三角形重心的性质及证明
重心的性质及证明方法
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. 三角形ABC,E、F是AB,AC的中点.EC、FB交于G. 过E作EH平行BF. AE=BE推出AH=HF=1/2AF AF=CF 推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. 证明方法： 在▲ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1过O,A分别作a边上高h1,h可知h1=1/3h 则,S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可证S(▲AOC)=1/3S(▲ABC),S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以,S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB) 3、重心到三角形3个顶点距离的和最小.(等边三角形）
证明方法： 设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x,y） 则该点到三顶点距离和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时 上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论.
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均, 即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点.
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#公剂飘# 三角形重心是什么?怎样证明三点共面和共线,用空间向量又怎么证? -
(19687368057)： 重心:在三角形中,三条中线交于一点,该点叫做这一三角形的重心.性质:三角形的重心把每一条中线分成两部分,这两部分之比为2:1,即重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的二倍.外心:三角形的三边的垂直平分线交于一点,该点叫做三角形的外心.也是三角形外接圆的圆心 .性质:三角形的外心到各顶点的距离相等.垂心:在一个三角形中,三条边上的高(或其延长线)交于一点,该点叫做这一三角形的垂心. 内心:三角形的三内角平分线交于一点,该点叫做三角形的内心.也是三角形内切圆的圆心.性质:内心到两边的距离相等. 旁心:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.旁心就是三角形旁切圆的圆心.
#公剂飘# 三角形重心的性质 -
(19687368057)： 三角形重心的性质1:重心把每一条中线分成两部分之比为1:2. 三角形重心的性质2:三条中线把原三角形分成的六个三角形的面积都相等,都等于原三角形面积的1/6.
#公剂飘# 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质:重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2... - 作业帮
(19687368057)：[答案] (1)猜想:BE+CF=AD(1分)证明:如图,延长AO交BC于M点,∵点O为等腰直角三角形ABC的重心∴AO=2OM且AM⊥BC又∵EF∥BC∴AM⊥EF∵BE⊥EF,CF⊥EF∴EB∥OM∥CF∴EB=OM=CF∴EB+CF=2OM=AD.(3分)(2)图2结论:BE+CF=...
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(19687368057)：[答案] 定义 三角形三条边的中线的交于一点,该点叫做三角形的重心.(三中线交于一点可用燕尾定理证明) 三角形重心的性质 设⊿ABC的重心为O,角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2. 1、重心到顶点的距离与重心到对边交点的距离之比为2:1. ...
#公剂飘# 三角形的重心性质三角形重心怎样确定?重心到三边的关系?以及其他关系? - 作业帮
(19687368057)：[答案] 1)重心分中线成两段,它们的长度比为2:1.2)三条中线将三角形分成六个小块,六个小块面积相等,也就是说重心和三顶点的连线,将三角形的面积三等分.[证明:用等底等高的三角形面积相等.高2倍底一倍的三角形面积等于高一倍...
#公剂飘# 数学中重心的概念是什么? - 作业帮
(19687368057)：[答案] 三角形的重心 重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理证明,十分简单.证明过程又是塞瓦定理的特例. 三角形重心已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F.求证:F为AB中点. 证明:根据燕...
#公剂飘# 三角形的重心、垂心、外心、内心的定义及性质分别是什么? -
(19687368057)： 一、三角形的外心,定义:三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心).性质:三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心.二、三角形的内心,定义:三角形的内心是三角形三条内角平...
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(19687368057)： 三角形重心,就是三条边中点和对角连线的交点. 主要性质是物理上的性质, 比如,以重心为支点可以使三角形水平平衡
#公剂飘# 三角形重心的性质需要证明么? -
(19687368057)： 三角形重心 更多图片(4张) 三角形重心是三角形三边中线的交点.当几何体为匀质物体时,重心与形心重合.中文名:三角形重心 定义:是三角形三边中线的交点 性质比例:重心到对边中点的距离之比为2:1 应用领域:几何 分享 性质证明1、...
#公剂飘# 三角形五心的定义及相关公式和规律.如重心坐标公式这类的. - 作业帮
(19687368057)：[答案] 1定理 编辑 三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心.三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称. 2重心定理 编辑 三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于...
