奥林匹克数学竞赛题 怎样参加奥林匹克数学竞赛？
韦达定理：-（p+q）=a=(p+1)(q+1)，整理得：p(q+2)=-(2q+1),各因子均为整数。显然q不等于
-2.则有
（q+2）|(2q+1),得（q+2）|（(2q+1)-2*（q+2））,（q+2）|3，则q+2=3、1、-1或-3。代回p(q+2)=-(2q+1),得p=-1,q=1。其它解舍去。则有：a=0,b=-1,c=-2.a+b+c=-3.
设方程x²+cx+a=0的两个整数根为：x1，x2，则：
x1+x2=-c，x1x2=a。
依题意可知：
方程x²+ax+b=0的两个根为：x1-1，x2-1，则：
x1-1+x2-1=-a， (x1-1)(x2-1)=b，
所以x1+x2=-a+2=-c， x1x2-(x1+x2)+1=a+c+1=b，
即c=a-2， b=a+c+1=2a-1。
又因为方程x²+cx+a=0的两个根都是整数，
即方程x²+(a-2)x+a=0的两个根都是整数，则：
a是整数，且(a-2)^2-4a>0，
a^2-8a+4>0，
所以a>=8，或a<=0。
试算，可得：
a=8时，c=6，b=15，
方程x²+cx+a=0的两个根为：-2，-4；
方程x²+ax+b=0的两个根为：-3，-5；
满足题设条件。
故a+b+c=29；
a=0时，c=-2， b=-1，
方程x²+cx+a=0的两个根为：2，0；
方程x²+ax+b=0的两个根为：1，-1；
满足题设条件。
故a+b+c=-3。
x1+x2=-c/2 x1+1+x2+1=-a/2 推出 a=c-2
x1*x2=a (x1+1)(x2+1)=a-c/2+1=b
a+b+c=2.5c-3
x²+cx+a=o的两个整数根为X1，X2,
c^2-4*1*a=0
X1+ X2= -c
X1*X2=a
x²+ax+b=0的两个根为X3，X4,
X3+X4=-a
X3*X4=b
设x1>x2
X1+ X2-2=X3+X4=-a=-c-2
(X1-1)*(X2-1)=X1*X2-(X1+ X2)+1=a-(-c)+1=a+c+1=X3*X4=b
c^2-4*1*a=0
-a=-c-2
a+c+1=b
以上三式计出abc
-3 或 29 用根与系数关系
奥林匹克数学竞赛试题~
各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题.
第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动）
1．用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?
【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于3×3=9个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于(9+7+7)×2=46个小正方形的面积，而每个小正方形面积为l平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米．
2．如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?
【分析与解】 原来正方体的表面积为5 ×5×6=150．
现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．
即表面积减少了百分之八．
3．如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?
【分析与解】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．
现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1×l=1(平方米)，所以表面积增加了9×2×1=18(平方米)．
原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．
4．图11-4中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?
【分析与解】原正方体的表面积是4×4×6=96(平方厘米)．
每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．
从而，它的表面积是96+4×6=120平方厘米．
5．图11-5是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为 厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为 厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?
【分析与解】 因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面．
所以，最后得到的立体图形的表面积是：
2×2×6+1×l×4+× × ×4+ × ×4=29.25(平方厘米)．
6．有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米•
【分析与解】 放在中水池里的碎石的体积为3×3×0.06：0.54立方米；
放在小水池里的碎石的体积为2×2×0.04=0.16立方米；
则两堆碎石的体积和为0.54+0.16=0.7立方米，现在放到底面积为6×6=36平方米的大水池中，则使大水池的水面升高0.7÷36= 米= 厘米= 厘米
7．如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?
【分析与解】 容器的底面积是(13-4)×(9-4)=45(平方厘米)，高为2 厘米，所以容器得体积为：
45×2=90(立方厘米)．
8．今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体．问剩下的体积是多少立方厘米?
【分析与解】 本题首先要确定三次切下的正方体的棱长，因为21：15：12=7：5：4，为了叙述方便，我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.
