锐角三角函数知识点
锐角三角函数的定义
锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦等于对边比斜边
余弦等于邻边比斜边
正切等于对边比邻边
余切等于邻边比对边
正割等于斜边比邻边
余割等于斜边比对边
正切与余切互为倒数
它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。
它有六种基本函数(初等基本表示):
函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y)有
正弦函数 sinθ=y/r
余弦函数 cosθ=x/r
正切函数 tanθ=y/x
余切函数 cotθ=x/y
正割函数 secθ=r/x
余割函数 cscθ=r/y
(斜边为r,对边为y,邻边为x。)
以及两个不常用,已趋于被淘汰的函数:
正矢函数 versinθ =1-cosθ
余矢函数 coversθ =1-sinθ
锐角三角函数的性质
1、锐角三角函数定义
锐角角A的正弦,余弦和正切都叫做角A的锐角三角函数
2、互余角的三角函数间的关系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
3、同角三角函数间的关系
平方关系:sin2α+cos2α=1
倒数关系:cotα=(或tanα·cotα=1)
商的关系:tanα= , cotα=.
(这三个关系的证明均可由定义得出)
4、三角函数值
(1)特殊角三角函数值
(2)0°~90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。
(3)锐角三角函数值的变化情况
(i)锐角三角函数值都是正值
(ii)当角度在0°~90°间变化时,
正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
(iii)当角度在0°≤α≤90°间变化时,
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
当角度在0°<α<90°间变化时,
tanα>0, cotα>0.
锐角三角函数单元试测试题
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.一段公路的坡度为1︰3,某人沿这段公路路面前进100米,那么他上升的最大高度是
( D )
A.30米 B.10米 C. 米 D. 米
2.如图,坡角为 的斜坡上两树间的水平距离AC为 ,则两树间的坡面距离AB为
( C )
A. B. C. D.
3.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)
在她家北偏东60度500m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( A )
A.250m B. m C. m D. m
4.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB的值是( C )
A. 2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3
( 第2题 ) ( 第3题) ( 第4题)
5.如果∠A是锐角,且 ,那么∠A=( B )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6. 等腰三角形的一腰长为 ,底边长为 ,则其底角为( A )
A. B. C. D.
7.若平行四边形相邻两边的长分别为10和15,它们的夹角为60°,则平行四边形的面积
是( B )
A.150 B. C. 9 D. 7
8.在△ABC中,∠C=90°,BC=2, ,则边AC的长是( A )
A. B.3 C. D.
9.如图,两条宽度均为40 m的公路相交成α角,那么这两条公路在相交处的公共部分(图
中阴影部分)的路面面积是( A )
A. (m2) B. (m2) C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2)
10.如图,延长Rt△ABC斜边AB到D点,使BD=AB,连结CD,若 tan∠BCD= ,则tanA=( C )
A.1 B. C. D.
( 第9题 ) ( 第10题)
二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)
11.已知 为锐角, sin( )=0.625, 则cos =___ 0.625 。
12.如图,一架梯子斜靠在墙上,若梯子底端到墙的距离AC=3米,cos∠BAC= ,则梯子长AB = 4 米。
13.一棵树因雪灾于A处折断,如图所示,测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米,
∠ABC约45°,树干AC垂直于地面,那么此树在未折断之前的高度约为 米
(答案可保留根号)。
14.如图,张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为 ,旗杆底部
点的俯角为 .若旗杆底部 点到建筑物的'水平距离BE=9 米,旗杆台阶高1米,
则旗杆顶点 离地面的高度为 米(结果保留根号)。
(第12题) (第13题) (第14题)
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)
15.如图所示,某超市在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行,请你根据图中数
据计算回答:小敏身高1.78米,她乘电梯会有碰头危险吗?
