七年级上册数学难题100题，要有答案的 求100道初一上学期数学难题（带答案）
1．已知4x2n-5+5=0是关于x的一元一次方程，则n=_______．
2．若x=-1是方程2x-3a=7的解，则a=_______．
3．当x=______时，代数式 x-1和 的值互为相反数．
4．已知x的 与x的3倍的和比x的2倍少6，列出方程为________．
5．在方程4x+3y=1中，用x的代数式表示y，则y=________．
6．某商品的进价为300元，按标价的六折销售时，利润率为5%，则商品的标价为____元．
7．已知三个连续的偶数的和为60，则这三个数是________．
8．一件工作，甲单独做需6天完成，乙单独做需12天完成，若甲、乙一起做，则需________天完成．
二、选择题．（每小题3分，共30分）
9．方程2m+x=1和3x-1=2x+1有相同的解，则m的值为（ ）．
A．0 B．1 C．-2 D．-
10．方程│3x│=18的解的情况是（ ）．
A．有一个解是6 B．有两个解，是±6
C．无解 D．有无数个解
11．若方程2ax-3=5x+b无解，则a，b应满足（ ）．
A．a≠ ，b≠3 B．a= ，b=-3
C．a≠ ，b=-3 D．a= ，b≠-3
12．把方程 的分母化为整数后的方程是（ ）．
13．在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑260米，两人同地、同时、同向起跑，t分钟后第一次相遇，t等于（ ）．
A．10分 B．15分 C．20分 D．30分
14．某商场在统计今年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加了10%，三月份比二月份减少了10%，则三月份的销售额比一月份的销售额（ ）．
A．增加10% B．减少10% C．不增也不减 D．减少1%
15．在梯形面积公式S= （a+b）h中，已知h=6厘米，a=3厘米，S=24平方厘米，则b=（ ）厘米．
A．1 B．5 C．3 D．4
16．已知甲组有28人，乙组有20人，则下列调配方法中，能使一组人数为另一组人数的一半的是（ ）．
A．从甲组调12人去乙组 B．从乙组调4人去甲组
C．从乙组调12人去甲组
D．从甲组调12人去乙组，或从乙组调4人去甲组
17．足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分，一个队打了14场比赛，负了5场，共得19分，那么这个队胜了（ ）场．
A．3 B．4 C．5 D．6
18．如图所示，在甲图中的左盘上将2个物品取下一个，则在乙图中右盘上取下几个砝码才能使天平仍然平衡？（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
三、解答题．（19，20题每题6分，21，22题每题7分，23，24题每题10分，共46分）
19．解方程： -9.5．
20．解方程： （x-1）- （3x+2）= - （x-1）．
21．如图所示，在一块展示牌上整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片的大小相同，卡片之间露出了三块正方形的空白，在图中用斜线标明．已知卡片的短边长度为10厘米，想要配三张图片来填补空白，需要配多大尺寸的图片．
22．一个三位数，百位上的数字比十位上的数大1，个位上的数字比十位上数字的3倍少2．若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是1171，求这个三位数．
23．据了解，火车票价按“ ”的方法来确定．已知A站至H站总里程数为1500千米，全程参考价为180元．下表是沿途各站至H站的里程数：
车站名 A B C D E F G H
各站至H站
里程数（米） 1500 1130 910 622 402 219 72 0
例如：要确定从B站至E站火车票价，其票价为 =87.36≈87（元）．
（1）求A站至F站的火车票价（结果精确到1元）．
（2）旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着车票问乘务员：“我快到站了吗？”乘务员看到王大妈手中的票价是66元，马上说下一站就到了．请问王大妈是在哪一站下的车（要求写出解答过程）．
24．某公园的门票价格规定如下表：
购票人数 1~50人 51~100人 100人以上
票 价 5元 4.5元 4元
某校初一甲、乙两班共103人（其中甲班人数多于乙班人数）去游该公园，如果两班都以班为单位分别购票，则一共需付486元．
（1）如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少钱？
（2）两班各有多少名学生？（提示：本题应分情况讨论）
答案:
一、1．3
2．-3 （点拨：将x=-1代入方程2x-3a=7，得-2-3a=7，得a=-3）
3． （点拨：解方程 x-1=- ，得x= ）
4． x+3x=2x-6 5．y= - x
6．525 （点拨：设标价为x元，则 =5%，解得x=525元）
