如何理解牛顿迭代法的局部及全局收敛性？

局部收敛性有如下定理
设已知 f(x) = 0 有根 a, f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续).
若 f'(a) != 0(单重零点), 则初值取在 a 的某个邻域内时, 迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到的序列 x[n] 总收敛到 a, 且收敛速度至少是二阶的.
若 f'(a) == 0(多重零点), 则初值取在 a 的某个邻域内时, 收敛速度是一阶的.
记 g(x)=x-f(x)/f'(x), 其中"某个邻域"可由 |g'(x)|<1 的区间确定, 但是 g'(a)==0, 所以这样的邻域总是能取到的.
说收敛速度是 r 阶指的是: 存在 r 及常数 c 使 lim_{n->\inf} |x[n+1]-a|/|x[n]-a|^r = c
至于牛顿迭代法的全局收敛性, 一般的数值分析书都没有详细叙述, 而只是举一些例子.
因为牛迭是否收敛依赖于函数是否"单调", 一些"曲折"大的函数就可能使迭代法不收敛了.
经常举的例子是三次函数, 比如 x^3 - x == 0. 有 -1,0,1 三个根.
迭代的时候如果取初值 x[1] = sqrt(0.2) = 0.4472.., 则得到 x[2] = sqrt(0.2), x[3] = sqrt(0.2) ... 收敛到 sqrt(0.2), 而这不是原方程根.
另外也可能不收敛, 或者不是收敛到离初值最近的根. 当然, 对于三次函数, 除了个别点, 牛迭总是收敛到某个根的, 因为初值远离原点时由于函数的单调性, 总会被拉回"局部".
事实上在复平面上三次函数的根的牛迭收敛行为是个著名的分形...足见全局收敛性的复杂.

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#弓震竿# 迭代法是怎么用的? -
(17311395039)： 您好 算法迭代法迭代法也称辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程, 跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法),即一次性解决问题

#弓震竿# 牛顿迭代法的收敛阶不是2吗?为什么还要求? -
(17311395039)： 二阶是指其目标函数二阶连续可导

#弓震竿# 牛顿法解方程 -
(17311395039)： 如果寻找方程f(x)=0的零点t,假定f二阶可导,那么在t附近的点u有 0=f(t)=f(u)+f'(u)(t-u)+f''(x)(t-u)^2 略去二阶小量得 f(u)+f'(u)(t-u)=0 于是 t=u-f(u)/f'(u) 但是实际上因为f不一定是线性的,不可以忽略略去二阶小量的影响,所以上述过程就要迭代地进行 f(x_{n+1})=x_n-f(x_n)/f'(x_n) 并且这个迭代具有(局部)二次收敛性. 就写这些,教材上一般都会有的,你自己去看看.

#弓震竿# 牛顿迭代收敛除了大范围收敛外 还有其他证明收敛的方法吗? -
(17311395039)： 牛顿迭代法对单根至少是2阶局部收敛的,对重根是一阶局部收敛的.没有其他证明方法了.

#弓震竿# Newton迭代法是一种局部收敛的方法 - 上学吧普法考试
(17311395039)： 你要理解迭代法的实质是什么.牛顿迭代法及切线法,收敛速度较快.初值可以随意取,只是影响到迭代的次数.这里你去初值0就可以.

#弓震竿# 3、关于迭代序列的收敛性,下面哪些说法是正确的 - 上学吧普法考试
(17311395039)： 这个,,,牛顿迭代法对于初值选取非常重要初值必须要足够靠近精确值才能保证局部收敛,下面给出初值x0在较大范围内收敛的充分条件: f(x)在[a,b]二阶连续,且满足条件f(a)f(b)<0; x属于[a,b]时,f(x)一阶导不等于0,二阶导不变号; 任取初值x0属于[a,b],有f(x0)乘以f(x0)二阶导>0;

#弓震竿# 在C语言中,什么是迭代法? -
(17311395039)： 迭代法也称辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法),即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法. 迭代算法是用计算机...

#弓震竿# 求助各位大神,工程数学题,牛顿迭代收敛,急啊急 -
(17311395039)： 我理解楼主是要求解“工程数学”试卷的第二大题(整套卷子太费时间了吧). 首先是这个题题干有错,这个函数唯一实根在[1,2]之间,而不是[3,4]之间. 依次解决三个小问题: 1. 令f(x)=x^3-x^2-1,可得f(1)=-1, f(2)=3, 则 f(1)*(f(2) <0,由于f(x)...