求因式分解奥数题 因式分解奥数题
林达
多元高次轮换对称式的因式分解问题往往是因式分解中的难点，很多初中学生感到棘手。但笔者却认为，这类问题往往是有迹可循的。我们今天就通过几个例子讲一讲把“求根”和“待定系数”相结合进行因式分解的方法。
例1
分解因式：
【分析与解答】
首先观察发现，当时，原式的值为0。即，如果将原式看作a的函数，将b看作常数，则
是函数的一个根。故是原式的因式，同理及也是原式的因式。
故
是原式的因式，观察发现原式是的三次式，也是三次式，故两式必然只差一个常数。
用待定系数法，设
代入，得到，故原式的因式分解结果是
例2
分解因式：
【分析与解答】
和例1类似，首先观察发现，当时，原式的值为0。
故是原式的因式，同理及也是原式的因式。
故
是原式的因式，观察发现原式是的五次式，是三次式。两者都是的轮换对称式，故原式一定可以表示成如下结果：
代入，得到
代入，得到
解得
故原式的因式分解结果是
例3
化简：
【分析与解答】这里虽然是化简而非因式分解，但我们发现分别展开以上四个式子太过复杂，耗时且易错，所以我们仿照例1和例2的方法首先用观察法“求根”以发现因式。
观察发现，当时，原式为
故，是原式的一个因式，同理也是原式的因式。
故是原式的因式。观察发现原式是的三次式，也是三次式，两式必然只差一个常数。
用待定系数法，设
代入，得到，故原式的化简结果是
配方法及其应用
林达
复杂的因式分解不仅可以是轮换对称式的因式分解，很多难以直接提出因式的高次多项式也难以分解。对于这类多项式，配方法往往能出奇效。相对于更一般的待定系数法，配方法的计算要简单很多。
配方法，顾名思义，就是将多项式或其中的某些项配成平方式或更高次方式（一般配成平方式，有时也可能直接配成三次方式，但更高次的配方很少出现）。下面我们看几道例题。
分解因式：
【分析与解答】
通过观察或一般的十字相乘法，难以发现这个多项式的因式，这时我们根据
这两项想到了配方法——配出平方项。
最后一步用了平方差公式。
分解因式：
【分析与解答】
看到
想到故可以用配方法。
下面看一道配方法的经典应用。
证明：具有如下性质的自然数a有无穷多个：对任意自然数n，
都不是质数。
【分析与解答】利用配方法，取，
其中k是正整数且k
>
1。
则，
因为k
>
1，故
故对于这样的，
必为合数。又k的任意性知这样的k
有无穷多个。
【点评】
这个配方公式在代数计算、数论等领域都有较广泛的应用。
求因式分解奥数题~
因式分解和整式相乘，
x" ± 5x ± 6，( x ± 1 )( x ± 6 )，( x ± 2 )( x ± 3 )，
x" ± 10x ± 24，( x ± 2 )( x ± 12 )，( x ± 4 )( x ± 6 )，
x" ± 15x ± 54，( x ± 3 )( x ± 18 )，( x ± 6 )( x ± 9 )，
x" ± 20x ± 96，( x ± 4 )( x ± 24 )，( x ± 8 )( x ± 12 )，
x" ± 25x ± 150，( x ± 5 )( x ± 30 )，( x ± 10 )( x ± 15 )，
相同的绝对值，两个 ± 符号，
每个式子就有 4 个具体情况，
【】二次三项式，因式分解的技巧和窍门，
就是十字相乘法，结合分组分解法一同使用，
正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )，
中间的一次项 mx = (a+b)x ，
首先一分为二，拆开变成 ax + bx ，
接下来把四个项，分两组提公因式，
做起来就轻松多了；
【】关键就是先看常数项的正负，决定一次项怎样一分为二，
常数项不变，只是一次项变成相反数，一次项一分为二的绝对值就不变；
一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式；
【】如果常数项是正数，
一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；
【】如果常数项是负数，
一次项系数就是分开两个项的相差数；
如果把 4 个情况完全展开，
排列顺序就按照我们熟悉的四个象限的坐标，
第一象限（正，正）
第二象限（负，正）
第三象限（负，负）
第四象限（正，负）
x" + 10x + 24
x" - 10x + 24
x" - 10x - 24
x" + 10x - 24
( x + 2 )( x + 12 )
( x - 2 )( x + 12 )
( x - 2 )( x - 12 )
( x + 2 )( x - 12 )
( x + 4 )( x + 6 )
( x - 4 )( x + 6 )
( x - 4 )( x - 6 )
( x + 4 )( x - 6 )
这些因式分解的答案，就在这些整式相乘当中，
动动脑筋，找找规律，感受一下其中的奥秘吧。
二次三项式，分解因式，
关键就看 c 与 a 的正负，
只要熟悉这个方法，
x" + bx + c，