易知第一次切下的正方体的棱长应为4厘米，第二次切下的正方体棱长为3厘米时符合要求，第三次切下的正方体的棱长为2厘米时符合要求．
于是，在长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体中，第一、二、三次切下的正方体的棱长为12厘米、9厘米、6厘米．
所以剩下的体积应为：
21×15×12-( )=1107(立方厘米)．
9．如图11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?
【分析与解】 圆锥的体积是 ，圆柱的体积是 ．
所以，圆锥体积与圆柱体积的比是 .
10．张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?
【分析与解】底面周长是3，半径是 ， 所以今年粮囤底面积是 ，高是2．
同理，去年粮囤底面积是 ，高是1．
因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5倍．
11．一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米?
【分析与解】若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：
（厘米）；
它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中．此时容器与铁圆柱组成一个类似于下图的立体图形．
底面积为 ，水的体积保持不变为 ．
所以有水深为 (厘米)，小于容器的高度20厘米，显然水没有溢出
于是 厘米即为所求的水深．
12．如图ll-8，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米?( 取3．14)
【分析与解】 物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，即
即这个物体的表面积是32.97平方米．
13．某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上加固．所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米．若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?
【分析与解】 长方体中，高+宽=+(365-5)=180，……………………①
高+长= (405-5)=200，…………………………………………………②
长+宽= (485-5)=240，…………………………………………………③
②-①得 长-宽=20，……………………………………………………④
④+③得 长=130，则宽=110，代入①得高=70，所以长方体得体积为：
70×110×30=1001000(立方厘米)=1.001(立方米)．
14．有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的 ，乙的棱长是丙的棱长的 ．如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的大正体，每种至少用一块，那么最少需要这3种木块一共多少块?
【分析与解】设甲的棱长为1，则乙的棱长为2，丙的棱长为3．显然，大正方体棱长不可能是4，否则无法放下乙和丙各一个．
于是，大正方体的棱长至少是5．事实上，用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为5的大正方体，其中丙种木块只能用1块；乙种木块至多用7块(使总的块数尽可能少)；甲种木块需用：5×5×5-1×3×3×3-7×2×2×2=42(块)．
因此，用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大正方体，至少需要这三种木块一共1+7+42=50(块)．
15．有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某划面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长；方体分割成棱长为1厘米的小正方体．分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体；最多有多少个?
【分析与解】一面染红的长方体，显然应将4×5的长方体染红，这时产生20个一面染成红色的小正方体，个数最多．
二面染红的长方体，显然应将两个4×5的长方体染红，这时产生40个一面染成红色的小正方体，个数最多．
三面染红的长方体，显然应将4×5，4×5，4×3的面染红，于是产生4×(5+5+3-4)=36个一面染成红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于36个．
四面染红的长方体，显然应将4×5，4×5，4×3，4×3的面染红，产生4×(5+5+3+3-2×4)=32个一面染成红色的正方体，其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于32个．
五面染红的长方体，应只留一个3×5的面不染，这时就产生(3-2)×(5-2)+(4-1)×(5+5+3+3-2×4)=27个一面染成红色的小正方体，其他染法得到的一面染成红色的小正方体均少于27．
六面染红的长方体，产生2×[(3-2)×(5-2)+(5-2)×(4-2)+(4-2)×(3-2)]=22个一面染成红色的小正方体．
