三角函数求定义域值域 怎么求三角函数的定义域和值域
www.zhiqu.org 时间： 2024-06-01
一
三角函数定义域、值域求解问题
(1)三角函数的定义域求解题
①确定三角函数的定义域的依据:
a.正、余弦函数和正、余切函数的定义域。
b.若函数是分式函数,则分母不能为零。
c.若函数是偶次根式函数,则被开方数非负。
d.若函数是形如y=logaf(x)(a>0,a≠1)的函数,则其定义域由f(x)>0确定。
e.当函数是由实际问题确定时,其定义域不仅要使解析式有意义,同时还要使实际问题有意义。
②求由三角函数参与构成的函数的定义域,自变量必须满足:
a.使三角函数有意义。例如,若函数含有tanx,需x≠kπ+π/2,k∈Z
b.分式形式的分母不等于零。
c.偶次根式的被开方数不小于零。
③求三角函数的定义域时,常常归结为解三角不等式组,这时可利用基本三角函数的图像或单位圆中三角函数线直观地求得解集。
(2)三角函数值域的求解问题
①一般函数的值域求法有:观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等,而三角函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
②求函数的最大(小)值,不能机械地、教条地套用y=sinx与y=cosx的值域.要根据题意确定函数定义域,由定义域确定函数的取值范围。
规律方法
①求三角函数的定义域时,可转化为三角不等式组求解,常常借助于三角函数的图像和周期解决,求交集时可以利用单位圆,对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍。
②函数y=sinx与y=cosx的定义域为R,值域可从正弦函数线、余弦函数线或正弦曲线、余弦曲线得出。从正弦函数线、余弦函数线可以看出:正弦函数线、余弦函数线的长度小于或等于单位圆半径的长度;从正弦曲线、余弦交个曲线可以看出:正弦曲线、余弦曲线分布在y=1和y=-1之间,说明|sinx|≤1, |cosx|≤1,即正弦函数、余弦函数的值域为[-1,1]。
方法提炼
①用三角函数的图像解sinx>a(或cosx>a)的方法:
a.作出直线y=a,作出y=sinx(或y=cosx)的图像;b.确定sinx=a(或cosx=a)的x值;c.确定sinx>a(或cosx>a)的解集。
②用三角函数线解sinx>a(或cosx>a)的方法:
a.找出使sinx=a(或cosx=a)的两个x值的终边所在的位置;b.根据变化趋势,确定不等式的解集。
二
三角函数的奇偶性、周期性问题
(1)判断一个函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)或y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)是否具备奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asinωx(Aω≠0)或y= Acosωx(Aω≠0)中的一个。
①要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);
②要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ+π/2(k∈Z);
③要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ+π/2(k∈Z);
④要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z)。
(2)求三角函数周期的一般思路:
把三角函数化成易求周期的函数y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)或Asin(ωx+φ)(Aω≠0)(A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0)的形式,这两个函数的最小正周期都是T=2π/|ω|。化简的一般思路是“多个化一个,高次化一次”。
技巧归纳
(1)判断函数的奇偶性时,必须先检查定义域是不是关于原点对称的区间,若对称,则验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;若不对称,则该函数必为非奇非偶函数。
(2)求与正、余弦函数有关的函数f(x)的周期,一般是把函数f(x)化成y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,函数y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的最小正周期都为T=2π/|ω|。化简的一般思路是“多个化一个,高次化一次”,最终将所给函数化成单角单函数。
三
三角函数的单调性问题
(1)三角函数单调性问题的常见题型及求解依据
三角函数的单调性问题,主要题型有:
①比较大小问题;
②求函数的单调区间问题;
③三角不等式问题;
④闭区间上的函数的最大(小)值问题,主要理论依据:
a.正(余)弦函数的单调性;
b.复合函数的单调性:
设函数y=f(u)和u=g(x)在公共区间A内都是单调函数,那么函数y=f[g(x)]在区间A内也是单调函数,并且若y=f(u)和u=g(x)的单调性相同(反),则y=f[g(x)]在区间A内是增(减)函数,这个性质简记为“同增异减”。
(2)三角函数值大小比较问题的两种情形及对策
①比较同名三角函数值的大小,首先把三角函数转化为同单调区间上的同名三角函数,再利用函数单调性通过比较自变量确定函数值的大小。②对不是同名的三角函数值比较大小时,应先化为同名三角函数,然后利用①比较大小。
正弦型函数的和余弦型函数的定义域为R，求y=Asin(wx+a)的值域为[-A，A]。求正切型函数y=Atan(wx+a)的定义域，wx+a≠k兀+兀/2，解出x即可。
如何求规定定义域上的三角函数的值域~
#皮注祁# 三角函数的定义域、值域
(13741633397)： 1. 从分母 sinx+cosx不等于-1得,sin(x+45)不等于-(1/2)*根号2, 可以解得定义域为:x不等于-90+k360且不等于180+k360 (k为整数); 2. 令sinx+cosx=t,则sinxcosx=(t^2-1)/2,且因为t=(根号2)*sin(x+45),所以, t的取值范围为:|t|<=根号2且由(1)知,t还不等于-1; 于是原函数改变为:f(t)=(1/2)(t^2-1)/(1+t)=(t-1)/2,则根据t的取值范围, 可以得到函数的值域为:[-(1+根号2)/2 , (-1+根号2)/2 ]且不等于-1.
