想问一下，函数的知识，我们还没学，想先了解一下。。谢啦 想问一下这两道题怎么做啊，谢谢啦
与函数有关的概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称他们为常量。 自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。 因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。 函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。 由映射定义 设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。 则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）
几何含义
函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
函数的集合论（关系）定义
如果X到Y的二元关系f：X×Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得<x,y>∈f，则称f为X到Y的函数，记做：f:X→Y。 当X=X1×…×Xn时，称f为n元函数。 其特点： 前域和定义域重合 单值性：<x,y>∈f∧<x,y’>∈f →y=y’
编辑本段定义域、对应域和值域
输入值的集合X被称为f 的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f 的陪域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f 得到的实际输出值的集合。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。 计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。因此定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束。另一方面，值域是和实际的实现有关。
编辑本段单射、满射与双射函数
单射函数，将不同的变量映射到不同的值。即：若x和y属于定义域，则仅当x = y时有f（x）= f（y）。 单射满射 双射
满射函数，其值域即为其对映域。即：对映射f的对映域中之任意y，都存在至少一个x满足f（x）= y。 双射函数，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明集合X和Y是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。
编辑本段三角函数
三角函数（Trigonometric）
编辑本段像和原象
元素x∈X在f 的像 就是f（x），他们所取的式值为0。 子集A?X 在f 的像是以其元素的像组成Y的子集，即f(A) := {f(x) : x ∈A}。 注意f 的值域就是定义域X 的像f（X）。在我们的例子里，{2,3}在f 的像是f({2, 3}) = {c, d}而f 的值域是{c, d}。 根据此定义，f 可引申成为由X 的幂集（由X 的子集组成的集）到Y 的幂集之函数，亦记作f。 子集B ? Y在f 的原像（或逆像）是如下定义X的子集： f ?1(B) := {x ∈X : f(x)∈B}。 在我们的例子里，{a, b}的原像是f ?1({a, b}) = {1}。 根据此定义，f ?1是由Y 的幂集到X 的幂集之函数。 以下是f 及f ?1的一些特性： f(A1 ∪A2) = f(A1) ∪ f(A2). f(A1 ∩A2) ? f(A1) ∩ f(A2). f ?1(B1 ∪B2) = f ?1(B1) ∪ f ?1(B2). f ?1(B1 ∩B2) = f ?1(B1) ∩ f ?1(B2). f(f ?1(B)) ? B. f ?1(f(A)) ? A. 这些特性适合定义域的任意子集A, A1及A2和输出值域的任意子集B, B1及B2，甚至可推广到任意子集群的交集和并集。
编辑本段函数图像
函数f 的图像是平面上点对（x,f（x））的集合，其中x取定义域上所有成员的。函数图像可以帮助理解证明一些定理。 如果X 和Y 都是连续的线，则函数的图像有很直观表示注意两个集合X 和Y 的二元关系有两个定义：一是三元组（X,Y,G），其中G 是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f 等于其图象。
编辑本段性质
函数的有界性
设函数f(x)的定义域为D，数集X包含于D。如果存在数K1，使得f(x)<=K1对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。如果存在数K2，使得f(x)>=K2对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。如果存在正数M，使得|f(x)|<=M对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。
函数的单调性
设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
函数的奇偶性
设f(x)为一个实变量实值函数，则f为奇函数若下列的方程对所有实数x都成立： f(x) = - f( - x) 或f( -x) = - f(x) 几何上，一个奇函数与原点对称，亦即其图在绕原点做180度旋转后不会改变。 奇函数的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。 设f(x)为一实变量实值函数，则f为偶函数若下列的方程对所有实数x都成立： f(x) = f( - x) 几何上，一个偶函数会对y轴对称，亦即其图在对y轴为镜射后不会改变。 偶函数的例子有|x|、x、x^2、cos(x)和cosh(sec)(x)。 偶函数不可能是个双射映射。
函数的周期性
狄利克雷函数
设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x士l)∈D，且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。 并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函数。
函数的连续性
在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。 设f 是一个从实数集的子集射到 的函数：。f 在中的某个点c 处是连续的当且仅当以下的两个条件满足： f 在点c 上有定义。c 是中的一个聚点，并且无论自变量x 在中以什么方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。 不用极限的概念，也可以用下面所谓的 方法来定义实值函数的连续性。 仍然考虑函数。假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c 点连续当且仅当以下条件成立： 对于任意的正实数，存在一个正实数δ> 0 使得对于任意定义域中的，只要x满足c - δ< x < c + δ，就有成立。
函数的凹凸性
设函数f(x)在I上连续。如果对于I上的两点x1≠x2，恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2）那么称f(x)是区间I上的(严格)凸函数；如果恒有f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2）那么称f(x)是区间上的(严格)凹函数。
实函数或虚函数
实函数（Real function），指定义域和值域均为实数域的函数。实函数的特性之一是可以在坐标上画出图形。 虚函数是面向对象程序设计中的一个重要的概念。当从父类中继承的时候，虚函数和被继承的函数具有相同的签名。但是在运行过程中，运行系统将根据对象的类型，自动地选择适当的具体实现运行。虚函数是面向对象编程实现多态的基本手段。
4.现代函数概念──集合论下的函数
反函数
