为什么三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 三角形到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1 的证明...

重心是三角形中线的交点

三角形ABC中BD和CE分别是中线，相交于F

连接DE，因为DE是中位线

所以DF:FB=DE:BC=1:2
即重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1

重心顾名思义就是整个物体的质量中心，我们可以用物理的方法来解释
如果三个顶点都是质量为1的质点，则相当于在重心处有一个质量为3的质点
现考虑一条边，两个顶点有质量为1的质点，相当于在中点处有一个质量为2的质点，这个质点应该与这条边的对角上的质量为1的质点保持力矩平衡
则以重心为支点的话，两端的质量比为2:1，则两端的力臂之比应该为1:2，
即边中点到重心的距离应该是重心到对角距离的1/2

例3 证明：三角形的三条中线相交于一点，此点称为三角形的重心．重心到顶点与到对边中点的距离之比为2∶1．

已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是BC，AC，AB边上的中线，求证：AX，BY，CZ相交于一点G，并且AG∶GX=2∶1(图3－112)．

证 设AX，BY交于一点G，作AG，BG中点D，E．
Y分别是BC，AC的中点，所以XYDE，所以，四边形DEXY为平行四边形，所以

GD=DA=GX，GY=GE=EB，

所以

AG∶GX=2∶1，BG∶GY=2∶1．

同理，若BY与CZ相交于一点G′，必有

BG′∶G′Y=2∶1，G′C∶G′Z′=2∶1，

所以G′与G重合．所以三角形三条中线相交于一点．

用面积法证明 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1~

重心是三角形中线的交点。
三角形ABC中BD和CE分别是中线，相交于F。
连接DE，因为DE是中位线。



三角形重心定理的性质：
1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
在数学上是这样来研究面积问题的：首先规定边长为1的正方形的面积为1，并将其作为不证自明的公理。然后，用这样的所谓单位正方形来度量其他平面几何图形。
较为简单的正方形和长方形的面积是很容易得到的，利用割补法可以把平行四边形的面积问题转化为长方形的面积问题，进而可以得到三角形的面积。于是，多边形的面积就可以转化为若干三角形的面积。

例3 证明：三角形的三条中线相交于一点，此点称为三角形的重心．重心到顶点与到对边中点的距离之比为2∶1．

已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是BC，AC，AB边上的中线，求证：AX，BY，CZ相交于一点G，并且AG∶GX=2∶1(图3－112)．

证 设AX，BY交于一点G，作AG，BG中点D，E．
Y分别是BC，AC的中点，所以XYDE，所以，四边形DEXY为平行四边形，所以

GD=DA=GX，GY=GE=EB，

所以

AG∶GX=2∶1，BG∶GY=2∶1．

同理，若BY与CZ相交于一点G′，必有

BG′∶G′Y=2∶1，G′C∶G′Z′=2∶1，

所以G′与G重合．所以三角形三条中线相交于一点．

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(18842048518)：[答案] 三角形的重心是三边中线交点,连接任意两边的中点可以得到一对“X”形的相似三角形.因为连接了两边的中点,故连接的线段是中位线,因为中位线等于底边一半.即底边是中位线两倍.利用相似的性质就得到重心与顶点的距离等于它与对边中点的...

#双娴群# 为什么三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的2/3 -
(18842048518)： 你好,我帮你解答 这是可以证明的定理 做个三角形ABC,做2条忠县AD,AE交BC,AC于D,E,AD与BE交于O(O是重心) 连接ED,显然,ED是三角形的中位线,所以有ED平行且等于1/2AB 所以有三角形ABO相似于三角形OED 所以AO:OD=1B:ED=2:1 所以就证明了这个结论 不明白的可以发信息给我

#双娴群# 为什么过三角形的重心做的底边平行线是底边的2/3 - 作业帮
(18842048518)：[答案] 三角形的重心是三条中线的交点 三角形重心的特点 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等 3、重心到三角形3个顶点距离的和最小(等边三角形) 4、三角形内到三边距离之积最...

#双娴群# 三角形重心定理:三角形的重心到任意一个顶点的距离,等于它到对边中点的距离的——倍 - 作业帮
(18842048518)：[答案] 三角形重心定理:三角形的重心到任意一个顶点的距离,等于它到对边中点的距离的2倍.

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(18842048518)： 重心是三角形三边中线的交点 1,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1 2,等积: 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. 3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.

#双娴群# 所有三角形得的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比都为2:1 -
(18842048518)： 正确. 三角形的重心是三条中线的交点, 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比都为2:1.

#双娴群# 三角形重心是? -
(18842048518)： 定义 重心是三角形三边中线的交点,三线交一可用燕尾定理证明,十分简单. 性质 重心的几条性质: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1. 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小. 4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为[(X1+X2+X3)/3],[Y1+Y2+Y3/3)].燕尾定理见:http://baike.baidu.com/view/633303.htm

#双娴群# 为什么过三角形的重心作底边的平行线所分割的两部分面积相等 -
(18842048518)： 这个问题不对吧,过三角形的重心做底边(三角形的任一边都可作为底边)的平行线把原三角形分成的两部分的面积比为4:5.可用相似三角形的性质证明.

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(18842048518)： 内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等. 外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等. 重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. 垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似. 旁...

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(18842048518)：[答案] 三条中线的交点;2倍;底边的高线上;每条边的高的交点