#皮注祁# tan函数定义域怎么求
(13741633397)： tan函数定义域是:{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z},三角函数是基本初等函数之一,是以角度(数学上最常用弧度制,下同)为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数.也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义.三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具.在数学分析中,三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们的取值扩展到任意实数值,甚至是复数值.
#皮注祁# tanX分之一 的定义域?值域?最好说说怎么求的,看来我没描述好我是想问tan(1/x)的值域和定义域 - 作业帮
(13741633397)：[答案] y=tanX分之一 ∴ tanx有意义且tanx≠0 利用三角函数图象 ∴定义域为{x|x≠kπ+π/2且x≠kπ,k∈Z}
#皮注祁# 反三角函数怎么求定义域 -
(13741633397)： 我个人理解是记住定义域是[-1,1]就行了.比如y=arcsinx定义域为[-1,1]时,y值域为[-π/2 , π/2],而[-π/2 , π/2]也就是sinx的定义域,一旦超越[-π/2 , π/2],sinx的反函数就不再是arcsinx了,而是别的函数(算起来挺麻烦的,有道考研题求过),从而也就固定了arcsinx的定义域只能是[-1,1].总结下来,反三角函数的定义域定下来就是[-1,1],对应原三角函数的值域.
#皮注祁# 急求函数的定义域和值域,包括三角函数和反三角函数?logx,lnx?x的取值范围 - 作业帮
(13741633397)：[答案] 什么函数啊? sin arcsin cos arccos tan arctan 定义域 R [-1,1] R [-1,1] ≠π/2+2kπ R 值域 [-1,1] [-π/2,π/2] [-1,1] [0,π] R [-π/2,π/2]
#皮注祁# 任意角的三角函数、、、能不能告诉我tanα、sinα、cosα、的定义域,值域是什么、、谢谢了 - 作业帮
(13741633397)：[答案] 定义域 值域 tanα α∈R,且x≠kπ+π/2 tanα∈R sinα α∈R sinα∈[-1,1] 或 (-1≤sinα≤1) cosα α∈R cosα∈[-1,1] 或 (-1≤cosα≤1)
#皮注祁# 怎么求三角函数定义域画正弦余弦图像怎么看弧度算出它的定义域 速度 .紧急需要 - 作业帮
(13741633397)：[答案] 首先,明白角度与弧度之间的转化关系.在一个圆周内,360°对应的弧度为2π.也就是说,任意度数x,转化为弧度时,转化关... 也就是一个函数的值域. 一般而言,正余弦函数的定义域为R,是不需要求的,图像具有周期性,往往只画一个周期的图像即...
#皮注祁# 函数定义域,值域! -
(13741633397)： 函数定义域就是指函数中自变量的取值范围,值域是指函数的函数值的取值范围.如函数y=1/x,它的定义域是x≠0,即(-∞,0)∪(0,+∞)它的值域是y≠0,即(-∞,0)∪(0,+∞).
#皮注祁# 三角函数的值域怎么求 ? -
(13741633397)： 化为单一的三角函数,然后按照相应三角函数的性质求.
#皮注祁# 三角函数的定义域和值域都怎么求的?最好能有简单明了的例题. -
(13741633397)： 由反三角函数的定义即可推知: 1)设sinx=a,x∈[-pai/2,pai/2],a∈[-1,1],则x=arcsina 所以y=arcsinx的定义域:[-1,1],值域:[-pai/2,pai/2] 2)同样反余弦值域是:[0,pai],反正切值域:(-pai/2,pai/2) 再回答:只有单调函数才可能有反函数,准确地说,只有一一映射才有逆映射 若x∈r,那么a=0时,arcsina=0,派,还是… 这时y=arcsinx对于同一个x的值,就有多个y和他对应,这不满足函数定义.
