小学奥数计数问题之容斥原理知识点
【篇一】
容斥原理概念：
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理1
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B=A+B-A∩B)
容斥原理2
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C)
经典例题：
例1、某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有()人.
考点：重叠问题.
分析：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理，有20+12+10-6-2-x=30，解方程即可.
解答：解：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理，
有20+12+10-6-2-x=30，
解得x=4.
故答案为：4.
点评：此题考查学生依据容斥原理解答问题的能力.
例2、在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是()
解答：根据"每个人至少答出三题中的一道题"可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由(1)知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①
由(2)知：a2+a23=(a3+a23)×2……②
由(3)知：a12+a13+a123=a1-1……③
由(4)知：a1=a2+a3……④
再由②得a23=a2-a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3=26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2=6、5、4、3、2、1时，a3=2、6、10、14、18、22
又根据a23=a2-a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2=6，a3=2。
然后可以推出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，总人数=8+6+2+7+2=25，检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2=6人。
【篇二】
1、在1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的数共有多少个?
2、六年级一班有45名同学，每人都参加暑假体育培训班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。问三项都报的有多少人?
3、某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人参加，老师告诉同学既参加数学又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
4、某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没有得满分者3人。问这个班最多多少人?最少多少人?
5、向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的35，其余不赞成;赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余不赞成，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的13多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人?
6、分母是1001的最简真分数共有多少人?
7、*出了两道数学题，全班40人中，第一有30人做对，第二题有12人未做对，两题都做对的有20人。
(1)第2题对第1题不对有几个人?
(2)两题都不对的有几人?
8、每边长为10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为宽1厘米的方框，把五个这样的方框放在桌面上，成为如的图案。问桌面上放这些方框盖住部分的面积是多少平方厘米?
9、一次数学竞赛都是填空题，小明答错的恰是题目总数的14，小亮答错5题，两人都答错的题目的总数的16，已知小明，小亮都答对题目超过了试题总数的一半，则他们都答对了多少道题?
10、在1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个?
【篇三】
奥数计数问题之容斥原理解析
1.有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上，两两相交的面积分别是8、10、12平方厘米，三个圆相交的面积是5平方厘米，求三个圆盖住桌面的面积?
2.某区有100名外语教师懂英语或日语，其中懂英语的有75名，既懂英语又懂日语的有20人。只懂日语的有多少名?
3.某班数学测验时有10人得优，英语得优有12人，两门都得优有3人，两门都没得优的有26人。全班有多少人?
4.六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两种至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人?
5.在1至100的自然数中，不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除的数共有多少个?
巧解面积技巧，容斥原理轻松解决
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#封高岭# 小学奥数知识点(1 - 6年级) -
(13397751000)： 可能有点多,不过希望可帮助你 概述 一、 计算1. 四则混合运算繁分数 ⑴ 运算顺序 ⑵ 分数、小数混合运算技巧 一般而言:① 加减运算中,能化成有限小数的统一以小数形式;② 乘除运算中,统一以分数形式.⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分...
#封高岭# 小学数学 容斥问题 -
(13397751000)： 令 a=1000/3=333.x b=1000/4=250 c=1000/5=200 则 a∩b=1000/12=83.x a∩c=1000/15=66.x b∩c=1000/20=50 a∩b∩c=1000/60=16.x1000-a-b-c+a∩b+a∩c+b∩c-a∩b∩c=1000-333-250-200+83+66+50-16=400 有400个 注:小数点后的.x表示除不尽,但本题只需取整数部分.另:A交B是A∩B 开口向上的是“并”
#封高岭# 小学生奥数:容斥问题
(13397751000)： 难题比容易题多12道 1:2:3=6/36:6*2/36:6*3/36 =1/6:2/6:3/6 难题6 中等 12 容易18 20道题4 8 12 难题比容易题多8道 难题4 中等 8 容易12 假如甲解难得4 中等4容易4 (共12) 乙中等4 容易8(共12) 丙解的都是容易的12 (符合题意)---多出8道乙与丙重复做.
#封高岭# 请教一道小学数学题.有人说这叫包含与排除或容斥原理 -
(13397751000)： 让我来告诉你!!! 容斥原理有个公式,就是单加双减三再加,我们可以画一幅图. 你看图,然后看我的算式,40+45+48-(a+22)-(b+22)-(c+22)+22+X=60 X就是题中的问题,三项都不爱好的为X人. 整理这个算式,我们能得到,89-(a+b+c)+X...
#封高岭# 请高人指点一下数学里的“集合容斥原理”吧!无限感激!
(13397751000)： 62-4=58 这个是起码会一种的人. 58-56=2 这是起码会一种的人减去会游泳的人 剩下的就是不会游泳的人 11-2=9 会击剑的人减去不会游泳的人 剩下的就是既会击剑又会游泳的人. 或者也可以这样理解 因为:只会游泳+只会击剑+既会击剑又会游泳+什么都不会=总人数 56+11+4-62=9 4个数字的涵义分别是: (只会游泳+既会游泳也会击剑)+(只会击剑+既会击剑又会游泳)+什么都不会-总人数=既会击剑又会游泳 你自己约分一下这个中文式子.
#封高岭# 请教小学奥数问题一次数学小测验中只有两道题,结果全 -
(13397751000)： 题型:容斥原理.首先,第一题25人正确,其中有10人同时答对第二题.即,只答对第一题而未答对第二题的有15人.之后,第二题答错的有18人,前面已经得出答对第一题但答错第二题的有15人18人中有15人答对第一题,所以还有3人两个题都是错的.18-(25-10)=3(人)
#封高岭# 小学奥数公式全部 -
(13397751000)： 小学奥数公式 和差问题的公式 (和+差)÷2=大数 (和-差)÷2=小数 和倍问题的公式 和÷(倍数-1)=小数 小数*倍数=大数 (或者 和-小数=大数) 差倍问题的公式 差÷(倍数-1)=小数 小数*倍数=大数 (或 小数+差=大数) 植树问题的公式 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数=段数+1=全长÷株距-1 全长=株距*(株数-1) 株距=全长÷(株数-1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数=段数=全长÷株距 全长=株距*株数 株距=全长÷株数
#封高岭# 学小学奥数的技巧和方法,急急急急急! -
(13397751000)： 小学数学竞赛的学习要点是:1.培养“好的”对数字的感觉.训练基本计算能力.2.培养构造能力,这点对于以后学习数学竞赛很重要!!!3.掌握一些初步的组合知识(容斥原理,排列组合...),和数论知识(同余,整除,...).4....
#封高岭# 小学奥数各种类型的综合 -
(13397751000)： 工程问题: 甲.乙两辆清扫车执行A.B城间的道路.甲车单独清扫要10个小时,乙要15个小时.两辆车分别从A.B两地相对出发,向隅时甲车比乙车多清扫12米,问A.B两地相距多远?牛吃草问题: 一个草原的草10头牛5天吃完.8头牛7天吃完,(草在长)问6头牛几天吃完?鸡兔同笼: 已知蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿2对翅膀,蝴蝶有6条腿1对翅膀,蚂蚁有6条腿.现在4种昆虫都有,数头有50个,数脚有342条,数翅膀有37对.问蜘蛛.蜻蜓.蝴蝶.蚂蚁各有多少?虽然问题不多!可还是很难哦!
