三角函数的思维导图(中)-1
www.zhiqu.org 时间： 2024-05-18
一：概述
上节，我们介绍了三角函数的角制与弧度制，还有基本属性。下面我们介绍三角函数的恒等变换中的基本关系式和诱导公式。图一，还是我们学习三角函数的思维导图。
二：恒等变换
三角函数恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来。由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具”。三角函数恒等变换在整个高中数学应用广泛，在掌握三角函数恒等变换之前，要在脑中有张“全局图”，是十分有必要的。图二为三角函数恒等变换的思维导图。
2.1 基本关系式
2.1.1三角函数的平方关系。
2.1.1.1第一个是(sina)^2+(cosa)^2 = 1。这个比较好记，并且推导过程也很容易。我们现在推导这个平方关系，是怎样的过程。图三为直角三角形，斜边C为单位1。
因为：sinA=a/c, cosA=b/c
又：a^2+b^2=c^2
所以(sinA)^2+(cosA)^2
=(a/c)^2+(b/c)^2
=(a^2+b^2)/c^2
=c^2/c^2
=1
我们记住勾股定理，就能简单快速推导道(sina)^2+(cosa)^2 = 1。
2.1.1.2第二个是1+(tanA)^2 = (secA)^2。我们还是使用勾股定理，推导此公式。
因为：secA=c/b, tanA=a/b
又：c^2-a^2=b^2
所以：(secA)^2-(tanA)^2
=(c/b)^2-(a/b)^2
=(c^2-a^2)/b^2
=b^2/b^2
=1
同样地，我们记住勾股定理，就能简单快速推导道1+(tanA)^2 = (secA)^2。
2.1.1.3第三个是1+(cota)^2 = (csca)^2。其它道理是相通的，还是这个三角形，还是使用勾股定理，推导此公式。
因为：cscA=c/a, cotA=b/a
又：c^2-b^2=a^2
所以：(cscA)^2-(cotA)^2
=(c/a)^2-(b/a)^2
=(c^2-b^2)/a^2
=a^2/b^2
=1。
2.1.1.4总结，三角函数的平方关系，无非是使用勾股定理推导出来而已。
2.1.2三角函数的商关系。
2.1.2.1第一个是tanA = sinA/cosA。这个是很容易推导，推导如下。
因为：sinA = a/c,cosA = b/c;
又：tanA = a/b
所以：sinA/cosA
=(a/c)/(b/c)
=a/b
=tanA
2.1.2.2第二个是cotA = cosA/sinA。这个也是很容易推导，推导如下。
因为：sinA = a/c,cosA = b/c;
又：cotA = b/a
所以：cosA/sinA
=(b/c)/(a/c)
=b/a
=cotA
2.1.3三角函数的倒数关系。
2.1.3.1第一个是sinA*cscA =
1。这个是很容易推导，推导如下。
因为：sinA = a/c,cscA = c/a;
所以：sinA*cscA
=(a/c)*(c/a)
=1
2.1.3.2第二个是cosA*secA =
1。这个是很容易推导，推导如下。
因为：cosA = b/c,secA = c/b;
所以：cosA*secA
=(b/c)*(c/b)
=1
2.1.3.3第三个是tana*cota =
1。这个是很容易推导，推导如下。
因为：tanA = a/b,cotA = b/a;
所以：tanA*cotA
=(a/b)*(b/a)
=1
2.1.4三角函数的基本关系式的总结。所谓的平方关系，就是本质是勾股定理在三角函数里的另外表现。三角函数的商关系，无非就是直角三角形各个边的比例关系。三角函数的倒数关系，也是同样道理。我们也可以用图四的关系图，更加直观理解他们的关系。
2.2 诱导公式
2.2.1所有公式的存在，都是为了更容易地去解决复杂的问题。现在跟大家介绍三角函数诱导公式的作用：就是为了将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。举个简单的例子。
sin390°= sin（360°+ 30°）= sin30°=1/2.
tan225°= tan（180°+ 45°）= tan45°=1.
cos150°= cos（90°+ 60°）= sin60°=√3/2.
前人总结出一句，“奇变偶不变,符号看象限”，可以简单方便地使用诱导公式。这八个字，又是怎么理解呢?