7．18，20，22
8．4 [点拨：设需x天完成，则x（ + ）=1，解得x=4]
二、9．D
10．B （点拨：用分类讨论法：
当x≥0时，3x=18，∴x=6
当x<0时，-3=18，∴x=-6
故本题应选B）
11．D （点拨：由2ax-3=5x+b，得（2a-5）x=b+3，欲使方程无解，必须使2a-5=0，a= ，b+3≠0，b≠-3，故本题应选D．）
12．B （点拨；在变形的过程中，利用分式的性质将分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，将小数方程变为整数方程）
13．C （点拨：当甲、乙两人再次相遇时，甲比乙多跑了800米，列方程得260t+800=300t，解得t=20）
14．D
15．B （点拨：由公式S= （a+b）h，得b= -3=5厘米）
16．D 17．C
18．A （点拨：根据等式的性质2）
三、19．解：原方程变形为
200（2-3y）-4.5= -9.5
∴400-600y-4.5=1-100y-9.5
500y=404
∴y=
20．解：去分母，得
15（x-1）-8（3x+2）=2-30（x-1）
∴21x=63
∴x=3
21．解：设卡片的长度为x厘米，根据图意和题意，得
5x=3（x+10），解得x=15
所以需配正方形图片的边长为15-10=5（厘米）
答：需要配边长为5厘米的正方形图片．
22．解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为3x-2，百位上的数字为x+1，故
100（x+1）+10x+（3x-2）+100（3x-2）+10x+（x+1）=1171
解得x=3
答：原三位数是437．
23．解：（1）由已知可得 =0.12
A站至H站的实际里程数为1500-219=1281（千米）
所以A站至F站的火车票价为0.12×1281=153.72≈154（元）
（2）设王大妈实际乘车里程数为x千米，根据题意，得 =66
解得x=550，对照表格可知，D站与G站距离为550千米，所以王大妈是在D站或G站下的车．
24．解：（1）∵103>100
∴每张门票按4元收费的总票额为103×4=412（元）
可节省486-412=74（元）
（2）∵甲、乙两班共103人，甲班人数>乙班人数
∴甲班多于50人，乙班有两种情形：
①若乙班少于或等于50人，设乙班有x人，则甲班有（103-x）人，依题意，得
5x+4.5（103-x）=486
解得x=45，∴103-45=58（人）
即甲班有58人，乙班有45人．
②若乙班超过50人，设乙班x人，则甲班有（103-x）人，
根据题意，得
4.5x+4.5（103-x）=486
∵此等式不成立，∴这种情况不存在．
故甲班为58人，乙班为45人．
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3.2 解一元一次方程（一）
——合并同类项与移项
【知能点分类训练】
知能点1 合并与移项
1．下面解一元一次方程的变形对不对？如果不对，指出错在哪里，并改正．
（1）从3x-8=2，得到3x=2-8; （2）从3x=x-6，得到3x-x=6.
2．下列变形中：
①由方程 =2去分母，得x-12=10;
②由方程 x= 两边同除以 ，得x=1;
③由方程6x-4=x+4移项，得7x=0;
④由方程2- 两边同乘以6，得12-x-5=3（x+3）.
错误变形的个数是（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
3．若式子5x-7与4x+9的值相等，则x的值等于（ ）．
A．2 B．16 C． D．
4．合并下列式子，把结果写在横线上．
（1）x-2x+4x=__________; （2）5y+3y-4y=_________;
（3）4y-2.5y-3.5y=__________．
5．解下列方程．
（1）6x=3x-7 （2）5=7+2x
（3）y- = y-2 （4）7y+6=4y-3
6．根据下列条件求x的值:
（1）25与x的差是-8． （2）x的 与8的和是2．
7．如果方程3x+4=0与方程3x+4k=8是同解方程，则k=________．
8．如果关于y的方程3y+4=4a和y-5=a有相同解，则a的值是________．
知能点2 用一元一次方程分析和解决实际问题
9．一桶色拉油毛重8千克，从桶中取出一半油后，毛重4.5千克，桶中原有油多少千克？
10．如图所示，天平的两个盘内分别盛有50克，45克盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内，才能使两盘内所盛盐的质量相等．
11．小明每天早上7：50从家出发，到距家1000米的学校上学，每天的行走速度为80米/分．一天小明从家出发5分后，爸爸以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时距离学校有多远？
【综合应用提高】
12．已知y1=2x+8，y2=6-2x．
（1）当x取何值时，y1=y2? （2）当x取何值时，y1比y2小5?