(可能用到的参考数值:sin27°=0.45,cos27°=0.89,tan27°=0.51)
15.作CD⊥AC交AB于D,则∠CAB=27°,在Rt ACD中,
CD=ACtan∠CAB=4×0.51=2.04(米)
所以小敏不会有碰头危险。
16.已知:如图,在 ABC中,∠B = 45°,∠C = 60°,AB = 6。求BC的长(结果保留根号)。
16.解:过点A作AD⊥BC于点D。
在Rt△ABD中,∠B =45°,
∴AD = BD=AB sinB= 。
在Rt ACD中,∠ACD = 60°,
∴tan60°= ,即 ,解得CD = 。
∴BC = BD + DC = + 。
四、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)
17.如图,在某建筑物AC上,挂着“美丽家园”的宣传条幅BC,小明站在点F处,看条幅
顶端B,测的仰角为 ,再往条幅方向前行20米到达点E处,看到条幅顶端B,测的
仰角为 ,求宣传条幅BC的长,(小明的身高不计,结果精确到0.1米)
17.解: ∵∠BFC = ,∠BEC = ,∠BCF =
∴∠EBF =∠EBC = , ∴BE = EF = 20
在Rt⊿BCE中,
答:宣传条幅BC的长是17.3米。
18.如图,甲船在港口 的北偏西 方向,距港口 海里的 处,沿AP方向以12
海里/时的速度驶向港口P.乙船从港口P出发,沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,
现两船同时出发,2小时后乙船在甲船的正东方向。求乙船的航行速度。(精确到0.1
海里/时,参考数据 , )
18.依题意,设乙船速度为 海里/时,2小时后甲船在点B处,乙船在点C
处,作 于 ,则 海里, 海里。
在 中, ,
。
在 中, ,∴ ,
∴ ,∴ 。
答:乙船的航行速度约为19.7海里/时。
五、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)
19.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,
顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。请你
在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案。
(1)所需的测量工具是: ;
(2)请在下图中画出测量示意图;
(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x。
19.解:(1)皮尺、标杆。
(2)测量示意图如图所示。
(3)如图,测得标杆DE=a,树和标杆的影长分别为AC=b,EF=c
∵△DEF∽△BAC,∴ ,
∴ ,∴ 。
20.梯形ABCD是拦水坝的横断面图,(图中 是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE
的比),∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD的面积。(结果保留三位有效
数字,参考数据: , )
20.52.0
六、(本大题满分8分)
21.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探
测点A、B 相距 3 米,探测线与地面的夹角分别是30°和 60°(如图),试确定生命
所在点 C 的深度.(结果精确到0.1米,参考数据: )
21.
七、(本大题满分8分)
22.如图,AC是某市环城路的一段,AE,BF,CD都是南北方向的街道,其与环城路AC的交
叉路口分别是A,B,C.经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东
30°方向上,AB=2km,∠DAC=15°。
(1)求B、D之间的距离;
(2)求C、D之间的距离。
22.解:(1)如图,由题意得,∠EAD=45°,∠FBD=30°。
∴ ∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+15°=60°。
∵ AE∥BF∥CD,
∴ ∠FBC=∠EAC=60°.
∴ ∠DBC=30°。
又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB,
∴ ∠ADB=15°。
∴ ∠DAB=∠ADB. ∴ BD=AB=2。
即B,D之间的距离为2km。
(2)过B作BO⊥DC,交其延长线于点O,
在Rt△DBO中,BD=2,∠DBO=60°。
∴ DO=2×sin60°= ,BO=2×cos60°=1。
在Rt△CBO中,∠CBO=30°,CO=BOtan30°= ,
∴ CD=DO-CO= (km)。
即C,D之间的距离为 km。
八、(本大题满分10分)
23.如图,某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救,便立即派
三名救生员前去营救.1号救生员从A点直接跳入海中;2号救生员沿岸边(岸边看成是
直线)向前跑到C点,再跳入海中;3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D
点,再跳入海中。救生员在岸上跑的速度都是6米/秒,在水中游泳的速度都是2米/秒。
若∠BAD=45°,∠BCD=60°,三名救生员同时从A点出发,请说明谁先到达营救地点B。
(参考数据 , )
23.解:在 中, 。
。 。
在 中, ,
。 。
1号救生员到达B点所用的时间为: (秒),
2号救生员到达B点所用的时间为: (秒),
3号救生员到达B点所用的时间为 (秒),
, 号救生员先到达营救地点B。
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#茅瑾郑# 锐角三角函数公式 入门 锐角三角函数公式正弦:sin α=∠α的对边/∠α 的斜边 余弦:cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切:tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切:cot ... - 作业帮
(17574057834):[答案] 三角函数是高中的知识点,只要是三角形,都可以算它的每个角的三角函数. 锐角三角形:举例:等边三角形ABC,求sinA 作底边的高BD,则在三角形ABD中,角A所对的边就是BD,斜边就是AB,这里的斜边是在三角形ABD里说的.所以sinA=BD/...