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y).。反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。 说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。。 ⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义。 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数。。 ⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域（如下表）： 函数y=f(x) 反函数y=f^-1(x) 定义域A C 值域 C A ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。。 开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^-1(x)=x/2-3。 有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a 反函数的应用： 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的： 1．先求出原函数的值域，因为原函数的值域就是反函数的定义域 （我们知道函数的三要素是定义域，值域，对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步） 2．反解x，也就是用y来表示x 3．改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x 4．写出反函数及其定义域 就关系而言，一般是双向的 ，函数也如此，设y=f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）=y，这是一个由y找x的过程 ，即x成了y的函数，记为x=f -1（y）。则f -1为f的反函数。习惯上用x表示自变量，故这个函数仍记为y=f -1（x），例如 y=sinx与y=arcsinx 互为反函数。在同一坐标系中，y=f（x）与y=f -1（x）的图形关于直线y=x对称。
隐函数
若能由方程F（x，y）=0 确定y为x的函数y=f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数。 注意：此处为方程F（x,y ）= 0 并非函数。 思考：隐函数是否为函数？ 不是，因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”。
多元函数
设点（x1，x2，…，xn） ∈GÍRn，UÍR1 ，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u=f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。 基本初等函数及其图像 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。 ①幂函数：y=xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，+∞），μ为负整数时是 （－∞，0）∪（0，+∞）；μ=α(为整数)，当α是奇数时为（－∞，+∞），当α是偶数时为（0，+∞）；μ=p/q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。 ②指数函数：y=ax（a>0 ，a≠1），定义成为（－∞，+∞），值域为（0 ，+∞），a>1 时是严格单调增加的函数（即当x2>x1时，） ，0③对数函数：y=logax（a>0），称a为底 ，定义域为（0，+∞），值域为（－∞，+∞） 。a>1 时是严格单调增加的，0<a<1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数。如图5。 以10为底的对数称为常用对数，简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即<a>自然对数，记作lnx。 ④三角函数：见表2。 正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。 ⑤反三角函数：见表3。双曲正、余弦如图8。 ⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦?（ex+e-x），双曲正切（ex－e-x）/（ex+e-x），双曲余切（ ex+e-x）/（ex－e-x）。
编辑本段按照未知数次数分类
一次函数
一次函数
I、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b（k，b为常数，k≠0） 则称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，即y=kx时，y是x的正比例函数。 II、一次函数的性质： y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即△y/△x=k III、一次函数的图象及性质： 1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表（一般找4-6个点）；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象。（用平滑的曲线连接） 2．性质：在一次函数图象上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。 3． k，b与函数图象所在象限。 当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b>0时，直线必通过一、二象限 当b<0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。 这时，当k>0时，直线只通过一、三象限 当k<0时，直线只通过二、四象限。 IV、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程： y1=kx1+b①和 y2=kx2+b②。 （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 V、在y=kx+b中，两个坐标系必定经过(0,b)和(-b/k,0)两点 VI、一次函数在生活中的应用 1．当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2．当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 反比例函数 形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数的图像为双曲线。 如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。
二次函数
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c (a≠0) （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。） 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a)) 交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和B（x?，0）的抛物线] 其中x1，x2= (-b±√(b^2－4ac))/(2a) 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： ______ h=-b/(2a) k=(4ac-b^2)/(4a) x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a 二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像， 二次函数