13．已知关于x的方程 x=-2的根比关于x的方程5x-2a=0的根大2，求关于x的方程 -15=0的解．
【开放探索创新】
14．编写一道应用题，使它满足下列要求：
（1）题意适合一元一次方程 ；
（2）所编应用题完整，题目清楚，且符合实际生活．
【中考真题实战】
15．（江西）如图3-2是某风景区的旅游路线示意图，其中B，C，D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程（单位：千米）．一学生从A处出发，以2千米/时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0．5小时．
（1）当他沿路线A—D—C—E—A游览回到A处时，共用了3小时，求CE的长．
（2）若此学生打算从A处出发，步行速度与各景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（不考虑其他因素）．
答案:
1．（1）题不对，-8从等号的左边移到右边应该改变符号，应改为3x=2+8．
（2）题不对，-6在等号右边没有移项，不应该改变符号，应改为3x-x=-6．
2．B [点拨：方程 x= ，两边同除以 ，得x= ）
3．B [点拨：由题意可列方程5x-7=4x+9，解得x=16）
4．（1）3x （2）4y （3）-2y
5．（1）6x=3x-7，移项，得6x-3x=-7，合并，得3x=-7，系数化为1，得x=- ．
（2）5=7+2x，即7+2x=5，移项，合并，得2x=-2，系数化为1，得x=-1．
（3）y- = y-2，移项，得y- y=-2+ ，合并，得 y=- ，系数化为1，得y=-3．
（4）7y+6=4y-3，移项，得7y-4y=-3-6， 合并同类项，得3y=-9，
系数化为1，得y=-3．
6．（1）根据题意可得方程：25-x=-8，移项，得25+8=x，合并，得x=33．
（2）根据题意可得方程： x+8=2，移项，得 x=2-8，合并，得 x=-6，
系数化为1，得x=-10．
7．k=3 [点拨：解方程3x+4=0，得x=- ，把它代入3x+4k=8，得-4+4k=8，解得k=3]
8．19 [点拨：∵3y+4=4a，y-5=a是同解方程，∴y= =5+a，解得a=19]
9．解：设桶中原有油x千克，那么取掉一半油后，余下部分色拉油的毛重为（8-0.5x）千克，由已知条件知，余下的色拉油的毛重为4.5千克，因为余下的色拉油的毛重是一个定值，所以可列方程8-0.5x=4.5．
解这个方程，得x=7．
答：桶中原有油7千克．
[点拨：还有其他列法]
10．解：设应该从盘A内拿出盐x克，可列出表格：
盘A 盘B
原有盐（克） 50 45
现有盐（克） 50-x 45+x
设应从盘A内拿出盐x克放在盘B内，则根据题意，得50-x=45+x．
解这个方程，得x=2.5，经检验，符合题意．
答：应从盘A内拿出盐2.5克放入到盘B内．
11．解：（1）设爸爸追上小明时，用了x分，由题意，得
180x=80x+80×5，
移项，得100x=400．
系数化为1，得x=4．
所以爸爸追上小明用时4分钟．
（2）180×4=720（米），1000-720=280（米）．
所以追上小明时，距离学校还有280米．
12．（1）x=-
[点拨：由题意可列方程2x+8=6-2x，解得x=- ]
（2）x=-
[点拨：由题意可列方程6-2x-（2x+8）=5，解得x=- ]
13．解：∵ x=-2，∴x=-4．
∵方程 x=-2的根比方程5x-2a=0的根大2，
∴方程5x-2a=0的根为-6．
∴5×（-6）-2a=0，∴a=-15．
∴ -15=0．
∴x=-225．
14．本题开放，答案不唯一．
15．解：（1）设CE的长为x千米，依据题意得
1.6+1+x+1=2（3-2×0.5）
解得x=0.4，即CE的长为0.4千米．
（2）若步行路线为A—D—C—B—E—A（或A—E—B—C—D—A），
则所用时间为 （1.6+1+1.2+0.4+1）+3×0.5=4.1（小时）；
若步行路线为A—D—C—E—B—E—A（或A—E—B—E—C—D—A），
则所用时间为 （1.6+1+0.4+0.4×2+1）+3×0.5=3.9（小时）．
故步行路线应为A—D—C—E—B—E—A（或A—E—B—E—C—D—A）．
七年级上册数学难题100题，要有答案的~
1．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
2．兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？
3．将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米， ≈3.14）．
4．有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．
5．有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5，这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？
6．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件．
7．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费．
（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．
（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦？应交电费是多少元？
8．某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
答案
1．解：设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作．
根据题意，得 × +（ + ）x=1
解这个方程，得x=
=2小时12分
答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作．
2．解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，
则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．
由题意，得2×（9+x）=15+x
18+2x=15+x，2x-x=15-18
∴x=-3
答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．
（点拨：-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3年后具有相反意义的量）
3．解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得
