如何证明牛顿迭代公式收敛?

牛顿迭代公式是一种求解非线性方程的常用方法，其收敛性可以通过以下两种方式证明：

• 利用收敛定理证明

牛顿迭代公式的收敛性可以通过收敛定理来证明。其中，最常用的是不动点定理和收敛阶定理。

不动点定理：如果一个函数f(x)在区间[a,b]上连续且满足f(x)∈[a,b]，那么方程f(x)=x在[a,b]上至少有一个实根。

收敛阶定理：如果牛顿迭代公式的导数f'(x)在区间[a,b]上连续且满足|f'(x)|≤M，且在根附近f(x)的二阶导数f''(x)存在且不为0，则牛顿迭代公式的收敛阶为2，即每次迭代误差的平方与上一次误差成正比。

• 利用误差估计证明

另一种证明牛顿迭代公式收敛的方法是通过误差估计来证明。具体来说，可以使用泰勒公式展开f(x)和f(x+Δx)的差值，然后将牛顿迭代公式代入，得到误差项。根据误差项的大小和收敛条件，可以证明牛顿迭代公式的收敛性。

当|1-ax0|﹤1时,迭代公式收敛
建立方程f(x)=x/1-a=0。利用用牛顿迭代,得xn+1=xn(2-axn),(n=0,1,2)整理,得1-axn+1=(1-axn)2，1-axk=(1-ax0)2k方，xk=a/1[1-(1-ax0)2k方]，所以,当|1-ax0|﹤1时,迭代公式收敛。
迭代格式是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

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(13116921669)： 迭代法也称辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法),即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法.迭代算法是用计算机解...

#蒯周烟# 谁可以告诉我牛顿的迭代法是如何解方程的?希望可以举例说明,谢谢啦! -
(13116921669)： 1.物理解释:取定初值x0,找到函数对应的点,然后通过该点作函数切线,交x轴,得到新的横坐标值,然后找函数对应的点,做切线,得到新的横坐标值,重复上述步骤,多次迭代,直到收敛到需要的精度,牛顿迭代法又称切线法,收敛速度很快,且收敛条件较弱 2.数学:函数一点处泰勒展开,取前两项作为函数近似,求解出x(k+1),得到迭代方程,然后多次迭代,直到收敛到所需要的精度. 不懂可追问,其实很简单

#蒯周烟# 求助各位大神,工程数学题,牛顿迭代收敛,急啊急 -
(13116921669)： 我理解楼主是要求解“工程数学”试卷的第二大题(整套卷子太费时间了吧). 首先是这个题题干有错,这个函数唯一实根在[1,2]之间,而不是[3,4]之间. 依次解决三个小问题: 1. 令f(x)=x^3-x^2-1,可得f(1)=-1, f(2)=3, 则 f(1)*(f(2) <0,由于f(x)...

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(13116921669)： /** 牛顿迭代法求方程的一个实根 牛顿公式:x(k+1) = x(k) - f(x(k)) / f '(x(k)) 迭代函数:Ф(x) = x - f(x) / f'(x) 属性:方程求根迭代法 此时的迭代函数必须保证X(k)有极限,即迭代收敛.《数值计算方法与算法》-2 Editon -科学出版社 P93《C#数值计算...

#蒯周烟# 证明迭代格式收敛性可以是开区间吗 -
(13116921669)： 局部收敛性有如下定理 设已知 f(x) = 0 有根 a, f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续).若 f'(a) != 0(单重零点), 则初值取在 a 的某个邻域内时, 迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到的序列 x[n] 总收敛到 a, 且收敛速度至少是二阶的.若 f'(a) == ...

#蒯周烟# 牛顿迭代法初值怎么确定? -
(13116921669)： 牛顿迭代法 是切线 法. 如果方程本身连续,光滑,且只有一解(一个根),比较简单,随便给都能收敛. 如果方程有几个根,就要考虑分区间,每个区间为单调增或单调减,初值点处 一阶导数不为0,并靠近 这个区间的解附近.

#蒯周烟# 证明:e^x+e^ - x+2cosx=5恰有2个根? -
(13116921669)： 记f(x) = e^x + e^-x + 2cosx f'(x) = e^x - e^-x - 2sinx f''(x) = e^x + e^-x - 2cosx e^x + e^-x ≥ 22cosx ≤ 2 所以f''(x) ≥ 0 f'(x)单调递增 x趋于负无穷时,e^x趋于0,- e^-x趋于负无穷,|2sinx| ≤ 2,f'(x)趋于负无穷 x趋于正无穷时,f'(x)趋于正无穷 所以f(x)的形状是先减后增(类似于开口向上的抛物线,但不一样) 所以f(x) = 5的解有三种情况,无解,有一个解和有两个解 f(0) = 4 即f(x)最小值小于等于4 所以有两个根且只有两个根

#蒯周烟# 牛顿迭代法 -
(13116921669)： 还不如直接用计算器 x^2=2,求x y=x^2-2=0 y'=2x x(n+1)=x(n)-y'/y=x(n)-2x(n)/x(n)^2 先随便选一个数作为x(1),求出x(2) 然后依次求出x(3),x(4),x(5),…… 直到符合你需要的精确度 倒数一样 x=1/a y=x-1/a y'=1 x(n+1)=x(n)-y'/y=x(n)-1/(x(n)-1/a) 然后和前面一样 以上括号内的数字代表下标.

#蒯周烟# 高等数学:牛顿迭代法,这个公式该怎么用啊? -
(13116921669)： 比如n等于3,设x0=1,代入得到 x1=2 继续代入x1得到x2=(2+3/2)/2= 1.75 继续代入x2 得到x3 .....,最后一定是根号3的1.732...

#蒯周烟# 谁给我介绍一下牛顿迭代法?
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