三角函数定义域、值域求解问题
(1)三角函数的定义域求解题
①确定三角函数的定义域的依据:
a.正、余弦函数和正、余切函数的定义域。
b.若函数是分式函数,则分母不能为零。
c.若函数是偶次根式函数,则被开方数非负。
d.若函数是形如y=logaf(x)(a>0,a≠1)的函数,则其定义域由f(x)>0确定。
e.当函数是由实际问题确定时,其定义域不仅要使解析式有意义,同时还要使实际问题有意义。
②求由三角函数参与构成的函数的定义域,自变量必须满足:
a.使三角函数有意义。例如,若函数含有tanx,需x≠kπ+π/2,k∈Z
b.分式形式的分母不等于零。
c.偶次根式的被开方数不小于零。
③求三角函数的定义域时,常常归结为解三角不等式组,这时可利用基本三角函数的图像或单位圆中三角函数线直观地求得解集。
(2)三角函数值域的求解问题
①一般函数的值域求法有:观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等,而三角函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
②求函数的最大(小)值,不能机械地、教条地套用y=sinx与y=cosx的值域.要根据题意确定函数定义域,由定义域确定函数的取值范围。
规律方法
①求三角函数的定义域时,可转化为三角不等式组求解,常常借助于三角函数的图像和周期解决,求交集时可以利用单位圆,对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍。
②函数y=sinx与y=cosx的定义域为R,值域可从正弦函数线、余弦函数线或正弦曲线、余弦曲线得出。从正弦函数线、余弦函数线可以看出:正弦函数线、余弦函数线的长度小于或等于单位圆半径的长度;从正弦曲线、余弦交个曲线可以看出:正弦曲线、余弦曲线分布在y=1和y=-1之间,说明|sinx|≤1, |cosx|≤1,即正弦函数、余弦函数的值域为[-1,1]。
方法提炼
①用三角函数的图像解sinx>a(或cosx>a)的方法:
a.作出直线y=a,作出y=sinx(或y=cosx)的图像;b.确定sinx=a(或cosx=a)的x值;c.确定sinx>a(或cosx>a)的解集。
②用三角函数线解sinx>a(或cosx>a)的方法:
a.找出使sinx=a(或cosx=a)的两个x值的终边所在的位置;b.根据变化趋势,确定不等式的解集。
二
三角函数的奇偶性、周期性问题
(1)判断一个函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)或y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)是否具备奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asinωx(Aω≠0)或y= Acosωx(Aω≠0)中的一个。
①要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);
②要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ+π/2(k∈Z);
③要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ+π/2(k∈Z);
④要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z)。
(2)求三角函数周期的一般思路:
把三角函数化成易求周期的函数y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)或Asin(ωx+φ)(Aω≠0)(A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0)的形式,这两个函数的最小正周期都是T=2π/|ω|。化简的一般思路是“多个化一个,高次化一次”。
技巧归纳
(1)判断函数的奇偶性时,必须先检查定义域是不是关于原点对称的区间,若对称,则验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;若不对称,则该函数必为非奇非偶函数。
(2)求与正、余弦函数有关的函数f(x)的周期,一般是把函数f(x)化成y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,函数y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的最小正周期都为T=2π/|ω|。化简的一般思路是“多个化一个,高次化一次”,最终将所给函数化成单角单函数。
三
三角函数的单调性问题
(1)三角函数单调性问题的常见题型及求解依据
三角函数的单调性问题,主要题型有:
①比较大小问题;
②求函数的单调区间问题;
③三角不等式问题;
④闭区间上的函数的最大(小)值问题,主要理论依据:
a.正(余)弦函数的单调性;
b.复合函数的单调性:
设函数y=f(u)和u=g(x)在公共区间A内都是单调函数,那么函数y=f[g(x)]在区间A内也是单调函数,并且若y=f(u)和u=g(x)的单调性相同(反),则y=f[g(x)]在区间A内是增(减)函数,这个性质简记为“同增异减”。
(2)三角函数值大小比较问题的两种情形及对策
①比较同名三角函数值的大小,首先把三角函数转化为同单调区间上的同名三角函数,再利用函数单调性通过比较自变量确定函数值的大小。②对不是同名的三角函数值比较大小时,应先化为同名三角函数,然后利用①比较大小。
正弦型函数的和余弦型函数的定义域为R，求y=Asin(wx+a)的值域为[-A，A]。求正切型函数y=Atan(wx+a)的定义域，wx+a≠k兀+兀/2，解出x即可。
如何求规定定义域上的三角函数的值域~
如下为标准式:
sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕
tan(x)的定义域为x不等于π/2
kπ,值域为R
cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R
这只是标准的定义.其中的X是变量.只要把变量X带入以上定义域中.求出真正的X就行!
还是给你举个例子吧!
sin(3X),求这个的定义域.的话.
只要3X属于R
,求出X也属于R
求这个值域:
如果X有定义域限制,比如说.X属于(π/2,π)]
那就是说3X属于
(3π/2,3π),那么画正弦函数图.