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 二次函数标准画法步骤 （在平面直角坐标系上） （1）列表 （2）描点 （3）连线 抛物线的性质 1．抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2．抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4．一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左 当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。 5．常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6．抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 _______ Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） 当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0) 二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax^2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 y=ax^2 y=a(x-h)^2 y=a(x-h)^2+k y=ax^2+bx+c 顶点坐标 (0，0) (h，0) (h，k) (-b/2a，(4ac-b^2)/4a) 对称 轴 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到． 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象 因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)． 3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥-b/2a时，y随x的增大而减小． 4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点） 当△=0．图象与x轴只有一个交点 当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0． 5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a． 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值． 6．用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax^2+bx+c(a≠0)． (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)． (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)． 7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
编辑本段超越函数
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。 三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。 它有六种基本函数： 函数名：正弦 余弦正切 余切正割 余割 符号 sin cos tan cot sec csc 正弦函数 sin（A）=a/h 余弦函数 cos（A）=b/h 正切函数 tan（A）=a/b 余切函数 cot（A）=b/a 正割函数sec(A)=h/b 余割函数 csc (A)=h/a 在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)来表示。
编辑本段幂函数
幂函数的一般形式为y=x^a。 如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。 可以看到： （1）所有的图形都通过（1，1）这点。 （2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 （3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 （4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 （5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。 （6）显然幂函数无界。
函数是一种对应关系。这是函数的本质请记住。（楼上那哥们一二段话可以看下，虽然是复制）
比如举个简单的函数y=x+1 数学中一般把x作为自变量（即用x这个字母表示的，大多数情况），即可以在许可范围内自由取值，如在此函数中x可取值1 2 3 4等任意值，那么当x取定一个值（比如x=1），y也相应取定一个值（y=1+1=2）。y我们一般叫做因变量，即随着x的变化而变化。
函数中还有映射（一个x只能对应一个y，而一个y可对应多个x），定义域（x取值范围），值域（y取值范围）等概念，你才开始学习函数，这些会慢慢接触。好好学。
望采纳O(∩_∩)O~
什么是函数，我是小学生，想了解一下，请简要概括，谢谢！~
【小学阶段】简单方程学过了，比如 x-3=0 . 有未知数的表达式 = 0时，能解出这个未知数的值吧x=3。函数就是把这个含有未知数x的表达式不要认为它必须是 0的。 表达式x-3=1时，这时未知数x=4了; 表达式x-3=2呢？也就是说表达式的值随着未知数x的改变而改变。我们把表达式用y一个字母来表示，也就是它的值： y=x-3. 重复一遍：表达式y的值随着未知数x的改变而改变
【初中阶段】未知数被称为“变量”了。函数定义为：有两个互相关联的变量x,y，y的值随x的值改变而改变，并且每给定一个x的值y都有唯一一个确定的值与之对应，那么y就叫做x的函数，x叫自变量。
【高中阶段】会给出函数的集合定义，会把函数定义会数集上的一种映射。函数是建立在非空数集上的映射。什么是映射，简单的说就是一种对应关系。
【大学阶段】任何一种映射都可以看做函数，并且函数不止是两个变量之间的关系，还有多个变量之间的关系，即多元函数。
你好，给你介绍点方法，自己试着做做吧！
定义介绍
设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数
，其中λ为参数。求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即
L'x(x,y)=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，
L'y(x,y)=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，
φ(x,y)=0
由上述方程组解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。
求极值
求函数f(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=0下的极值
方法（步骤）是：
1.做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ称拉格朗日乘数
2.求L分别对x,y,z,λ求偏导,得方程组,求出驻点P(x,y,z)
如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点唯一,于是最值 可求.
条件极值问题也可以化为无条件极值求解,但有些条件关系比较复杂,代换和运算很繁,而相对来说,“拉格朗日乘数法”不需代换,运算简单一点.这就是优势.
条件φ(x,y,z)一定是个等式，不妨设为φ(x,y,z)=m
则再建一个函数g(x,y,z)=φ(x,y,z)-m
g(x,y,z)=0,以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)
在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为 V的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z， 则水箱容积V=xyz
焊制水箱用去的钢板面积为 S=2xz+2yz+xy
这实际上是求函数 S 在 V 限制下的最小值问题。
这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件
限制下，求函数F的极值
条件极值与无条件极值的区别
条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
例如，求马鞍面 z=x.^2-y.^2+1 被平面XOZ 平面所截的曲线上的最低点。
从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。
必要条件
设在约束条件之下求函数的极值。满足约束条件的点 是函数的条件极值点, 且在该点函数满足隐函数存在条件时, 由方程定隐函数 , 于是点就是一元函数的极限点, 有
代入 , 就有
( 以下 均表示相应偏导数在点 的值 . )
Lagrange乘数法 :
由上述讨论可见 , 函数 在约束条件之下的条件极值点应是方程组
的解.
