锐角三角函数增减性的证明 用求导证明三角函数单调性

(1)设：x₂> x₁
y = sinx
y₂- y₁= sinx₂- sinx₁
= 2cos½(x₂+ x₁)sin½(x₂- x₁)

∵ x₂- x₁> 0
∴ sin½(x₂- x₁)> 0

∵ x₁< x₂< π/2
∴ ½(x₂+ x₁)< π/2
∴ cos½(x₂+ x₁)

∴ y₂- y₁> 0
∴ y = sinx 是增函数

(2)设：x₂> x₁
y = cosx
y₂- y₁= cosx₂- cosx₁
= -2sin½(x₂+ x₁)sin½(x₂- x₁)

∵ x₂- x₁> 0
∴ sin½(x₂- x₁)> 0

∵ x₁< x₂< π/2
∴ ½(x₂+ x₁)< π/2
∴ sin½(x₂+ x₁)

∴ y₂- y₁< 0
∴ y = cosx 是减函数

(3)设：x₂> x₁
y = tanx
y₂- y₁= tanx₂- tanx₁
= sinx₂/cosx₂- sinx₁/cosx₁
= (sinx₂cosx₁- sinx₁cosx₂)/cosx₁cosx₂
= sin(x₂- x₁)/cosx₁cosx₂

∵ 0 < x₂- x₁< π/2
∴ sin(x₂- x₁)> 0

∵ x₁< x₂< π/2
∴ cosx₁cosx₂> 0

∴ y₂- y₁> 0
∴ y = tanx 是增函数

(4)
∵tanx 是增函数
∴cotx = 1/ tanx 是减函数。

1、锐角三角函数定义
锐角角a的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角a的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边；
余弦（cos）等于邻边比斜边；
正切（tan）等于对边比邻边；
余切（cot）等于邻边比对边；
正割（sec)等于斜边比邻边；
余割
(csc)等于斜边比对边。
编辑本段2、互余角的三角函数间的关系
sin(90°-α)=cosα,
cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα,
cot(90°-α)=tanα.
编辑本段3、同角三角函数间的关系
·平方关系：
sin^2(a)+cos^2(a)=1
·积的关系：
sina=tana·cosa
cosa=cota·sina
cota=cosa·csca
tana·cota=1
·倒数关系：
直角三角形abc中,
角a的正弦值就等于角a的对边比斜边,
余弦等于角a的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
余切等于邻边比对边
编辑本段4、三角函数值
（1）特殊角三角函数值
（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况
（i）锐角三角函数值都是正值
（ii）当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（iii）当角度在0°≤∠a≤90°间变化时，
0≤sinα≤1,
1≥cosa≥0,
当角度在0°<∠a<90°间变化时，
tana>0,
cota>0.
特殊的三角函数值
0°
30°
45°
60°
90°
0
1/2
√2/2
√3/2
1
←
sina
1
√3/2
√2/2
1/2
0
←
cosa
0
√3/3
1
√3
none
←
tana
none
√3
1
√3/3
0
←
cota

(1)设：x₂>
x₁
y
=
sinx
y₂-
y₁=
sinx₂-
sinx₁
=
2cos½(x₂+
x₁)sin½(x₂-
x₁)
∵
x₂-
x₁>
0
∴
sin½(x₂-
x₁)>
0
∵
x₁<
x₂<
π/2
∴
½(x₂+
x₁)<
π/2
∴
cos½(x₂+
x₁)
∴
y₂-
y₁>
0
∴
y
=
sinx
是增函数
(2)设：x₂>
x₁
y
=
cosx
y₂-
y₁=
cosx₂-
cosx₁
=
-2sin½(x₂+
x₁)sin½(x₂-
x₁)
∵
x₂-
x₁>
0
∴
sin½(x₂-
x₁)>
0
∵
x₁<
x₂<
π/2
∴
½(x₂+
x₁)<
π/2
∴
sin½(x₂+
x₁)
∴
y₂-
y₁<
0
∴
y
=
cosx
是减函数
(3)设：x₂>
x₁
y
=
tanx
y₂-
y₁=
tanx₂-
tanx₁
=
sinx₂/cosx₂-
sinx₁/cosx₁
=
(sinx₂cosx₁-
sinx₁cosx₂)/cosx₁cosx₂
=
sin(x₂-
x₁)/cosx₁cosx₂
∵
0
<
x₂-
x₁<
π/2
∴
sin(x₂-
x₁)>
0
∵
x₁<
x₂<
π/2
∴
cosx₁cosx₂>
0
∴
y₂-
y₁>
0
∴
y
=
tanx
是增函数
(4)
∵tanx
是增函数
∴cotx
=
1/
tanx
是减函数。