诱导角 ：有0°,90°,180°,270°,360°五个,“奇变偶不变”就是针对这五个诱导角来说的。
90°和270°是90°的1倍和3倍,因此属“奇”；0°,180°,360°是90°的0倍,2倍和4倍,因此属“偶”。90°±α,270°±α,都要“变”；0°±α,180°±α,360°±α,都“不变”。变什么?怎么变?变的是函数名称,方法是正余互变：正弦变余弦,余弦变正弦；正切变余切,余切变正切；正割变余割,余割变正割。
符号看象限 ：在使用诱导公式时,千万记住：无论诱导角后面的α有多大,都要把它看作“锐角”,并由此决定用哪个象限的符号.如sin(90°+ 500°)=cos500°,诱导角是90°,因此sin变cos。把500°看作锐角,那么90°+500°就要看作是第二象限的角,sin为正,故变成cos后仍取正号。再如tan(180°- 425°)=-tan425°,这是因为诱导角是180°,属“偶不变”,425°要看成锐角,那么180°-425°就是第二象限的角（-360-65）,在第二象象限内tan为负,故变化后前面要加负号。
明白了上面的规矩和道理,诱导角就可任意选择.比如你举的例子：sin(17π/2-α)=cosα
这是因为17(π/2)是90°的17倍,属“奇”,sin要变cos,17π/2-α就看成90°-α属第一象限,第一象限的sin为正,故cos前面取正号。sin(18π/2-α)=sin(9π-α)=sinα,这是因为18(π/2)是90°的偶数倍,属“不变”,因此仍是sin,符号则取sin在第二象限的符号。
目前，还有比较稳妥还是把过大的角的三角函数先用360°±α变为小于360°的三角函数,然后再用诱导公式变为锐角三角函数较好.如你的例子：
sin(17π/2-α)=sin(8π+π/2-α)=sin(π/2-α)=cosα;
sin(18π/2-α)=sin(9π-α)=sin(8π+π-α)=sin(π-α)=sinα.
这里的诱导角都是8π,是2π的4倍,函数名称不变,符号都取第一象限的符号,因为π/2-α和
π-α都要看成锐角。
下面是诱导公式的具体公式。
公式一:设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等
sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
公式二:设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
sin(π+α)=－sinα
cos(π+α)=－cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系
sin(－α)=－sinα
cos(－α)=cosα
tan(－α)=－tanα
cot(－α)=－cotα
公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(π－α)=sinα
cos(π－α)=－cosα
tan(π－α)=－tanα
cot(π－α)=－cotα
公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(2π－α)=－sinα
cos(2π－α)=cosα
tan(2π－α)=－tanα
cot(2π－α)=－cotα
公式六:π/2±α与α的三角函数值之间的关系
sin(π/2+α)=cosα
sin(π/2－α)=cosα
cos(π/2+α)=－sinα
cos(π/2－α)=sinα
tan(π/2+α)=－cotα
tan(π/2－α)=cotα
cot(π/2+α)=－tanα
cot(π/2－α)=tanα
~
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(19448683104)：[答案] 反三角函数,如 cos(60度)=1/2,cos-1(1/2)=60度 or pi/3
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二：恒等变换
三角函数恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来。由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具”。三角函数恒等变换在整个高中数学应用广泛，在掌握三角函数恒等变换之前，要在脑中有张“全局图”，是十分有必要的。图二为三角函数恒等变换的思维导图。
2.1 基本关系式
2.1.1三角函数的平方关系。
2.1.1.1第一个是(sina)^2+(cosa)^2 = 1。这个比较好记，并且推导过程也很容易。我们现在推导这个平方关系，是怎样的过程。图三为直角三角形，斜边C为单位1。
因为：sinA=a/c, cosA=b/c
又：a^2+b^2=c^2
所以(sinA)^2+(cosA)^2
=(a/c)^2+(b/c)^2
=(a^2+b^2)/c^2
=c^2/c^2
=1
我们记住勾股定理，就能简单快速推导道(sina)^2+(cosa)^2 = 1。
2.1.1.2第二个是1+(tanA)^2 = (secA)^2。我们还是使用勾股定理，推导此公式。
因为：secA=c/b, tanA=a/b
又：c^2-a^2=b^2
所以：(secA)^2-(tanA)^2
=(c/b)^2-(a/b)^2
=(c^2-a^2)/b^2
=b^2/b^2
=1
同样地，我们记住勾股定理，就能简单快速推导道1+(tanA)^2 = (secA)^2。
2.1.1.3第三个是1+(cota)^2 = (csca)^2。其它道理是相通的，还是这个三角形，还是使用勾股定理，推导此公式。
因为：cscA=c/a, cotA=b/a
又：c^2-b^2=a^2
所以：(cscA)^2-(cotA)^2
=(c/a)^2-(b/a)^2
=(c^2-b^2)/a^2
=a^2/b^2
=1。