引进所谓Lagrange函数
( 称其中的实数 为Lagrange乘数 )
则上述方程组即为方程组
因此，解决条件极值通常有两种方法
1）直接的方法是从方程组（1）中解出 并将其表示为 代入 消去 成为变量为 的函数将问题化为函数无条件极值问题；
2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出 来是困难的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘数法，是免去解方程组（1）的困难，将求 的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数的稳定点问题，然后根据所讨论的实际问题的特性判断出哪些稳定点是所求的极值的。
3）在给定的条件下，若是可以将未知数代换或是解出，则可以将条件极值转化为无条件极值，从而避免引入拉格朗日乘数的麻烦。
注意：▽φ(x,y,z)=0 且 φ(x,y,z)=0的点不会被该方法计算到，因此，若求最大值或最小值时，应把这些点列出来并单独计算。
2解题思路
我们知道, 对于"限制条件为等式,x值均为正值"的最大化问题, 满足最大化的x组合一定满足:F(i)(x*)-Σλj Gj(i)(x*)=0, i=1,2,3,.....n, j=1,2,...m. 从这里我们看到,如果限制条件 Gj(x*)=cj 中的 cj 变化 dcj , 如果全部作用于x(i),那么引起的dx(i)=dcj/Gj(i)(x*),从而导致目标方程取值变化dF=F(i)(x*)dcj/Gj(i)(x*)=λj*dcj [注意:对于同一个限制条件j,我们由上一节已经知道必然有: F(i)(x*)/Gj(i)(x*)=F(i')(x*)/Gj(i')(x*)=λj (i不等于i')]. 那么我们得到:λj=dF/dcj.也就是说,拉格朗日乘数其实代表的是cj对最大化目标函数F的边际影响. 虽然这里考虑的是仅仅cj发生变化,我们可以对此加以推广,比如整体的c向量发生变化到 c+dc, dc是一个m-维向量, 那么F的总变化量dF就是Σλj dCj, j=1,2,...m.
举一个具体的实例: 假如一个计划经济体系下,政府实施如前所述的最大化问题(在有限资源如劳动力,自然矿产,人力资本等的限制下使社会整体效用/福利最大化),并已经找到了满足最大化条件的x组合. 假设万能的上帝允许该国的劳动力资源可以额外增加dc1, 那么根据拉格朗日乘数的经济学含义我们知道给整个社会带来的福利将是λ1*dc1. 但是上帝说:要获得这个额外的劳动力资源,你们必须以一定数量的其他资源比如土地来跟我交换,以示公平.那么我们人类政府该拿多少土地来跟上帝换呢?指定该土地数量为dx2,那么由此减少的社会福利是λ2*dc2. 如果λ1*dc1>λ2*dc2,上帝不会答应,如果反之我们不会答应.所以必然有λ1*dc1=λ2*dc2,也就是dc2=(λ1/λ2)dc1. 学过初级微观的朋友马上可以看出,这跟微观经济学中相对价格的概念十分相似.相对价格反映物与物之间的交换价值,即人们愿意怎么样进行物与物的交换.不同的是,这里的价格不是以钱来计算,而是以社会福利来衡量;这里的相对价格λ1/λ2中的λ1和λ2是基于解决社会福利最大化问题而计算出来的,不同于市场中的价格P1,P2. 由于这个原因,我们把λ叫做"影子价格"(shadow price). 如果我们偶尔发现某个市场经济下市场价格之比恰恰等于影子价格之比,我们称这个市场被一双看不见的手所指引,因为该市场居然可以自发调整解决社会福利的最大化问题.
再来考虑"限制条件为非等式"的情况. 我们知道市场价格通常都不可能为零或负数.但是影子价格确不同,它描述的是限制方程右方cj对整体目标函数值的边际影响.在限制条件Gj为非等式的情况下,增加额外的cj不一定就意味着目标函数值的增加.比如, 限制条件为"社会某消费产品不得高于cj",目标函数为投资量.如果cj提高,那么消费该产品增加,导致投资量减少,目标函数值减少.这时影子价格就是一个负值.再比如,目标函数为产量,限制条件为"同时参加劳动的工人数量不得高于cj".如果cj增加,那么同时劳动的工人数量增加,可能导致劳动力边际产量递减效应的发生,这时总产量可能不增反降.这时我们情愿不增加工人;换句话说,我们情愿把一些资源放在一旁不予利用(free dsiposal).这时候再增加这些劳动力资源,对总产量已经没有作用了,所以影子价格为零. 事实上,根据前一节所述的库恩-塔克定理,这一点是很明显的.库恩-塔克定理说,满足最大化问题解的x一定使得下面的条件满足:
Lλ(x, λ)>=0, λ>=0, 互补松散
就是说,如果Lλ(x, λ)=c-G(x*)>0, 那么说明有资源余缺闲置,这时λ=0.如果Lλ(x, λ)=c-G(x*)=0,那么说明资源全部被使用,其边际效用λ>0.