就可以知道定义域在(-1,1)
不知道你能理解不.不理解可以加QQ,再教你
定义域主要有几个方面：
表达式：1、整式形式,取一切实数.
2、分式形式的,分母不为零.
3、偶次根式,大多是二次根式,被开方式非负.
4、指数函数,一切实数.
5、对数形式,真数大于零.
6、实际问题要有实际意义.
等等……
值域根据表达式就可以求了,有时候数形结合是个很好的方法!
#皮注祁# 三角函数的定义域、值域
(13741633397)： 1. 从分母 sinx+cosx不等于-1得,sin(x+45)不等于-(1/2)*根号2, 可以解得定义域为:x不等于-90+k360且不等于180+k360 (k为整数); 2. 令sinx+cosx=t,则sinxcosx=(t^2-1)/2,且因为t=(根号2)*sin(x+45),所以, t的取值范围为:|t|<=根号2且由(1)知,t还不等于-1; 于是原函数改变为:f(t)=(1/2)(t^2-1)/(1+t)=(t-1)/2,则根据t的取值范围, 可以得到函数的值域为:[-(1+根号2)/2 , (-1+根号2)/2 ]且不等于-1.
#皮注祁# tan函数定义域怎么求
(13741633397)： tan函数定义域是:{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z},三角函数是基本初等函数之一,是以角度(数学上最常用弧度制,下同)为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数.也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义.三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具.在数学分析中,三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们的取值扩展到任意实数值,甚至是复数值.
#皮注祁# tanX分之一 的定义域?值域?最好说说怎么求的,看来我没描述好我是想问tan(1/x)的值域和定义域 - 作业帮
(13741633397)：[答案] y=tanX分之一 ∴ tanx有意义且tanx≠0 利用三角函数图象 ∴定义域为{x|x≠kπ+π/2且x≠kπ,k∈Z}
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(13741633397)： 我个人理解是记住定义域是[-1,1]就行了.比如y=arcsinx定义域为[-1,1]时,y值域为[-π/2 , π/2],而[-π/2 , π/2]也就是sinx的定义域,一旦超越[-π/2 , π/2],sinx的反函数就不再是arcsinx了,而是别的函数(算起来挺麻烦的,有道考研题求过),从而也就固定了arcsinx的定义域只能是[-1,1].总结下来,反三角函数的定义域定下来就是[-1,1],对应原三角函数的值域.
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(13741633397)：[答案] 什么函数啊? sin arcsin cos arccos tan arctan 定义域 R [-1,1] R [-1,1] ≠π/2+2kπ R 值域 [-1,1] [-π/2,π/2] [-1,1] [0,π] R [-π/2,π/2]
#皮注祁# 任意角的三角函数、、、能不能告诉我tanα、sinα、cosα、的定义域,值域是什么、、谢谢了 - 作业帮
(13741633397)：[答案] 定义域 值域 tanα α∈R,且x≠kπ+π/2 tanα∈R sinα α∈R sinα∈[-1,1] 或 (-1≤sinα≤1) cosα α∈R cosα∈[-1,1] 或 (-1≤cosα≤1)
#皮注祁# 怎么求三角函数定义域画正弦余弦图像怎么看弧度算出它的定义域 速度 .紧急需要 - 作业帮
(13741633397)：[答案] 首先,明白角度与弧度之间的转化关系.在一个圆周内,360°对应的弧度为2π.也就是说,任意度数x,转化为弧度时,转化关... 也就是一个函数的值域. 一般而言,正余弦函数的定义域为R,是不需要求的,图像具有周期性,往往只画一个周期的图像即...
#皮注祁# 函数定义域,值域! -
(13741633397)： 函数定义域就是指函数中自变量的取值范围,值域是指函数的函数值的取值范围.如函数y=1/x,它的定义域是x≠0,即(-∞,0)∪(0,+∞)它的值域是y≠0,即(-∞,0)∪(0,+∞).
#皮注祁# 三角函数的值域怎么求 ? -
(13741633397)： 化为单一的三角函数,然后按照相应三角函数的性质求.
#皮注祁# 三角函数的定义域和值域都怎么求的?最好能有简单明了的例题. -
(13741633397)： 由反三角函数的定义即可推知: 1)设sinx=a,x∈[-pai/2,pai/2],a∈[-1,1],则x=arcsina 所以y=arcsinx的定义域:[-1,1],值域:[-pai/2,pai/2] 2)同样反余弦值域是:[0,pai],反正切值域:(-pai/2,pai/2) 再回答:只有单调函数才可能有反函数,准确地说,只有一一映射才有逆映射 若x∈r,那么a=0时,arcsina=0,派,还是… 这时y=arcsinx对于同一个x的值,就有多个y和他对应,这不满足函数定义.
