两角和与差的三角函数的推导 两角和与差的三角函数公式是什么?
指高中数学三角函数部分的一组恒等式
sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程
法1 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
因为
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，
设 α+β=θ，α-β=φ
那么
α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2
把α，β的值代入，即得
sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]
法2
根据欧拉公式，e ^Ix=cosx+isinx
令x=a+b
得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb=sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb=sinbcosa
正切的和差化积
tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）
cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边
∴等式成立
注意事项
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次
口诀
正加正，正在前，余加余，余并肩
正减正，余在前，余减余，负正弦
反之亦然 生动的口诀：（和差化积）
帅+帅=帅哥
帅-帅=哥帅
哥+哥=哥哥
哥-哥=负嫂嫂
反之亦然
求两角和与差的三角函数公式推导~
两角和公式
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)
cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb+cota)
cot(a-b)=(cotacotb+1)/(cotb-cota)
倍角公式
tan2a=2tana/[1-(tana)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2
-1=1-2(sina)^2
sin2a=2sina*cosa
三倍角公式
sin3a=3sina-4(sina)^3
cos3a=4(cosa)^3-3cosa
tan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)
半角公式
sin(a/2)=√((1-cosa)/2)
sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)
cos(a/2)=√((1+cosa)/2)
cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)
tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))
tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))
cot(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))
cot(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))
tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa)
和差化积
2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)
2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)
)
2cosacosb=cos(a+b)+cos(a-b)
-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)
sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2
cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(pi/2-a)=cos(a)
cos(pi/2-a)=sin(a)
sin(pi/2+a)=cos(a)
cos(pi/2+a)=-sin(a)
sin(pi-a)=sin(a)
cos(pi-a)=-cos(a)
sin(pi+a)=-sin(a)
cos(pi+a)=-cos(a)
tga=tana=sina/cosa
万能公式
sin(a)=
(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)=
(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)=
(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)
[其中，tan(c)=b/a]
a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)
[其中，tan(c)=a/b]
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
其他非重点三角函数
csc(a)=1/sin(a)
sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2
tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
三角函数本质：根据三角函数定义推导公式根据下图，有sinθ=y/ r； cosθ=x/r；tanθ=y/x； cotθ=x/y。
正弦定理：在△ABC中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R。其中，R为△ABC的外接圆的半径。
余弦定理：在△ABC中，b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cos θ。其中，θ为边a与边c的夹角。
#贾沈曲# 两角和与差的公式怎么推导
(18923876715)： 先利用单位圆(向量)推到两角和与差的余弦公式,再利用诱导公式推导正弦公式,最后利用同角三角函数的基本关系推到正切公式.1、两角和与差公式sin(A+B) = ...
#贾沈曲# 求 两角和差的三角函数公式 二倍角公式 半角公式 辅助角公式 -
(18923876715)： 两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] ...
#贾沈曲# 求两角和与差的三角函数证明求的是sin(a±b)cos(a±b)tan(a±b)cot(a±b) - 作业帮
(18923876715)：[答案] 里边有详细证明.祝新春快乐!
#贾沈曲# 急求两角和与差的三角函数的证明过程 -
(18923876715)： 教材上有两种证明,第一种是几何方法;第二种是向量方法.第二种向量方法,比较好理解一些.证明过程就是在单位圆中有二个角度为α、β的向量OA、OB,那么向量OA的坐标表示(cosα,sinα),向量OB的坐标表示(cosβ,sinβ).这两个向量的夹角是(α-β).那么cos(α-β)=向量OA和向量OB的点积/向量OA的模乘以向量OB的模,式中分子等于(cosαcosβ+sinαsinβ),分母为单位圆半径1.所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.当β=-β时利用诱导公式,就可以求出cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
#贾沈曲# 两角和与差的三角函数.∵cos(α - β)=cosαcosβ+sinαsinβ,又∵cosαcosβ+sinαsinβ=cosβcosα+sinβsinα∴cos(α - β)=cosαcosβ+sinαsinβ= cosβcosα+sinβsinα=cos... - 作业帮
(18923876715)：[答案] 你是要证明cos(α-β)=cos(β-α).还是cos(α-β)=cos(α-β).
#贾沈曲# 三角函数两角和差关系的推导母公式是用cos而不是sin?如果用sin该如何推导? -
(18923876715)： 因为第一个式子需要借助平面直角坐标系中向量的内积来证明.等号左边是定义表示,等号右边是坐标表示.用定义表示向量内积时,必须使用余弦.因此,先从余弦的式子入手比较方便.sin的话比较麻烦,此处不再赘述.望采纳!
#贾沈曲# 两角和与差的三角函数定义及定义的由来 -
(18923876715)： 二倍角公式sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos²α-sin²α=1-2sin²α=2cos²α-1,tan2α=(2tanα)/(1-tan²α) sin0=0=cos90,sin30=0.5=cos60,sin60=√3/2=cos30sin45=cos45,sin90=1=cos0,sin180=0=cos270,cos180=-1=sin270.sin(π/2+α)=cosα=sin(π/2-...
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(18923876715)： 第一部分: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
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(18923876715)： 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(...
#贾沈曲# 三角函数主要关系式?半角公式 ,诱导公式之类的? -
(18923876715)： 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(π2-a)=cos(a) cos(π2-a)=sin(a) sin(π2+a)=cos(a) cos(π2+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+...