注意:这里我们通过对拉格朗日乘数的解释考查了cj的微小变动dcj对目标函数最大值的变化的影响,这就是开篇所说的比较静态研究--研究参数θ的变化对最大值的影响.所以我们在进行比较静态研究的时候必须把目标函数看成是同时关于x和参数θ的函数. 基于这一点,我们从另一个角度来看λ的确定. 考察参数cj,如果cj变化一点点到cj+dcj,那么相应地最佳组合x*变动到x*+dx*,最大目标值也由F(x*)变化为F(x*+dx*).由泰勒一阶展开我们得到: dF=F(x*+dx*)-F(x*)=Fx(x*)dx*+Fcj(x*)dcj.根据拉格朗日乘数法一阶必要条件,我们有:Fx(x*)=λj Gx(x*),所以dF=λj Gx(x*)dx*+Fcj(x*)dcj=λj Gx(x*)dx*,我们又知道根据限制条件方程G(x*)=cj,在cj变化到cj+dcj的过程中,Gx(x*)dx*=dcj,所以dF=λj dcj.同样推导出了λ的定义式. 更一般地,如果F和G都是关于x和参数θ的函数,如果参数θ变动到θ+dθ,x随之变动到x+dx,那么:
dF=F(x+dx,θ+dθ)-F(x,θ)=Fx(x,θ)dx+Fθ(x,θ)dθ=λGx(x,θ)dx+Fθ(x,θ)dθ...(1)
由于G是关于x和θ的函数G(x,θ)=c,所以在θ变化的过程中始终有
Gx(x,θ)dx+Gθ(x,θ)dθ=dc...................................................(2)
代入(1)式,我们得到:
dF=λdc -λGθ(x,θ)dθ+Fθ(x,θ)dθ=Lθ(x,λ,θ)dθ+λdc....................(3)
这就是最一般化的比较静态公式.我们在研究影子价格λ的时候,没有考虑任何参数θ的变化,所以公式(3)的第一项为零,这样dF=λdc.反之,我们在某些情况下不考虑c的变化,而侧重于参数θ的变化,这时公式(3)变化为: dF=Lθ(x,λ,θ)dθ.如果只有函数F跟θ有关,而G跟θ无关,那么公式(3)简化为dF=Fθ(x,θ)dθ. 注意:1. 在参数θ变化的过程中,θ-->θ+dθ,x-->x+dx,但是对目标函数值的影响却只要考虑拉格朗日函数对θ的偏微分,而且该偏微分在原来最优点x处取值.这是我们用泰勒一阶展开应该得到的结论. 2.这里的x虽然没有标上星号*,但不言自明的是它们都应该是最优组合,而且它们也都是关于参数θ的函数x(θ). 如果我们把最大化了的F定义成一个新函数最优目标方程V(θ),那么由刚刚推导出来的公式(3): dF=Fθ(x,θ)dθ 我们有 Vθ(θ)=Fθ(x(θ),θ). 再次提醒注意,这里的x(θ)是满足最大化条件的最优点.如果我们再定义一个普通目标函数F(x',θ),但是这里的x'是任意值,不一定是最优点x(θ).假设对应这个x'的能使 F 函数值最大的θ是θ'.那么V(θ)在θ'点处的斜率为:Vθ(θ')=Fθ(x(θ'),θ'). 但我们知道,x(θ')=x'.所以Fθ(x(θ'),θ')=Fθ(x',θ').而后者就是函数F(x',θ)在点θ'的斜率.这就是说,函数V(θ)和函数F(x',θ)在点(x',θ')处的斜率相等. 这个结论对于x'取任意一个固定值都是成立的,所以从几何图形上来看,见图示,最优目标函数V(θ)把普通目标函数曲线族紧紧包围住.因此,dF=Fθ(x,θ)dθ 往往又称为"包络定理"(envelope theorem). 微观经济学里面的短期成本和长期成本之间的关系就是符合信封定理的,因为这里的成本都是满足了成本最小化之后的成本。
均衡原则
微观经济学研究消费者行为时，所要阐述的核心问题是消费者均衡的原则。所谓消费者均衡指的是一个有理性的消费者所采取的均衡购买行为。进一步说，它是指保证消费者实现效用最大化的均衡购买行为。
但人的需要或欲望是无限的，而满足需要的手段是有限的。所以微观经济学所说的效用最大化只能是一种有限制的效用最大化。而这种限制的因素就是各种商品的价格和消费者的货币收入水平。
首先，我们先引入一些名词解释:
总效用(TU):消费者在一定时间内消费一定数量某种商品或商品组合所得到的总的满足。
边际效用(MU):消费者在所有其它商品的消费水平保持不变时，增加消费一单位某种商品所带来的满足程度的增加，也就是说指增加一单位某种商品所引起的总效用的增加。