2.1.1.4总结，三角函数的平方关系，无非是使用勾股定理推导出来而已。
2.1.2三角函数的商关系。
2.1.2.1第一个是tanA = sinA/cosA。这个是很容易推导，推导如下。
因为：sinA = a/c,cosA = b/c;
又：tanA = a/b
所以：sinA/cosA
=(a/c)/(b/c)
=a/b
=tanA
2.1.2.2第二个是cotA = cosA/sinA。这个也是很容易推导，推导如下。
因为：sinA = a/c,cosA = b/c;
又：cotA = b/a
所以：cosA/sinA
=(b/c)/(a/c)
=b/a
=cotA
2.1.3三角函数的倒数关系。
2.1.3.1第一个是sinA*cscA =
1。这个是很容易推导，推导如下。
因为：sinA = a/c,cscA = c/a;
所以：sinA*cscA
=(a/c)*(c/a)
=1
2.1.3.2第二个是cosA*secA =
1。这个是很容易推导，推导如下。
因为：cosA = b/c,secA = c/b;
所以：cosA*secA
=(b/c)*(c/b)
=1
2.1.3.3第三个是tana*cota =
1。这个是很容易推导，推导如下。
因为：tanA = a/b,cotA = b/a;
所以：tanA*cotA
=(a/b)*(b/a)
=1
2.1.4三角函数的基本关系式的总结。所谓的平方关系，就是本质是勾股定理在三角函数里的另外表现。三角函数的商关系，无非就是直角三角形各个边的比例关系。三角函数的倒数关系，也是同样道理。我们也可以用图四的关系图，更加直观理解他们的关系。
2.2 诱导公式
2.2.1所有公式的存在，都是为了更容易地去解决复杂的问题。现在跟大家介绍三角函数诱导公式的作用：就是为了将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。举个简单的例子。
sin390°= sin（360°+ 30°）= sin30°=1/2.
tan225°= tan（180°+ 45°）= tan45°=1.
cos150°= cos（90°+ 60°）= sin60°=√3/2.
前人总结出一句，“奇变偶不变,符号看象限”，可以简单方便地使用诱导公式。这八个字，又是怎么理解呢?
诱导角 ：有0°,90°,180°,270°,360°五个,“奇变偶不变”就是针对这五个诱导角来说的。
90°和270°是90°的1倍和3倍,因此属“奇”；0°,180°,360°是90°的0倍,2倍和4倍,因此属“偶”。90°±α,270°±α,都要“变”；0°±α,180°±α,360°±α,都“不变”。变什么?怎么变?变的是函数名称,方法是正余互变：正弦变余弦,余弦变正弦；正切变余切,余切变正切；正割变余割,余割变正割。
符号看象限 ：在使用诱导公式时,千万记住：无论诱导角后面的α有多大,都要把它看作“锐角”,并由此决定用哪个象限的符号.如sin(90°+ 500°)=cos500°,诱导角是90°,因此sin变cos。把500°看作锐角,那么90°+500°就要看作是第二象限的角,sin为正,故变成cos后仍取正号。再如tan(180°- 425°)=-tan425°,这是因为诱导角是180°,属“偶不变”,425°要看成锐角,那么180°-425°就是第二象限的角（-360-65）,在第二象象限内tan为负,故变化后前面要加负号。
明白了上面的规矩和道理,诱导角就可任意选择.比如你举的例子：sin(17π/2-α)=cosα
这是因为17(π/2)是90°的17倍,属“奇”,sin要变cos,17π/2-α就看成90°-α属第一象限,第一象限的sin为正,故cos前面取正号。sin(18π/2-α)=sin(9π-α)=sinα,这是因为18(π/2)是90°的偶数倍,属“不变”,因此仍是sin,符号则取sin在第二象限的符号。
目前，还有比较稳妥还是把过大的角的三角函数先用360°±α变为小于360°的三角函数,然后再用诱导公式变为锐角三角函数较好.如你的例子：
sin(17π/2-α)=sin(8π+π/2-α)=sin(π/2-α)=cosα;
sin(18π/2-α)=sin(9π-α)=sin(8π+π-α)=sin(π-α)=sinα.
这里的诱导角都是8π,是2π的4倍,函数名称不变,符号都取第一象限的符号,因为π/2-α和
π-α都要看成锐角。
下面是诱导公式的具体公式。
公式一:设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等
sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
公式二:设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
sin(π+α)=－sinα
cos(π+α)=－cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系
sin(－α)=－sinα
cos(－α)=cosα
tan(－α)=－tanα
cot(－α)=－cotα
公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(π－α)=sinα
cos(π－α)=－cosα
tan(π－α)=－tanα
cot(π－α)=－cotα
公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(2π－α)=－sinα
cos(2π－α)=cosα
tan(2π－α)=－tanα
cot(2π－α)=－cotα
公式六:π/2±α与α的三角函数值之间的关系
sin(π/2+α)=cosα
sin(π/2－α)=cosα
cos(π/2+α)=－sinα
cos(π/2－α)=sinα
tan(π/2+α)=－cotα
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