·（ ）2x=300×300×80
x≈229.3
答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米．
4．解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为 分．
过完第二铁桥所需的时间为 分．
依题意，可列出方程
+ =
解方程x+50=2x-50
得x=100
∴2x-50=2×100-50=150
答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米．
5．解：设这种三色冰淇淋中咖啡色配料为2x克，
那么红色和白色配料分别为3x克和5x克．
根据题意，得2x+3x+5x=50
解这个方程，得x=5
于是2x=10，3x=15，5x=25
答：这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是10克，15克和25克．
6．解：设这一天有x名工人加工甲种零件，
则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）个．
根据题意，得16×5x+24×4（16-x）=1440
解得x=6
答：这一天有6名工人加工甲种零件．
7．解：（1）由题意，得
0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72
解得a=60
（2）设九月份共用电x千瓦时，则
0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x
解得x=90
所以0.36×90=32.40（元）
答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．
8．解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，
设购A种电视机x台，则B种电视机y台．
（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程
1500x+2100（50-x）=90000
即5x+7（50-x）=300
2x=50
x=25
50-x=25
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，
可得方程1500x+2500（50-x）=90000
3x+5（50-x）=1800
x=35
50-x=15
③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．
可得方程2100y+2500（50-y）=90000
21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意
由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
（2）若选择（1）中的方案①，可获利
150×25+250×15=8750（元）
若选择（1）中的方案②，可获利
150×35+250×15=9000（元）
9000>8750 故为了获利最多，选择第二种方案．
你是什么教材
如果可以我帮你
初一奥数练习题一
甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？
S的末四位数字的和是多少？
4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．
5．求和：
6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．
8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除．
9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．
解答：
所以 x=5000(元)．
所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．
3．因为
a-b≥0，即a≥b．即当b
≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．
4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则
有
由②有2x+y=20， ③
由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20．
所以 x=8(千米)，于是y=4(千米)．
5．第n项为
所以
6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．
7．设
由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即
(4-m)pq+1=2(p+q)．
可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．
(1)若m=1时，有
解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．
(2)若m=2时，有
因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．
(3)若m=3时，有
解之得
故 p＋q=8．
8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．
9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以
上述两式相加
另一方面，
S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．
因此只需证明
S△AND＝S△CNP＋S△DNP．
由于M，N分别为AC，BD的中点，所以
S△CNP=S△CPM-S△CMN
=S△APM-S△AMN
=S△ANP．
又S△DNP=S△BNP，所以
S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．
初一奥数练习题二
1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．
2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？
3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：DA⊥AB．
4．已知方程组
的解应为
一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为
求a2＋b2＋c2的值．
