如何证明牛顿迭代公式的收敛性？

牛顿迭代公式是一种求解非线性方程的常用方法，其收敛性可以通过以下两种方式证明：

• 利用收敛定理证明

牛顿迭代公式的收敛性可以通过收敛定理来证明。其中，最常用的是不动点定理和收敛阶定理。

不动点定理：如果一个函数f(x)在区间[a,b]上连续且满足f(x)∈[a,b]，那么方程f(x)=x在[a,b]上至少有一个实根。

收敛阶定理：如果牛顿迭代公式的导数f'(x)在区间[a,b]上连续且满足|f'(x)|≤M，且在根附近f(x)的二阶导数f''(x)存在且不为0，则牛顿迭代公式的收敛阶为2，即每次迭代误差的平方与上一次误差成正比。

• 利用误差估计证明

另一种证明牛顿迭代公式收敛的方法是通过误差估计来证明。具体来说，可以使用泰勒公式展开f(x)和f(x+Δx)的差值，然后将牛顿迭代公式代入，得到误差项。根据误差项的大小和收敛条件，可以证明牛顿迭代公式的收敛性。

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#帅忽沫# 对方程f(x)=0,任意迭代x=p(x)产生的序列一定会收敛 - 上学吧普法考试
(18739817311)：[答案] 与Excel行,单元格中输入= 6 * SQRT(二)“,不带引号. 结果:8.48528137423857 哈哈

#帅忽沫# 数值分析:牛顿法收敛于单根时是 - -----收敛?收敛于重根是------收敛? -
(18739817311)： 求单根时,Newton迭代至少二阶收敛;而求重根时,Newton迭代只有一阶收敛. ——抄于欧阳杰版数值分析P40页

#帅忽沫# 牛顿迭代法是什么原理呢
(18739817311)： 牛顿迭代法是以微分为基础的,微分就是用直线来代替曲线,由于曲线不规则,那么我们来研究直线代替曲线后,剩下的差值是不是高阶无穷小,如果是高阶无穷小,那么这个差值就可以扔到不管了,只用直线就可以了,这就是微分的意义. ...

#帅忽沫# 迭代函数f(x)=(a+b)cos(x)的收敛性讨论. -
(18739817311)： 要看a+b的绝对值,绝对值小于1,一定收敛.简单讲一下道理. 首先,f(x)=x是有根的,画y=x和y=(a+b)cos(x),一定有交点,举x=0和x=正负pi/2,就能由连续性证明.设这个在-pi/2到pi/2的唯一满足f(x)=x的根为p(不动点).如果a+b绝对值小于1,...

#帅忽沫# 7、初值的选取影响Newton迭代法的收敛性 - 上学吧普法考试
(18739817311)： 这和生活中类似啊.比如你要想去北京,可以走路,速度慢,可以坐汽车,速度能快些,可以坐飞机,速度最快.你可以考虑选择哪一种方式.迭代法也是这样,要考虑收敛性和收敛速度问题.收敛性就是你能不能到北京的问题,万一你坐了一趟到南京的列车,那不是越走越远了?收敛速度就是走的快慢问题,有的迭代法收敛快,有的就慢些.这些肯定要进行研究的,要给别人提供理论上的收敛性和收敛速度的依据,使得以后的人用起来可以有所选择.

#帅忽沫# 对分法迭代,不动点迭代,牛顿迭代,弦截法迭代,的收敛速度比较? -
(18739817311)： 前面两种的使用更广泛,因为迭代法很可能出现不收敛的情况,到时就无法求解

#帅忽沫# mathematica 迭代法 -
(18739817311)： 一 ClearALL[f, x]; f[x_] := (x^3 - 2)/3; Plot[{f[x], x}, {x, -5, 5}] 二 Clear[f, x]; f[x_] := (x^3 - 2)/3; aa = {}; x0 = 0.1; n = 10; For[i = 1, i ≤ n, i++, x1 = f[x0]; x0 = x1; aa = Append[aa, x1]]; aa 三 Clear[x, g]; g[x_] := x^3 - 3x - 2; eps = 10^(-3); x00 = 1000; x0 = 0; i = ...