商品数量(Q)，商品价格(P), 收入(I)
边际效用的公式表达为:MU=∂TU/∂Q
那么如何才能实现在制约条件下效用最大化的商品组合呢？
就是当消费者把全部收入用于购买各种商品时，他从所购买的每一种商品所得到的边际效用与其价格的比例都相同，这样的商品组合就是最佳的或均衡的商品组合。
假设当消费者选择两种商品x,y时，消费者均衡原则的公式表达为:
MUx/Px = MUy/Py("/"为分数线）
制约条件的公式表达式为:I=Px∙Qx+Py∙Qy。那么这一结论是如何推导出来的呢？解决这一问题最直接的方法就是拉格朗日乘数法。
上面说到：在利用偏导数求多元函数的极值时，若函数的自变量有附加条件，则称之为条件极值。这时，可用拉格朗日乘数法求条件极值。具体方法如下:
设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数L(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y)，其中λ为参数。求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即
L'x(x,y)=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，
L'y(x,y)=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，
φ(x,y)=0
套用到微观经济学里面：设效用函数U(Qx,Qy),为使它在制约条件下取得极值，首先建立拉格朗日函数:L=U(Qx,Qy)+λ( I-Px∙Qx-Py∙Qy)，λ为参数。求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件连立。
即
∂L/∂Qx=∂U/∂Qx-λPx=0 ⑴
∂L/∂Qy=∂U/∂Qy-λPy=0 ⑵
I-Px∙Qx-Py∙Qy=0 ⑶
将方程⑴除以方程⑵，得:
∂U/∂Qx ‗ Px 即 MUx ‗ MUy
∂U/∂Qy Py PX Py
所以，消费者要实现两种商品的效用最大化，边际效用的比率应该等于价格比率。
以上是关于x和y两种商品所说的，是否同样适用于多种商品呢？答案是肯定的。如果消费者在n种商品中做出选择，则消费者均衡的原则可表达为:
MU1 ‗ MU2 ‗ MU3 ‗ … ‗ MUn
P1 P2 P3 Pn
这一结论同样可用拉格朗日乘数法证明。
拉格朗日乘数法可推广到求n元函数ƒ(x1,x2,…,xn)在m个附加条件φ(x1,x2,…,xn)下的条件极值。
方法如下:
m
⑴做拉格朗日函数L(x1,x2,…,xn)=ƒ(x1,x2,…,xn)+ ∑λiφi(x1,…x2);
i=1
⑵求L(x1,…xn)关于x1,…xn的偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即
m
L'xi==ƒ'xi+ ∑λiφ'i=0 ,i=1,2,…,n
i=1
φk(x1,x2,…,xn)=0 ,k=1,2,…,n
求解此方程组，可得到极值点。
回到我们的问题中，设效用函数U(Qx1,Qx2,…Qxn),为使它在制约条件下取得极值,首先建立拉格朗日函数:
L=U(Qx1,Qx2,…Qxn )+λ(I-Px1∙Qx1-P2∙Qy2-…-Pxn∙Qxn)，λ为参数。求L(x1,x2,…xn)对x1,…,xn的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立。
即
∂L/∂Qx1=∂U/∂Qx1-λPx1=0 （1）
∂L/∂Qx2=∂U/∂Qx2-λPx2=0 （2）
…… …
∂L/∂Qxn=∂U/∂Qxn-λPxn=0 （n）
I-Px1∙Qx1-P2∙Qy2-…-Pxn∙Qxn
将方程⑴到(n)相除，即得，
MUx1 ‗ MUx2 ‗ … ‗ MUxn
Px1 Px2 Pn
所以，消费者要实现n种商品的效用最大化，边际效用的比率应该等于价格比率。
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