5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．
6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22％)
7．对k，m的哪些值，方程组 至少有一组解？
8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．
9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？
解答：
1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003．
2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但每天卖出为(100-10x)件．如果设每天获利为y元，则
y ＝(4＋x)(100-10x)=400＋100x-40x-10x2=-10(x2-6x＋9)＋90＋400=-10(x-3)2＋490．
所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．
3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(图1－104)，所以
∠ADC＋∠BCD=180°，
所以 AD∥BC．① 又因为 AB⊥BC，②
由①，② AB⊥AD．
4．依题意有
所以 a2+b2+c2=34．
5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，
所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．
因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以
所以有
6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则
因为 y=35000-x，
所以 x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，
所以 1.3433x＋48755-1.393x=47761，
所以 0.0497x=994，
所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)．
7．因为 (k－1)x＝m-4， ①
m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解．
当k=1，m≠4时，①无解．
所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．
8．由题设方程得
z＝3m-y．
x=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m．
原方程的通解为 其中n，m取任意整数值．
9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则
消去y，得12x-5z=180．它的解是x=90-5t，z=180-12t．
代入原方程，得y=-230＋17t．故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．
x=20，y=8，z=12．
因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．
初一奥数练习题三
1．解关于x的方程
2．解方程
其中a＋b＋c≠0．
3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．
4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．
5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．
6．设P是△ABC内一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围．
7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离．
8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？
9．设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且
求证：n是4的倍数．
解答：
1．化简得6(a-1)x=3-6b+4ab，当a≠1时，
2．将原方程变形为
由此可解得x=a＋b+c．
3．当x=1时，(8-6+4-7)3(2-1)2=1．即所求展开式中各项系数之和为1．
依题意得
去分母、化简得7x2-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，
5．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以[-1.77x]=[-2x＋0.23x]=-2x+[0.23x]．
由已知[-1.77x]=-2x，所以-2x=-2x+[0.23x]， 所以 [0.23x]=0．
又因为x为自然数，所以0≤0.23x＜1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个．
6．如图1－105所示．在△PBC中有BC＜PB＋PC， ①
延长BP交AC于D．易证PB＋PC＜AB＋AC． ②
由①，② BC＜PB＋PC＜AB+AC， ③
同理 AC＜PA＋PC＜AC＋BC， ④
AB＜PA＋PB＜AC＋AB． ⑤
③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．
所以
7．设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千
米．依题意得
由①得16y2=9x2， ③
由②得16y=24＋9x，将之代入③得
即 (24＋9x)2=(12x)2．解之得
于是
所以两站距离为9×8＋16×6=168(千米)．
8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数．
。
又因为
所以，k是偶数，从而n是4的倍数．
初一奥数练习题四
1．已知a，b，c，d都是正数，并且a＋d＜a，c＋d＜b．
求证：ac＋bd＜ab．
2．已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍．因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍．调价后，甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了2％，求乙种商品提价的百分数．
