牛顿迭代公式怎么证明收敛性呢？

牛顿迭代公式是一种求解非线性方程的常用方法，其收敛性可以通过以下两种方式证明：

• 利用收敛定理证明

牛顿迭代公式的收敛性可以通过收敛定理来证明。其中，最常用的是不动点定理和收敛阶定理。

不动点定理：如果一个函数f(x)在区间[a,b]上连续且满足f(x)∈[a,b]，那么方程f(x)=x在[a,b]上至少有一个实根。

收敛阶定理：如果牛顿迭代公式的导数f'(x)在区间[a,b]上连续且满足|f'(x)|≤M，且在根附近f(x)的二阶导数f''(x)存在且不为0，则牛顿迭代公式的收敛阶为2，即每次迭代误差的平方与上一次误差成正比。

• 利用误差估计证明

另一种证明牛顿迭代公式收敛的方法是通过误差估计来证明。具体来说，可以使用泰勒公式展开f(x)和f(x+Δx)的差值，然后将牛顿迭代公式代入，得到误差项。根据误差项的大小和收敛条件，可以证明牛顿迭代公式的收敛性。

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#卞慧顾# 证明迭代格式收敛性可以是开区间吗 -
(18429781798)： 局部收敛性有如下定理 设已知 f(x) = 0 有根 a, f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续).若 f'(a) != 0(单重零点), 则初值取在 a 的某个邻域内时, 迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到的序列 x[n] 总收敛到 a, 且收敛速度至少是二阶的.若 f'(a) == ...

#卞慧顾# 求助各位大神,工程数学题,牛顿迭代收敛,急啊急 -
(18429781798)： 我理解楼主是要求解“工程数学”试卷的第二大题(整套卷子太费时间了吧). 首先是这个题题干有错,这个函数唯一实根在[1,2]之间,而不是[3,4]之间. 依次解决三个小问题: 1. 令f(x)=x^3-x^2-1,可得f(1)=-1, f(2)=3, 则 f(1)*(f(2) <0,由于f(x)...

#卞慧顾# 什么叫牛顿法 -
(18429781798)： 就是Newton切线法 求解非线性方程的数值方法 f(x)=0 f'(x)存在 选取x[0],做迭代 x[k+1]=x[k]-f(x[k])/f'(x[k]), k=0,1,2,... 该方法可推广到非线性方程组 F(x)=0,对于非退化的解 x[k+1]=x[k]-J(x[k])^-1*F(x[k]), k=0,1,2,..., J(x)是Jacobi矩阵

#卞慧顾# 牛顿法解方程 -
(18429781798)： 如果寻找方程f(x)=0的零点t,假定f二阶可导,那么在t附近的点u有 0=f(t)=f(u)+f'(u)(t-u)+f''(x)(t-u)^2 略去二阶小量得 f(u)+f'(u)(t-u)=0 于是 t=u-f(u)/f'(u) 但是实际上因为f不一定是线性的,不可以忽略略去二阶小量的影响,所以上述过程就要迭代地进行 f(x_{n+1})=x_n-f(x_n)/f'(x_n) 并且这个迭代具有(局部)二次收敛性. 就写这些,教材上一般都会有的,你自己去看看.

#卞慧顾# 数值分析:牛顿法收敛于单根时是 - -----收敛?收敛于重根是------收敛? -
(18429781798)： 求单根时,Newton迭代至少二阶收敛;而求重根时,Newton迭代只有一阶收敛. ——抄于欧阳杰版数值分析P40页

#卞慧顾# 迭代函数f(x)=(a+b)cos(x)的收敛性讨论. -
(18429781798)： 要看a+b的绝对值,绝对值小于1,一定收敛.简单讲一下道理. 首先,f(x)=x是有根的,画y=x和y=(a+b)cos(x),一定有交点,举x=0和x=正负pi/2,就能由连续性证明.设这个在-pi/2到pi/2的唯一满足f(x)=x的根为p(不动点).如果a+b绝对值小于1,...

#卞慧顾# 怎样用牛顿迭代法解方程? -
(18429781798)： 构造牛顿迭代格式就可以了吧,同时注意下收敛性,初值取得跟精确解接近时容易收敛.

#卞慧顾# 导出求立方根的迭代公式,讨论取什么初值可以使迭代收敛 -
(18429781798)： 迭代法也称辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法,即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法.迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运

#卞慧顾# 牛顿迭代法的收敛阶不是2吗?为什么还要求? -
(18429781798)： 二阶是指其目标函数二阶连续可导

#卞慧顾# 对分法迭代,不动点迭代,牛顿迭代,弦截法迭代,的收敛速度比较? -
(18429781798)： 前面两种的使用更广泛,因为迭代法很可能出现不收敛的情况,到时就无法求解