于是最多得到：22+27+32+36+40+20=177个一面染成红色的小正方体．
这是一个相当严格的过程，首先要在四月或五月份参加省级的预赛，然后预赛通过的人参加每年十月第二个星期天举行的全国高中数学联赛，一般省内会选择省里的前几名参加来年一月的冬令营即全国决赛，每年大约有来自全国二百多名同学参加冬令营，一般取成绩前三十名左右选入国家集训队，在三月份中旬到四月上旬进行集训队的培训，经过六次集训队的测试和国家队选拔考试，取成绩的前六名参加本年七月的国际数学奥林匹克竞赛。
扩展资料国内赛况
我国的数学竞赛起步不算晚。解放后，在华罗庚教授等老一辈数学家的倡导下，从1956年起，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省、市都恢复了中学数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛；1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区全部举办了中学数学竞赛。
此后，全国各地开展数学竞赛的热情有了空前的高涨。1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。同时，我国数学界也在积极准备派出选手参加国际数学奥林匹克的角逐。1985年，开始举办全国初中数学联赛；1986年，开始举办“华罗庚金杯”少年数学邀请赛；1991年，开始举办全国小学数学联赛。
我国的高中数学竞赛分三级：每年10月中旬的全国联赛；次年一月的CMO（冬令营）；次年三月开始的国家集训队的训练与选拔。
对我国中学影响较大的还有美国中学生数学竞赛。该赛也分三轮进行：美国中学数学竞赛（AHSME），考试形式是30道选择题，要求90分钟内完成；美国数学邀请赛（AIME），考15道填空题，答案均为不超过999的正整数，要求3个小时内完成；美国数学奥林匹克（USAMO），这是美国国内水平最高的数学赛活动，每次考5道题，3.5小时内完成。
为使我国的数学竞赛活动能广泛而有序、深入而持久地开做好各级各类数学竞赛的培训选拔工作，国内采取了一系列有效措施。首先是创造数学竞赛的良好场景；中小学组织各年的教学兴趣小组活动，做到定时间、定地点、定辅导教师、定辅内容；对一些数学“苗子”开办数学奥林匹克业余学校，有计划给以强化性的辅导与培训。其次是增强数学竞赛的辅导力量；各级数学奥林匹克教练员队伍，不断提高这支队伍的辅导与教练素质。
再次是优化数学竞赛的辅导体系；编写与出版基础性的数学竞赛培训教材或辅导读物，收集与整理国内外数学竞赛资料，研究与提炼数学竞赛题的解题思想方法及技能技巧，健全与完善数学竞赛的选拔机制及辅导方式。
“全国小学数学奥林匹克”（创办于1991年），它是一个“普及型、大众化”的活动，分为初赛（每年3月）、夏令营（每年暑期）。
“全国初中数学联赛”（创办于1984年），采用“轮流做东”的形式由各省、市、自治区数学竞赛组织机构具体承办，每年4月举行，分为一试和二试。
“全国高中数学联赛”（创办于1981年），承办方式与初中联赛相同，每年10月举行，分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”（每年元月）。
参考资料：百度百科 奥林匹克数学竞赛
#顾俗连# 初中奥林匹克数学竞赛题.
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(15825017311)： 答案应该是:4106 首先,这76个自然数中,有38个奇数,38个偶数.因为奇数是38个,所以无论正负,加在一起的和都应该是偶数,所以,结果1,153是不正确的. 然后,再把这76个自然数相加,得到的结果是4294. 分类讨论: (1)假如,结果是4260,则4294-4260=34.34÷2=17 因为76个自然数中,最小的是19,所以76个自然数无论怎样加减也得不到4260这个数. (2)假如,结果是4160,则4294-4106=188,188÷2=94 因为94是这76个自然数中的一个,所以满足条件. 因此,4106这个结果正确.其中前19~93前都是+,94前是-
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(15825017311)： 应该是2因为数字为991121110202100 1121110202100 ……也就是空格后面的数字开始重复,也就是每13个数重复一次,只要要计算1999减去前面两个不重复的数(99),也就是是1997除以13的余数是8,重复序列...
#顾俗连# 奥数竞赛题☆☆ -
(15825017311)： 这个数是5040 教你一个公式 把一个数分解质因数,成如下形式: a^p*b^q*c^r... 则约数的个数为(p+1)(q+1)(r+1)... 举个例子,72=2^3*3^2 72的约数个数就是(3+1)(2+1) 20=2^2*5,20的约数个数就是(2+1)(1+1)=6 现在这个数有60个约数,而 60=2*2*3*5 也就是(1+1)(1+1)(2+1)(4+1),说明有4个不同的质数相乘,其中有一个质数乘了两次,一个质数乘了四次. 构造最小的数为: 2^4*3^2*5*7=5040
#顾俗连# 竞赛题奥数题 -
(15825017311)： [41/9-(12/5+0.64)÷76/25+5/6]*4.5 =(41/9)*4.5-[(2.4+0.64)÷3.04+5/6]*4.5 =20.5-(1+5/6)*4.5 =20.5-33/4 =49/4
