如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式
www.zhiqu.org 时间： 2024-06-16
1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．
2．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值
和计算．
【学法指导】
1．推导和牢记同角三角函数间的基本关系是进行三角函数式
恒等变形的基础和前提．
sin
α
2
2
2．要注意公式sin
α＋cos
α＝1及tan
α＝
的直接使用，公式逆
cos
α
用，公式变形用．利用平方关系sin2α＋cos2α＝1求值时，要注
意符号的选择．
3．已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值可以运用基本关系
式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功
能．在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边所在的
象限，有时由于角的象限不确定，因此解的情况不止一种.
填一填·知识要点、记下疑难点
1.2.3（一）
1．同角三角函数的基本关系式
本
课
时
栏
目
开
关
2
2
(1)平方关系：
sin
α＋cos
α＝1
.
sin
α
π
tan
α＝cos
α
(α≠kπ＋2，k∈Z)
(2)商数关系：
．
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1
的变形公式：
2
1－cos2α
；cos2α＝
1－sin2α
；
sin
α＝
sin
α
(2)tan
α＝
的变形公式：
cos
α
sin
α
sin
α＝
cos
αtan
α
；cos
α＝
tan
α
.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2.3（一）
探究点一
本
课
时
栏
目
开
关
利用任意角三角函数的概念推导平方关系和商数
关系
利用任意角的三角函数的定义证明同角三角函数的平方
问题
1
关系和商数关系．
答
设点
P(x，y)为
α
终边上任意一点，P
与
O
不重合．P
到原
y
x
y
2
2
点的距离为
r＝
x
＋y
>0，则
sin
α＝r
，cos
α＝r
，tan
α＝x.
y
2
2
y
2
x
2
y
＋x
sin
α
r
y
2
2
于是
sin
α＋cos
α＝(r
)
＋(r
)
＝
r2
＝1，cos
α＝x＝x＝tan
α.
r
sin
α
2
2
即
sin
α＋cos
α＝1，tan
α＝
.
cos
α
~
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(19893741817)： 1.与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,按照一切从定义出发的原则进行的.通过对基本关系式的推导,应注意学生重视对基本概念学习的良好行为习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,...
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恒等变形的基础和前提．
sin
α
2
2
2．要注意公式sin
α＋cos
α＝1及tan
α＝
的直接使用，公式逆
cos
α
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象限，有时由于角的象限不确定，因此解的情况不止一种.
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1.2.3（一）
1．同角三角函数的基本关系式
本
课
时
栏
目
开
关
2
2
(1)平方关系：
sin
α＋cos
α＝1
.
sin
α
π
tan
α＝cos
α
(α≠kπ＋2，k∈Z)
(2)商数关系：
．
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1
的变形公式：
2
1－cos2α
；cos2α＝
1－sin2α
；
sin
α＝
sin
α
(2)tan
α＝
的变形公式：
cos
α
sin
α
sin
α＝
cos
αtan
α
；cos
α＝
tan
α
.
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1.2.3（一）
探究点一
本
课
时
栏
目
开
关
利用任意角三角函数的概念推导平方关系和商数
关系
利用任意角的三角函数的定义证明同角三角函数的平方
问题
1
关系和商数关系．
答
设点
P(x，y)为
α
终边上任意一点，P
与
O
不重合．P
到原
y
x
y
2
2
点的距离为
r＝
x
＋y
>0，则
sin
α＝r
，cos
α＝r
，tan
α＝x.
y
2
2
y
2
x
2
y
＋x
sin
α
r
y
2
2
于是
sin
α＋cos
α＝(r
)
＋(r
)
＝
r2
＝1，cos
α＝x＝x＝tan
α.
r
sin
α
2
2
即
sin
α＋cos
α＝1，tan
α＝
.
cos
α
~
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