重心到顶点的距离是到对边的两倍
来源：志趣文 时间： 2024-06-01
这里不方便画图，我就用文字来表达了 画任意一个三角形ABC，垂心为D，外心为E，设B垂AC于F，C垂AB于H，做△ABC的外接圆,ABC为三顶点abc为三内角 S为△ABC的面积 由正弦定理AB\/sinc=BC\/sina=AC\/sinb=2R 由图像得∠c=∠BEH ∴EH=Rcosc=AB\/(2tanc)CD=CF\/cos∠ACH=BCcosc\/(CH\/AC)=AC*...
简单分析一下，详情如图所示
因为AB⊥CD，CE⊥AD 所以MC\/\/AB，MA\/\/CE 所以四边形AMCG是平行四边形 所以AG＝MC 因为OH⊥CD 所以H是CD的中点 而O是DM的中点 所以OH是△CDM的中位线 所以OH＝MC\/2 所以OH＝AG\/2 这实际上就是证明了下面的著名命题：“三角形垂心到任一顶点的距离等于其外心到对边距离的2倍”本题中，G是...
简单分析一下，答案如图所示
你这其实可以简化成正三角形的中心到顶点的距离与到对边的距离之比为2:1.很简单，正三角形三心重合，所以有小的直角三角形30度所对的边是斜边的二分之一，由对称性可知是距离之比为2:1
如图，O为外心，P为垂心。延长AO交圆儿于F，延长AP交圆于Q。AF为直径AO为半径，2 OE=BF。由于OE与CP都垂直于AB，（且角C为AB弧度圆周角，角AOE为AB弧度圆心角的一半，相等）△AEO相似于△ACR（垂足忘标了），角BAF等于角CAQ.在圆周上，BF=CQ。由于AF为直径，角B+角BCQ=90°，由于CP为垂足...
三角形的中心指三角形中心的交点。重心：三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；重心分中线比为1：2。垂心：三角形三条高的交点。内心：三条角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称;到三边距离相等。外心：三条中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称；到三顶点距...
不是的,外心到顶点的距离是外心到对边的“垂直”距离的2倍.
根据重心的性质：G为重心，则GA:GD=2:1。重心是中线的交点，所以AG与BC的交点是边的中点，即D是BC中点。因为O为外心，外心是垂直平分线的交点，而D是BC中点，所以OD⊥BC。H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD\/\/AE，有∠ODA=∠EAD。（下面一段是百度百科上的，已经写得很清楚了）连接CG并延长交BA于...
重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离2倍
18781528710： 证明:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍. -
衷关姬 ______ 设 = b , = a ,则 = + = b + a , = b + a ∵ A , G , D 共线, B , G , E 共线 ∴可设 = λ , = μ ,则 = λ = λ ( b + a )= λ b + λ a , = μ = μ ( b + a )= μ b + μ a ,∵ 即: b + ( μ b + μ a ) = λ b + λ a ∴( μ - λ ) a + ( μ - λ + ) b =＂ 0 ＂ ∵ a , b 不平行,∴
18781528710： 用向量证明:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中心点的距离的两倍 -
衷关姬 ______ 证明:用归一法 不妨设AD与BE交于点O,向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b 因为BE是中线,所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线,故设BO=xBE=(x/2)(a+b) 同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b 在三角形ABO中,AO=...
18781528710： 求证:三角形重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍 请给出距离过程, -
衷关姬 ______ 假设三角形为abc,ad、be、cf为中线,o为三条中线交点,即重心. 连接fe,因f、e为中点,所以fe为三角形abc的中位线,所以fe‖bc,且有fe=1/2bc, 又fe‖bc,∠efc=∠bcf,∠feb=∠cbe,△foe∽△boc, oe/ob=fe/bc=(bc/2)/bc=1/2,所以ob=2oe; 同理连接df,可证oa=2od,oc=2of. 因此得证:三角形重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.
18781528710： 怎么证明三角形的重心垂心外心共线 -
衷关姬 ______ 一、问题的提出 我们已学完三角形和判断三角形全等的方法:SSS,SAS,ASA,AAS,HL.并且还知道三角形有5个心:重心,垂心,内心,外心,旁心.及其他们的定理:例如重心, 三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中...
18781528710： 证明:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中心的距离的两倍 -
衷关姬 ______ 证明:建立一个三角形ABC,取AB和BC中点分别为E,F,连结AF,EC,EF,设AF,EC交为点O由于EF为三角形的中位线,所以EF=且//1/2AC,所以∠OEF=∠OCA,∠OFE=∠OAC所以,△EFO相似于△CAO,所以,EF/AC=FO/AO=EO/OC=1/2所以AO=2FO,CO=2EO,即三角形重心与顶点的距离等于它到对边中心的距离的两倍
18781528710： 已知;重心是三角形三条中线的交点,求证:重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍求证:重心和三个顶点的连线将三角形的面积三等分 - 作业帮
衷关姬 ______[答案] 用等底等高的三角形面积相等.高2倍底一倍的三角形面积等于高一倍底2倍的三角形面积来证明
18781528710： 在三角形中,如何证明重心到顶点的距离是它到对边中点距离的二倍.详细证明 -
衷关姬 ______ 法一画个三角形ABC,BD和CE分别是中线,相交于F. 连接DE, 因为DE是中位线.所以:DE||BC△DEF∽△BCF DF:FB=DE:BC=1:2 FB=2FD得证法二过重心 作底边的平行线将三角形分成一个三角形和一个梯形这两部分面积应该相等可以设这条平行线将高分成两部分x y三角形面积为 x*[x/(x+y)]*a/2梯形面积为 y*{[x/(x+y)]*a+a}/2两部分面积相等 解得 x=2y即x:y=2:1根据平行线截线段成比例重心将中线分成两部分比也是2:1
18781528710： 关于三角形的中线的证明题 三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍; 三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分这两个定理 怎么... - 作业帮
衷关姬 ______[答案] 画个三角形ABC,AG,BD和CE分别是中线,相交于F, 连接DE ∵DE是中位线.∴DE||BC ∴△DEF∽△BCF ∴DF:FB=DE:BC=1:2 ∴FB=2FD, 同理:FC=2FE, AF=2FG ∴S△ABF=2S△BFG, 又∵S△AFE=S△BFE, ∴S△BFG=S△AFE=S△BFE ...
18781528710： 已知一点为重心.可直接用的结论有哪些 -
衷关姬 ______ 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小. (等边三角形)4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数.5、三角形内到三边距离之积最大的点.6、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量) ,则M点为△ABC的重心,反之也成立.7、设△ABC重心为G点,所在平面有一点O,则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)差不多就这么多了.可以追问,望采纳! O(∩_∩)O
18781528710： 为什么三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的两倍 -
衷关姬 ______ 例3 证明:三角形的三条中线相交于一点,此点称为三角形的重心.重心到顶点与到对边中点的距离之比为2∶1. 已知:△ABC中,AX,BY,CZ分别是BC,AC,AB边上的中线,求证:AX,BY,CZ相交于一点G,并且AG∶GX=2∶1(图3-112). 证 设AX,BY交于一点G,作AG,BG中点D,E. Y分别是BC,AC的中点,所以XYDE,所以,四边形DEXY为平行四边形,所以 GD=DA=GX,GY=GE=EB,所以 AG∶GX=2∶1,BG∶GY=2∶1. 同理,若BY与CZ相交于一点G′,必有 BG′∶G′Y=2∶1,G′C∶G′Z′=2∶1,所以G′与G重合.所以三角形三条中线相交于一点.
