(x0)+O((-x0))^2]/[(1-cos(x-x0))+O((x-x0)^2)]。

最后，我们利用等价无穷小替换法则和求极限的基本性质，可以得出lim(x→x0)[f'(x0)+O((x- x0))^2]/[(1-cos(x-x0))+O((x-x0)^2)]=f'(x0)/1=f'(x0)。

因此，我们证明了f(x)在x=x0处的导数为f'(x0)。需要注意的是，这里只给出了一种常见的导数公式推导方法，实际上导数公式的推导有很多种方法，如直接求导法、幂级数展开法等。

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#沈养崔# 一个简单导数公式应该怎么样推导,如f(x)/g(x) - 作业帮
(15255264910)：[答案] 楼上都答非所问,问的是「推导过程」,可从定义出发.导数的商公式证明:设有函数u = f(x)及v = g(x)(u/v)' = d/dx [f(x)/g(x)] = lim(Δx→0) Δy/Δx= lim(Δx→0) [f(x + Δx)/g(x + Δx) - f(x)/g(x)]/Δx= lim(Δx...

#沈养崔# 导数的运算公式推导导数的运算公式:y=a的x次方的导数是y'=(a的x次方)乘以lnay=e的x次方的导数是它本身y=logax(a在下x在上)的导数是y'=(xlna)分之一这些... - 作业帮
(15255264910)：[答案] 就是根据定义推出来的.根据定义写出来,再用无穷小的知识代换.

#沈养崔# 如何推导基本初等函数的导数公式:(sinx)'=cosx?? -
(15255264910)： (sinx)'=(△x→0)lim(sin(x+△x)-sinx)/△x=(△x→0)lim(sinxcos△x+sin△xcosx-sinx)/△x……由(x→0)limcosx=1的得到下式=(△x→0)lim(sin△xcosx)/△x……由(x→0)limsinx/x=1得到下式=cosx

#沈养崔# 高中导数公式 -
(15255264910)： ① C'=0(C为常数函数) ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*);熟记1/X的导数 ③ (sinx)' = cosx (cosx)' = - sinx (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1...

#沈养崔# 导数公式 f(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0) 是怎么推导出来的?写详细一点:) - 作业帮
(15255264910)：[答案] 由导数的定义得: f'(x)=lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x)]/△x=lim(△x→0) a^x *(a^(△x)-1)/△x =lim(△x→0) a^x *[e^(△xlna)-1]/△x =a^x *lna lim(x→0) [e^(△xlna)-1]/△xlna=a^x *lna 最后一步是因为t→0[t=△xlna]时e^t-1与t是等价无穷小

#沈养崔# 一个简单导数公式应该怎么样推导,如f(x)/g(x) -
(15255264910)： 楼上都答非所问,问的是「推导过程」,可从定义出发. 导数的商公式证明: 设有函数u = f(x)及v = g(x) (u/v)' = d/dx [f(x)/g(x)] = lim(Δx→0) Δy/Δx = lim(Δx→0) [f(x + Δx)/g(x + Δx) - f(x)/g(x)]/Δx = lim(Δx→0) 1/[g(x + h)g(x)] • lim(Δx→0) [f(x + Δx)g(x) - f(x)...

#沈养崔# 关于导数公式的推导 -
(15255264910)： 哦,我觉得,可能编写词条的人这样考虑的:这里面使用到了二项式定理.二项式定理中,n为整数,所以((x^n)'=nx^(n-1)) lim((x+⊿x)^n-x^n)/⊿x=(x^n+C(1,n)x^(n-1)*⊿x+C(2,n)x^(n-2)*⊿x^2+..-x^n)/⊿x=C(1,n)x^(n-1)+C(2,n)x^(n-2)*⊿x+.....

#沈养崔# 高数里的幂函数的导数是怎么推导的 - 作业帮
(15255264910)：[答案] 1、楼上网友的回答,纯属误导.2、下面提供十个导数公式的推导过程,其中包括楼主所需要的推导过程.3、这些推导过程都是一样的方法,是现在全世界认定的用定义推导的标准方法.这个方法是由莱布尼兹发明的.4、每张图片均可点击放大.

#沈养崔# 导数的除法公式推导
(15255264910)： 导数的除法公式推导为:(uv)'=u'v+uv'(u/v)'=u'/v+u(1/v)'=u'/v-uv'/v^2=(u'v-uv')/v^2,这个的证明是利用乘积的导数.导数是微积分学中重要的基础概念,是函数的局部性质.不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有的点上都有导数.