3．在锐角三角形ABC中，三个内角都是质数．求三角形的三个内角．
4．某工厂三年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半，求原计划每年各生产多少台？
z=｜x+y｜+｜y+1｜+｜x-2y+4｜，
求z的最大值与最小值．
8．从1到500的自然数中，有多少个数出现1或5？
9．从19，20，21，…，98这80个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶数的选法有多少种？
解答：
1．由对称性，不妨设b≤a，则ac＋bd≤ac＋ad=a(c＋d)＜ab．
2．设乙种商品原单价为x元，则甲种商品的原单价为1.5x元．设甲商品降价y％，则乙商品提价2y％．依题意有1.5x(1-y％)+x(1＋2y％)=(1.5x＋x)(1＋2％)，
化简得1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02． 所以y=0.1=10％，
所以甲种商品降价10％，乙种商品提价20％．
3．因为∠A+∠B＋∠C=180°，所以∠A，∠B，∠C中必有偶数．唯一的偶质数为2，所以∠C=2°．所以∠A+∠B=178°．由于需∠A，∠B为奇质数，这样的解不唯一，如
4．设每年增产d千台，则这三年的每一年计划的千台数分别为a-d，a，a＋d依题意有
解之得
所以三年产量分别是4千台、6千台、8千台．
不等式组：
所以 x＞2；
无解．
6．设原式为S，则
所以
又
＜0.112-0.001=0.111．
因为
所以 =0.105．
7．由｜x｜≤1，｜y｜≤1得 -1≤x≤1，-1≤y≤1．
所以y＋1≥0，x-2y+4≥-1-2×1+4=1＞0．
所以z=｜x+y｜+(y+1)+(x-2y+4)=｜x+y｜＋x-y＋5．
(1)当x+y+≤0时，z=-(x+y)＋x-y+5=5-2y．
由-1≤y≤1可推得3≤5-2y≤7，所以这时，z的最小值为3、最大值为7．
(2)当x+y＞0时，z=(x＋y)+(x-y+5)=2x+5．
由-1≤x≤1及可推得3≤2x+5≤7，所以这时z的最小值为3、最大值为7．
由(1)，(2)知，z的最小值为3，最大值为7．
8．百位上数字只是1的数有100，101，…，199共100个数；十位上数字是1或5的(其百位上不为1)有2×3×10=60(个)．个位上出现1或5的(其百位和十位上都不是1或5)有2×3×8=48(个)．再加上500这个数，所以，满足题意的数共有
100+60+48+1=209(个)．
9．从19到98共计80个不同的整数，其中有40个奇数，40个偶数．第一个数可以任选，有80种选法．第一个数如果是偶数，第二个数只能在其他的39个偶数中选取，有39种选法．同理，第一个数如果是奇数，第二个数也有39种选法，但第一个数为a，第二个为b与第一个为b，第二个为a是同一种选法，所以总的选法应该折半，即共有
种选法．
初一奥数练习题五
1．一项任务，若每天超额2件，可提前计划3天完工，若每天超额4件，可提前5天完工，试求工作的件数和原计划完工所用的时间．
2．已知两列数
2，5，8，11，14，17，…，2＋(200-1)×3，
5，9，13，17，21，25，…，5＋(200-1)×4，
它们都有200项，问这两列数中相同的项数有多少项？
3．求x3-3px＋2q能被x2＋2ax＋a2整除的条件．
4．证明不等式
5．若两个三角形有一个角对应相等．求证：这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比．
6．已知(x-1)2除多项式x4＋ax3-3x2＋bx＋3所得的余式是x+1，试求a，b的值．
7．今有长度分别为1，2，3，…，9的线段各一条，可用多少种不同方法，从中选用若干条，使它们能围成一个正方形？
8．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的．问：这10条直线最多能把平面分成多少部分？
9．边长为整数，周长为15的三角形有多少个？
解答：
1．设每天计划完成x件，计划完工用的时间为y天，则总件数为xy件．依题意得
解之得
总件数xy=8×15=120(件)，即计划用15天完工，工作的件数为120件．
2．第一列数中第n项表示为2＋(n-1)×3，第二列数中第m项表示为5＋(m-1)×4．要使2＋(n-1)×3＝5+(m-1)×4．
所以
因为1≤n≤200，所以
所以 m=1，4，7，10，…，148共50项．
3．
x3-3px+2q被x2＋2ax＋a2除的余式为3(a2-p)x＋2(q＋a3)，
所以所求的条件应为
4．令
因为
所以
5．如图1-106(a)，(b)所示．△ABC与△FDE中，
∠A=∠D．现将△DEF移至△ABC中，使∠A与∠D重合，DE=AE＇，DF=AF＇，连结F＇B．此时，△AE＇F＇的面积等于三角形DEF的面积．
①×②得
6．不妨设商式为x2+α·x＋β．由已知有
x4＋ax3-3x2＋bx＋3
=(x-1)2(x2+α·x＋β)+(x＋1)
=(x2-2x＋1)(x2＋α· x＋β)＋x＋1
=x4+(α-2)x3+(1-2α＋β)x2＋(1＋α-2β)x＋β+1．
比较等号两端同次项的系数，应该有
只须解出
所以a=1，b=0即为所求．
7．因为
所以正方形的边长≤11．
下面按正方形边的长度分类枚举：
(1)边长为11：9＋2=8+3=7＋4=6+5，
可得1种选法．
(2)边长为10：9＋1=8＋2=7＋3=6+4，
可得1种选法．
(3)边长为9：9=8+1=7+2=6+3=5+4，
可得5种选法．
(4)边长为8：8=7+1=6+2=5+3，
可得1种选法．
(5)边长为7：7=6+1=5＋2=4＋3，
可得1种选法．
(6)边长≤6时，无法选择．
综上所述，共有1+1+5+1+1=9
种选法组成正方形．
8．先看6条不平行的直线，它们最多将平面分成
2+2＋3+4+5＋6=22个部分．
现在加入平行线．加入第1条平行线，它与前面的6条直线最多有6个交点，它被分成7段，每一段将原来的部分一分为二，故增加了7个部分．加入第2，第3和第4条平行线也是如此，即每加入一条平行线，最多增加7个部分．因此，这些直最多将平面分成
22+7×4=50
个部分．
9．不妨设三角形的三边长a，b，c满足a≥b≥c．由b＋c＞a，a＋b＋c=15，a≥b≥c可得，15=a＋(b＋c)＞2a，所以a≤7．又15=a+b＋c≤3a，故a≥5．于是a=5，6，7．当a=5时，b＋c=10，故b=c=5；当a=b时，b＋c=9．于是b=6，c=3，或b=5，c=4；当a=7时，b+c=8，于是b=7，c=1，或b=6，c=2，或b=5，c=3，或b=4，c=4．
所以，满足题意的三角形共有7个．
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