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(17574057834): (一)互为余角的三角函数关系式 (1)sin(90°-α)=cosα (2)cos(90°-α=sinα (2)tg(90°-α)=ctgα (4)ctg(90°-α)=tgα (二)同角三角函数关系式 (1)sin2α+cos2α=1 (2)tgαctgα=1
#茅瑾郑# 关于锐角三角函数的知识,想向高手请教一下
(17574057834): sinA/cosA=tanA,tanA=1/cotA,tanAcotA=1,cotA=cosA/sinA,
#茅瑾郑# 学锐角三角函数需要什么知识?我会采纳的. -
(17574057834): 您好.需要学好三角函数的定义,三角函数的函数图像,三角恒等变换,正弦定理余弦定理.三角函数在生活中的应用
#茅瑾郑# 锐角三角函数,的重点有哪些.这个中考会考吗?
(17574057834): 锐角三角函数一般和应用问题结合起来、往往是给你一个生活中的事例,给你一些数据,让你求出一个他所要求的数值.中考一般会有一道简答题是锐角三角函数的,填空题中一般也只有一个
#茅瑾郑# 什么是锐角三角函数?
(17574057834): “锐角三角函数”属于三角学,是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容.从《数学课程标准》看,中学数学把三角学内容分成两个部分,第一部分放在义务教育第三学段,第二部分放在高中阶段.在义务教育第三学段,主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容,本套教科书安排了一章的内容,就是本章“锐角三角函数”.在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程.无论是从内容上看,还是从思考问题的方法上看,前一部分都是后一部分的重要基础,掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法,是学习三角函数和解斜三角形的重要准备.
#茅瑾郑# 关于锐角三角函数 -
(17574057834): 我以为,其实你想问的问题是,除了一些特殊角外,我们能不能不借助计算器,用笔算来算出任意锐角的三角函数值呢?我可以告诉你,这是完全可以的.就好比你刚上初二时接触到开平方根的问题,你只要掌握了一定的方法,就可以通过笔算...
#茅瑾郑# 锐角三角函数是什么,怎么表示的??? -
(17574057834): 正弦是直角三角形的对边与斜边之比. 现代正弦公式是 sin(a) = 直角三角形的对边比斜边 余弦是直角三角形的邻边与斜边之比. 现代余弦公式是 cos(a) = 直角三角形的邻边比斜边 正切是直角三角形的对边与邻边之比. 现代正切公式是 tan(a) = 直角三角形的对边比邻边 余切是直角三角形的邻边与对边之比. 现代余切公式是 cot(a) = 直角三角形的邻边比对边
#茅瑾郑# 锐角三角函数是如何定义的 -
(17574057834): 锐角三角函数是利用直角三角形来定义的. 设直角三角形ABC中,C=90°,则: sinA=(A的对边)/(斜边)=BC/AB cosA=(A的邻边)/(斜边)=AC/AB tanA=(A的对边)/(A的邻边)=BC/AC.
#茅瑾郑# 锐角三角函数学过以前的哪些知识? -
(17574057834): 角的正弦,余弦,正切;常见30°,45°,60°的三角函数值