ax" + bx + c，
ax" + bxy + cy"，
我们都同样做得方便。
如果有兴趣，有能力，
8a" ± 26ab ± 15b 分解因式你也做一做吧，
8x" + 26xy + 15y"
8x" - 26xy + 15y"
8x" - 26xy - 15y"
8x" + 26xy - 15y"
( 2x + y )( 4x + 15y )
( 2x - y )( 4x + 15y )
( 2x - y )( 4x - 15y )
( 2x + y )( 4x - 15y )
( 4x + 3y )( 2x + 5y )
( 4x - 3y )( 2x + 5y )
( 4x - 3y )( 2x - 5y )
( 4x + 3y )( 2x - 5y )
工夫不负有心人，
开动脑筋，找出规律，掌握解题的技巧、窍门，
发现、并且感受到其中的奥秘……必然其乐无穷。
祝你学习进步。
整式 (a+b+c)^4 - (b+c)^4 - (c+a)^4 - (a+b)^4 + a^4 + b^4 + c^4 分解因式，
结果是 12abc( a + b + c )，
这个结果究竟是怎么得到的呢？
既然都是四次方，就还是想想平方差，分组分解吧，
= (a+b+c)^4 - (a + b)^4 + c^4 - (b + c)^4 + a^4 - (c + a)^4 + b^4
= (a+b+c)^4 - [ (a + b)^4 - c^4 ] - [ (b + c)^4 - a^4 ] - [ (c + a)^4 - b^4 ]
这个式子太长，我们就先分别处理后面三组
第一组 - [ (a + b)^4 - c^4 ]
= - [ (a + b)" + c" ][ (a + b) - c ][ (a + b) + c ]
= - [ (a" +b" +c") + 2ab ][ (a + b + c) - 2c ]( a + b + c )
= - ( a + b + c )[ (a" +b" +c")(a + b + c) + 2ab(a + b + c) - 2c(a" +b" +c") - 4abc ]
第二组 - [ (b + c)^4 - a^4 ]
= - [ (b + c)" + a" ][ (b + c) - a ][ (b + c) + a ]
= - [ (a" +b" +c") + 2bc ][ (a + b + c) - 2a ]( a + b + c )
= - ( a + b + c )[ (a" +b" +c")(a + b + c) + 2bc(a + b + c) - 2a(a" +b" +c") - 4abc ]
第三组 - [ (c + a)^4 - b^4 ]
= - [ (a + c)" + b" ][ (a + c) - b ][ (a + c) + b ]
= - [ (a" +b" +c") + 2ac ][ (a + b + c) - 2b ]( a + b + c )
= - ( a + b + c )[ (a" +b" +c")(a + b + c) + 2ac(a + b + c) - 2b(a" +b" +c") - 4abc ]
这样，就找到一个公因式 -(a + b + c)，
这三组各自的另一个因式里面，除了一头一尾都是
(a" +b" +c")(a + b + c) 和 - 4abc，
它们 “合并同类项” 就是
3(a" +b" +c")(a + b + c) - 12abc
其余的式子 “提公因式”，“合并同类项” 就是
( 2ab + 2bc + 2ac )(a + b + c) - ( 2a + 2b + 2c )(a" +b" +c")
= ( 2ab + 2bc + 2ac )(a + b + c) - 2(a + b + c)(a" +b" +c")
合并前面的
3(a" +b" +c")(a + b + c) - 12abc，
后面这三组就是
= - (a + b + c)[ (a" +b" +c")(a + b + c) + ( 2ab + 2bc + 2ac )(a + b + c) - 12abc ]
= - (a + b + c)[ (a" +b" +c" + 2bc + 2ab + 2ac )(a + b + c) - 12abc ]
= - (a + b + c){ [ a" + (b + c)" + 2a(b + c) ](a + b + c) - 12abc }
= - [ (a + b + c)"' - 12abc ](a + b + c)
整个式子，就是
= (a + b + c)^4 - [ (a + b + c)"' - 12abc ](a + b + c)
= [ (a + b + c)"' - (a + b + c)"' + 12abc ](a + b + c)
= 12abc(a + b + c)
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