牛顿迭代法，为什么f'（x）=0时仅线性收敛？f'（x）不等于零时二次收敛怎么证明？求详细证明过程 什么是二阶收敛和二次收敛

对于方程f(x)=0求根的迭代法,如何理解和分析其收敛性?~

f(x)=0求根的迭代法有很多种。比较容易判断的收敛性的是二分法，比较难以判断的是牛顿法。还有许多改进的方法，都是为了尽快得到一个收敛的结果。但收敛性的分析除了简单的，不一定适用的外，真能解决实际问题的不是根据数学上是否能证明其收敛，而是根据其计算结果是否满足自然条件下的一些约束。
“
Most numerical root-finding methods use iteration, producing a sequence of numbers that hopefully converge towards the root as a limit. They require one or more initial guesses of the root as starting values, then each iteration of the algorithm produces a successively more accurate approximation to the root. Since the iteration must be stopped at some point these methods produce an approximation to the root, not an exact solution. Many methods compute subsequent values by evaluating an auxiliary function on the preceding values. The limit is thus a fixed point of the auxiliary function, which is chosen for having the roots of the original equation as fixed points, and for converging rapidly to these fixed points.
The behaviour of general root-finding algorithms is studied in numerical analysis. However, for polynomials, root-finding study belongs generally to computer algebra, since algebraic properties of polynomials are fundamental for the most efficient algorithms. The efficiency of an algorithm may depend dramatically on the characteristics of the given functions. For example, many algorithms use the derivative of the input function, while others work on every continuous function. In general, numerical algorithms are not guaranteed to find all the roots of a function, so failing to find a root does not prove that there is no root. However, for polynomials, there are specific algorithms that use algebraic properties for certifying that no root is missed, and locating the roots in separate intervals (or disks for complex roots) that are small enough to ensure the convergence of numerical methods (typically Newton's method) to the unique root so located.”

二阶收敛就是说某函数的二阶导数收敛 。
二次收敛性是若一算法对Q正定的二次目标函数（f(x)=0.5xQx+bx+c)能在有限步内找出极小点来。
在原函数的某一点处用一个二次函数近似原函数，然后用这个二次函数的极小值点作为原函数的下一个迭代点。
上面这句话也说明，若原函数本身是一个二次函数，则牛顿法一步就能到达极小点或鞍点。若原函数本身是一个二次正定函数，则牛顿法一步到达最小值点。

扩展资料：
牛顿法的二阶收敛性：
若初始点 x0 充分靠近极值点 x*，并且极值点 x* 的黑塞矩阵非奇异，并且黑塞矩阵在极值点附近 Lipschitz 连续，则牛顿法具有二阶收敛性。
注：Lipschitz 连续是一种比普通连续性更强的连续，它限制了函数的改变速度。对于函数可行域的任意两点，存在一个常数 K。
牛顿迭代法二阶收敛。
参考资料来源：百度百科——二阶收敛

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