(1)设：x₂>
x₁
y
=
sinx
y₂-
y₁=
sinx₂-
sinx₁
=
2cos½(x₂+
x₁)sin½(x₂-
x₁)
∵
x₂-
x₁>
0
∴
sin½(x₂-
x₁)>
0
∵
x₁<
x₂<
π/2
∴
½(x₂+
x₁)<
π/2
∴
cos½(x₂+
x₁)
∴
y₂-
y₁>
0
∴
y
=
sinx
是增函数
(2)设：x₂>
x₁
y
=
cosx
y₂-
y₁=
cosx₂-
cosx₁
=
-2sin½(x₂+
x₁)sin½(x₂-
x₁)
∵
x₂-
x₁>
0
∴
sin½(x₂-
x₁)>
0
∵
x₁<
x₂<
π/2
∴
½(x₂+
x₁)<
π/2
∴
sin½(x₂+
x₁)
∴
y₂-
y₁<
0
∴
y
=
cosx
是减函数
(3)设：x₂>
x₁
y
=
tanx
y₂-
y₁=
tanx₂-
tanx₁
=
sinx₂/cosx₂-
sinx₁/cosx₁
=
(sinx₂cosx₁-
sinx₁cosx₂)/cosx₁cosx₂
=
sin(x₂-
x₁)/cosx₁cosx₂
∵
0
<
x₂-
x₁<
π/2
∴
sin(x₂-
x₁)>
0
∵
x₁<
x₂<
π/2
∴
cosx₁cosx₂>
0
∴
y₂-
y₁>
0
∴
y
=
tanx
是增函数
(4)
∵tanx
是增函数
∴cotx
=
1/
tanx
是减函数。

在某一固定区间写三角函数增减性为什么不能用并表示~

并意思是在这两个区间增减性是连续的，而实际是2个区间是独立的，哪怕增减性相同

对y=cosx求导 y’=-sinx 当y’>0时,函数递增 既-sinx>0 则sinx<0 则(2k-1)π≤X≤2kπ (k∈R) 既递增区间为{(2k-1)π,2kπ}

---

#何张辉# 已知α为锐角,下列不等式中正确的是( ) ①tanα>1;②0(19763121162)：[选项] A. ② B. ①,②,③ C. ②,④ D. ①,②,③,④

#何张辉# 已知α、β都是锐角,且sinα(19763121162)：[选项] A. α>β B. tanα>tanβ C. cosα>cosβ D. α=β

#何张辉# (2012•鼓楼区一模)如图,关于∠α与∠β的同一种三角函数值,有三个结论:①tanα>tanβ,②sinα>sinβ,③cosα>cosβ.正确的结论为( ) - 作业帮
(19763121162)：[选项] A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③

#何张辉# 初中三角函数知识点 -
(19763121162)： 1、勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方. 2、在Rt△ABC中,∠C为直角,则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B) 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. 4...

#何张辉# 高一数学,证明增减性的 -
(19763121162)： 因为x1 、x2具有任意性,所以可以令x1=x2=0 ,代入f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2 中,可以推出f(0)=-2, 为了证明x>0时,f(x)递增,那么只需要证明当x>0时,f(x)>f(0)=-2 即可 ,这点能够明白就行了. 由原式变形f(x1)+2=f(x1+x2)-f(x2), 再令x1=x,x2=-x ,有f(x)+2=f(0)-f(-x) 则 f(x)+2=-[f(-x)+2] 到此我证明不下去了,只证明出了f(x)+2为奇函数 .请看看题目是不是少了条件 或者请其他人补齐

#何张辉# 求证:(初二)锐角三角函数值的变化0°扫码下载作业帮搜索答疑一搜即得 - 作业帮
(19763121162)：[答案] 设∠A是一直角三角形的锐角,所对边为a,邻边为b,斜边为c=1(不变)(可以画一直径为1的圆,直径的两端分别为A,B,顶点C在圆上滑动,此时∠C为直角); 则∠A增大时,a增大,sin∠A增大;b减小,cos∠A减少; tan∠A=sin∠A/cos∠A,...

#何张辉# 证明函数增减性,在线等 -
(19763121162)： ^^^f(x)=2^x-4^x=2^x-(2^x)^2 任取x1,x2∈[0,1],且x2>x1,f(x2)-f(x1)=2^x1-(2^x1)-2^x2+(2^x2)=(2^x1-2^x2)(1-2^x1-2^x2)<0 因为f(x)=2^x 在【0,1】 上递增 而且2^0=1

#何张辉# 当角度在0°到90°之间变化时,函数值随着角度的增大反而减小的三角函数是( ) - 作业帮
(19763121162)：[选项] A. 正弦和余弦 B. 余弦和正切 C. 正弦和正切 D. 只有余弦

#何张辉# 谁能帮我总结一些关于直角三角形的知识
(19763121162)： 一、知识框图 同学们可根据知识网络结构图,按其中数码顺序,说出各个数码所指内容,以达到梳理知识的目的. 二、知识要点 1.勾股定理(逆定理)及其应用 勾股定理的应用主要有:① 已知直角三角形的两边求第三边;② 证明三角形中的某...

#何张辉# 求三角锐角函数重点难点梳理 -
(19763121162)： 不知道您要的是高中的还是初中的,先暂时认为您所要的是初中的三角锐角函数重点难点梳理哦! (希望对您有帮助,记得采纳哦,Good Luck!) 锐角三角函数是沟通代数与几何知识的桥梁,它剥去代数知识的外表转化为解直角三角形的问题...