数学证明题:在三角形ABC中，求证:a=b*cosC+c*cosB,其中的*代表乘 在三角形ABC中，sinA=cosB，求证三角形ABC为什么...

如图，垂直BC作AD， 则

BD=c*CosB,CD=b*CosC

a=BD+CD

所以，a=b*cosC+c*cosB

用余弦定理，把cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)代入，b*cosC+c*cosB=(a^2+b^2-c^2+a^2+c^2-b^2)/(2a)=2a^2/(2a)=a。
也可以用几何方法。从A点作BC边上的垂线，垂足是D。分别讨论A是锐角、直角、钝角的情形。比如A是锐角时，D在线段BC上，则BC=BD+DC=AB*cosB+AC*cosC，这就是a=b*cosC+c*cosB。

证明：
∵A+B+C=180º
∴A=180º-(B+C)
∴sinA=sin[180º-(B+C)]
=sin(B+C)
=sinBcosC+cosBsinC.
即有sinA=sinBcosC+cosBsinC.
再由正弦定理可知：
sinA=a/(2R),sinB=b/(2R),sinC=c/(2R）
代入上式，整理可得：
a=bcosC+ccosB.

sinA=sinBcosC+sinCcosB
sinA=sin(B+C)
在三角形中，A+B+C=180
所以 sinA=sinA
a=bcosC+ccosB

证明
b*cosC+c*cosB
=b*（a²+b²-c²）/2ab+c*（a²+c²-b²）/2ac
=（a²+b²-c²）/2a+（a²+c²-b²）/2a
=（a²+b²-c²+a²+c²-b²）/2a
=2a²/2a
=a
即原式成立。

求证：在△ABC中，a=b*cosC+c*cosB , b=c*cosA+a*cosC , c=a*cosB+b*cosA .~

证明：
∵A+B+C=180º.
∴A=180º-(B+C).
∴sinA=sin[180º-(B+C)]
=sin(B+C)
=sinBcosC+cosBsinC.
即有sinA=sinBcosC+cosBsinC.
再由正弦定理可知：
sinA=a/(2R),sinB=b/(2R),sinC=c/(2R),(R为外接圆半径）
代入上式，整理可得：
a=bcosC+ccosB.
另一个同理可证。

sinA=cosB=sin（π/2-B）于是A=π/2-B或A=π-(π/2-B）=π/2+B
于是三角形为直角三角形C为直角
或A=π/2+B，此时A＞π/2为钝角三角形

---

#咸露超# 在三角形ABC中,证明cosAcosBcosC<=1/8 -
(18391775953)： 证明(1):非锐角三角形为显然,仅需证明锐角三角形 a=bcosC+ccosB>=2√(bccosBcosC) b=ccosA+acosC>=2√(cacosCcosA) c=acosB+bcosA>=2√(abcosAcosB) 三式相乘约去abc即得 证明(2):非锐角三角形为显然,仅需证明锐角三角形. cosAcosBcosC=(1/2)[cos(A-B)+cos(A+B)]cosC =(1/2)[cos(A-B)-cosC]cosC ==(1/8)[cos(A-B)]^2=

#咸露超# 在三角形ABC中,求证(a - b*cosB)/b - c*cosA=sinB/sinA -
(18391775953)： 另a=b=1;A=B=C/2,则ABC为等腰直角三角形(a-b*cosB)/b-c*cosA=1-cosB-c*cosA=1-cosA(1+c)=/=1sinB/sinA=1(a-b*cosB)/b-c*cosA=sinB/sinA不成立楼主别乱来好不

#咸露超# 在三角形ABC中,求证:1,a^2 - 2ab*cos(60度+C)?
(18391775953)： 证明 1、 a^2-2ab*cos(60度+C)=c^2-2bc*cos(60度+A) a^2-2ab*(1/2cosC-1/2根号3sinC) =c^2-2bc*(1/2cosA-1/2根号3sinA) a^2-abcosC+ab根号3sinC=c^2-bccosA+bc根号3...

#咸露超# 证明三角函数等式成立三角形ABC中,角A角B角C对应的三条边分别
(18391775953)： 因为b-c*cosA=b-c*[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)]=b-[(b^2+c^2-a^2)/(2b)] =(a^2+b^2-c^2)/(2b) a-c*cosB=a-c*[(a^2+c^2-b^2)/(2ac)]=a-[(a^2+c^2-b^2)/(2a)] =(a^2+b^2-c^2)/(2a) 所以(b-c*cosA)/(a-c*cosB) =[(a^2+b^2-c^2)/(2b)]/[(a^2+b^2-c^2)/(2a)] =a/b=sinA/sinB

#咸露超# 数学证明 - 浙大08年自招题在任意三角形ABC中,三内角A,B,C
(18391775953)： 在任意三角形ABC中,三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.求证: cosB+cosC+2a/(b+c)≥4sin(A/2) 注意三角形恒等式: cosB+cosC=2(b+c)*(s-b)*(s-c)/(abc); [sin(A/2)]^2=(s-b)*(s-c)/(bc); √(cosB+cosC)*[2a/(b+c)]=2sin(A/2) 故由均值不等式得: cosB+cosC+2a/(b+c)≥4sin(A/2).

#咸露超# 在三角形中在三角形ABC中,已知a^2=bc,求证cos(B - C
(18391775953)： a/sinA=b/sinB=c/sinC, a^2=bc => sinBsinC=(sinA)^2 cos(B-C)-cos(B+C)=-2sinBsinC=-2(sinA)^2=1-cos2A cos(B+C)=-cosA =>cos(B-C)=1-cosA-cos2A

#咸露超# 在△ABC中,证明(a - c*cosB)/(b - c*cosA)=b/a -
(18391775953)： 根据正弦定理,可设a/sinA=b/sinB=c/sinC=k 那么,a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC a-ccosB=ksinA-ksinCcosB b-ccosA=ksinB-ksinCcosA 又A+B+C=π,故sinC=sin(A+B) a-ccosB=k[sinA-sin(A+B)cosB]=k[sinA(sin²B+cos²B)-sinAcos²B-...

#咸露超# 初中竞赛问题在ΔABC中,求证:cosA*cosB*cosC≤1
(18391775953)： 这个不等式有许多证法 证明 对于非锐三角形上式显然成立, 下面仅需对锐角三角形证明即可. 根据射影定理及二元均值不等式得: a=b*cosC+c*cosB≥2√[bc*cosB*cosC] b=c*cosA+a*cosC≥2√[ca*cosC*cosA] c=a*cosB+b*cosA≥2√[ab*cosA*cosB] 将上述三个不等式相乘, 两边消去abc, 即得所证不等式.

#咸露超# 在任意△ABC中,证明:a·cosA+b·cosB+c·cosC?
(18391775953)： ∵cosx在(0,π)上递减, ∴a-b与cosA-cosB异号. 从而,(a-b)(cosA-cosB)≤0, 即acosA+bcosB≤acosB+bcosA=c ① (当且仅当a=b时取等号) 同理,可得 acosA+ccosC≤b ② bcosB+ccosC≤a ③ 由 (①+②+③)÷2,得 acosA+bcosB+ccosC≤(a+b+c)/2. 当且仅当a=b=c时,等号成立.

#咸露超# 证明:已知,三角形ABC,2cos(A/2+B/2)*cos(A?
(18391775953)： 刚才已经解答了这个问题!怎么一回事? 证:△ABC中,A+B=180-C--->(A+B)/2=90-C/2--->cos[(A+B)/2]=sin(C/2)...(*) 对于任意的(A-B)/2都有 cos[(A-B)/2]= 全部